山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期第四次月考（6月）数学试题

绝密★启用前 怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期第四次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．曲线在点处的切线的斜率（    ） A．5 B．4 C． D． 2．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 4 . 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 7．二项式展开式的常数项为（    ） A． B．70 C． D． 8．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选得部分分，有选错的得0分） 9．设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布且，则 B．若随机变量满足，，则 C．若随机变量，则 D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12 11．已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数在处的导数 ． 13．已知随机事件，，若，，，则 14．某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(13分)随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 物理方向 历史方向 总计 男生 13 a 23 女生 7 20 27 总计 b c 50 (1)计算a，b，c的值； (2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 16．（15分）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 17．（15分）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 18．（17分）已知的展开式的所有二项式系数之和为64． (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 19．（17分）五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球（大小、质地均相同）的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元． (1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率； (2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为15元的概率． 数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页） 数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）曲线在点处的切线的斜率（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】令，则，有， 故曲线在点处的切线的斜率. 故选：C. . 2．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称， 所以， 因此. 故选：C 3．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】由题可得， ， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 故选：B． 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，由得减区间． 【详解】函数定义域是， 由已知，由得，∴减区间为， 故选：A． 5．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题可知，，解得， X的可能取值为， ，，，， ∴. 故选：A 6．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可取， ， ， 则， . 故选：D. 7．（23-24高二上·辽宁·期末）二项式展开式的常数项为（    ） A． B．70 C． D． 【答案】D 【分析】由，令得出后代入计算即可得. 【详解】， 令，即，故， 即展开式的常数项为. 故选：D. 8．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出导函数的值域，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】因为，则， 且曲线在点处的切线为，所以，直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 10．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布且，则 B．若随机变量满足，，则 C．若随机变量，则 D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12 【答案】BD 【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为随机变量满足，， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以，故C错误； 对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 11．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】设， 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 所以，，B对； 对于CD选项，， 解得，，C错D对. 故选：ABD. 12．（23-24高二上·江苏南通·期末）函数在处的导数 ． 【答案】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 则. 故答案为：. 13．已知随机事件，，若，，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 14．某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 【答案】 四 二 【详解】项目一：由已知可得，，，则； 项目二：由已知可得，，，则； 项目三：由已知可得，，，则； 项目四：由已知可得，，，则. 根据正态分布的性质可得，， 所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前． 故答案为：四；二. 15（13分）．随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 物理方向 历史方向 总计 男生 13 a 23 女生 7 20 27 总计 b c 50 (1)计算a，b，c的值； (2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 附：，. 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，， (2)有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得； （2）， 因为， 故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关． 16．（15分）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值和极小值. 【详解】（1）， 因为为函数的极值点， 所以，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）得，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 17.（15分）【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调递减区间为. 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为 18．（17分）已知的展开式的所有二项式系数之和为64． (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)60 (2) 【分析】 （1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项列式求系数最大的项. 【详解】（1） 由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． （2） 设第项的系数最大， 则，解得， 且，则， 所以展开式中系数最大的项为． 19．（17分）五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球（大小、质地均相同）的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元． (1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率； (2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为15元的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“顾客获得的购物减免额为60元”， 依题意，得， 即顾客获得的购物减免额为60元的概率为. （2）设“顾客摸到的1个球所标的面值为10元”， “顾客获得的购物减免额为15元”， 则，， 所以所求概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) 怀仁市大地学校2023-2024学年下学期第四次月考 ( 姓 名： _________________________________________ )高二数学·答题卡 ( _________________________________________ ) ( 考 号： ) ( 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 ) ( 贴条形码区 ) ( 注意事项 ) ( 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 ， 错误填涂 [ × ] [ √ ] [／] ) ( 一、选择题（共 58 分） 1 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 0 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 1 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1 2 . 1 3 . 1 4 . 三、解答题（ 共7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 . （1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 . （1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 . （1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 . （ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 本 区 域 禁 止 作 答 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$