精品解析：河南省洛阳市涧西区2023—-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

洛阳市涧西区2023—2024学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对角分别相等 6. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（　　） A. 7 B. 2 C. D. 7 9. 如图，在矩形中，点B的坐标是 ，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图，在中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 代数式有意义时，应满足的条件是______. 12. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，的长为_______． 14. 如图，在正方形中，点E，F分别为，上的点，且，与交于点G，连接，点H为的中点，连接，若，，则的长为_______． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 三、解答题(共8小题，满分75分) 16. 计算∶ （1）； （2）． 17. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 18. 如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． （1）添加的条件是_______； （2）请给出证明过程． ________________________________ 19. 如图，是的对角线，平分，交于点M． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点N（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为平行四边形． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画一个，使， （2）在图②中画，使其面积为6． 21. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即），消防车车身高 （即点A到地面的距离为），救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即）高的B处救人后，还要到点B的正上方（即）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离为多少米？（提示∶延长交于点O，则）． 22. 如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点M，N满足，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若 ，求四边形的面积． 23. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 （2）如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” （3）如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市涧西区2023—2024学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】A、被开方数含分母，故该选项错误； B、是最简二次根式，故该选项正确； C、不是最简二次根式，故该选项错误； D、不是最简二次根式，故该选项错误； 故选：B． 2. 下列式子化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、二次根式的性质．先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断． 【详解】解：A、，不能与合并，本选项不符合题意； B、，能与合并，本选项符合题意； C、，不能与合并，本选项不符合题意； D、，不能与合并，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，故选项A错误，不符合题意； B．，故选项B错误，不符合题意； C．，故选项C错误，不符合题意； D．，故选项D正确，符合题意， 故选：D 4. 已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型． 【详解】A、∵，，，，则 ∴，，， ∴不是直角三角形，故符合题意； B、，, ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，即， ∴是直角三角形，故不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答． 【详解】A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意； B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意； C、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意； D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键． 6. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C 7. 如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，由菱形的性质可得，，进而得到为的中位线，即可得到，由此即可求出菱形的周长，掌握菱形和三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（　　） A. 7 B. 2 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理可求得长，从而可求得小正方形的边长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理，得 ， 由题意可得四边形 是正方形，中间是一个小正方形， ∴小正方形的边长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，求出小正方形的边长是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，点B的坐标是 ，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，利用两点距离公式求出，再根据矩形对角线相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点B的坐标是 ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的最小值．正确画出辅助线，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，含的直角三角形性质，是解题的关键． 连接，过点A作于点I，则，根据三角形中位线定理得到，当与重合时，，取得最小值，最小，根据平行四边形性质和含的直角三角形性质得到，即得． 【详解】连接，过点A作于点I， 则， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴当与重合时，，取得最小值，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 代数式有意义时，应满足的条件是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 12. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵＝2， ∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点E，F分别为，上的点，且，与交于点G，连接，点H为的中点，连接，若，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的性质和判定是解题的关键． 通过正方形的性质证得，得到，推出，再利用勾股定理和直角三角形斜边的中线推出． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 由勾股定理，得 ∵点H为的中点 ∴ 故答案为：5． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F三点共线，即点F在上，此时点M与点F重合， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为2或6． 三、解答题(共8小题，满分75分) 16. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， 【小问3详解】 略 18. 如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． （1）添加的条件是_______； （2）请给出证明过程． ________________________________ 【答案】（1） (答案不唯一) （2） 证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【小问1详解】 添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) 【小问2详解】 略 19. 如图，是的对角线，平分，交于点M． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点N（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 解：作图如下∶ 即为所求； （2） 证明∶ ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵平分， 平分， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及平行四边形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及等量代换确定，得出，再由平行四边形的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画一个，使， （2）在图②中画，使其面积为6． 【答案】（1） 如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2） 如图2中，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理，数形结合的思想画出三角形即可（答案不唯一）； （2）作一个底为3，高为2的平行四边形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即），消防车车身高 （即点A到地面的距离为），救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即）高的B处救人后，还要到点B的正上方（即）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离为多少米？（提示∶延长交于点O，则）． 【答案】为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键，证明四边形是矩形，得，，再由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 在中，，，， ， ， 答：为． 22. 如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点M，N满足，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若 ，求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形， 理由如下： 连接，交于O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于O，利用正方形的性质，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中， ， ∵， ∴， ∴ 在中，， ∴， 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 23. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 （2）如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” （3）如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）②④ （2） 证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 ①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； 故答案为：②④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $