精品解析：河北沧州市2026届普通高中高三总复习教学质量监测数学试题

2026届普通高中高三总复习教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得或，即， 所以. 2. 已知三个正数，，成等比数列，且，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解． 【详解】因为三个正数，，成等比数列， 所以，又，所以，则， 又， 所以． 3. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得 ， 因，则，可得. 4. 某校研究性学习小组收集了某地区近几年的某种经济指标与年份的数据，经计算得经验回归方程为．若年该经济指标的实际值为，则残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由经验回归方程为得： 预测值， 残差实际值预测值． 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 6. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 7. 已知函数对任意实数，满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法求出，，结合等差数列的性质可判断是以2为首项，公差为0的等差数列. 【详解】由题可知:，又，得， 又，得. 因为，所以， 又，， 所以数列是以2为首项，公差为0的等差数列，即. 8. 已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点，再应用两点间距离计算化简，再应用已知条件结合点到圆上点的距离得出参数范围. 【详解】设点，由题可知，， 化简得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上. 因为圆上总存在点满足， 即圆与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即 ， 化简得 ，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可知，，， 所以，得，即，， 所以，，， 则. 10. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为2 C. 若，则的面积为6 D. 若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【解析】 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以 因为 ，所以 B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故 ， 所以 ，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则， ， 所以 ， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 【答案】2 【解析】 【详解】由题可知， ，所以. 13. 已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得， 解得，，即. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，， 又，，，，， 得，，， 所以，，，， 由余弦定理得， 即，化简得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，. （1）求三棱锥的体积； （2）若平面，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【小问1详解】 由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. 【小问2详解】 如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 16. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得，构造函数，其中，利用导数求出其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，函数的定义域为， 当时，，则， 令，得，由可得，由可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由题可知，对于任意，恒成立，则， 设，其中，则， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，即在上单调递减， 又，则当时，，即. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）判断的形状； （2）若为边上一点，为与的夹角.证明：. 【答案】（1）等腰三角形 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理统一边角关系，联立条件推出，判定三角形为等腰三角形. （2）展开两角和差余弦公式，结合第一问等腰边角等量关系化简，完成等式证明. 【小问1详解】 由正弦定理得，即. 已知，故. 整理得，即. 因为，所以，即. 因此为等腰三角形. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得. 因为，，，故. 在中，，将待证式右边展开： . 由得，，， 代入后项抵消，化简得. 由等腰三角形性质，即 ，故右边，与左边相等. 因此，得证. 18. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. （2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）当时，；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知乙对甲可以以、、获胜，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，求出、，结合条件概率公式求解即可； （2）记，推导出 ，，作差，对和的大小进行分类讨论，即可得出与的大小. 【小问1详解】 （ⅰ）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙获胜，则乙对甲可以以、、获胜， 若乙以获胜，则前局全是乙赢； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为. （ⅱ）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜””，， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为 . 【小问2详解】 设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则 . 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则. 因此. 因为，可得 ， 又， 所以. 当时，可得，即； 当时，；当时，. 19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与交于，两点，且. （1）求的值； （2）已知点，直线与交于，两点（异于点）. （ⅰ）判断直线与直线的斜率之和是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. （ⅱ）若外接圆的圆心为，求圆心的轨迹方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值0；（ⅱ）（且）. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，再根据韦达定理求解； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线，利用韦达定理得出，再计算直线与直线的斜率之和并化简即可；（ⅱ）设圆心，利用和列出方程，结合（ⅰ）韦达定理的结果可得：，又因为圆心在的垂直平分线上，所以，联立解得，，可得点的坐标为，进而求出圆心的轨迹方程. 【小问1详解】 设点，，直线的方程为，联立， 可得，则,由可得. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知抛物线，设点，， 联立，可得 ， 由 ，且，则， 则， ， 即直线与直线的斜率之和为定值，该定值为0. （ⅱ）设的中点坐标为,则 , , 即的中点坐标为，所以的垂直平分线的方程为， 设圆心，由题可知，，则， 整理得①， 同理，，②， ①+②，得 ， 由（ⅰ）整理得③， 因为圆心在的垂直平分线上，所以④， 联立③④，结合的取值范围，解得，， 可得点的坐标为， 故点的轨迹方程为（且）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高中高三总复习教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知三个正数，，成等比数列，且，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 某校研究性学习小组收集了某地区近几年的某种经济指标与年份的数据，经计算得经验回归方程为．若年该经济指标的实际值为，则残差为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数对任意实数，满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为2 C. 若，则的面积为6 D. 若，则的倾斜角为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 13. 已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，. （1）求三棱锥的体积； （2）若平面，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）判断的形状； （2）若为边上一点，为与的夹角.证明：. 18. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. （2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与交于，两点，且. （1）求的值； （2）已知点，直线与交于，两点（异于点）. （ⅰ）判断直线与直线的斜率之和是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. （ⅱ）若外接圆的圆心为，求圆心的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $