精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度新城区增值性评价数据采集七年级数学 (满分：100分时长：90分钟) 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的) 1. 在某个电影院里，如果用(2，15)表示2排15号，那么5排9号可以表示为（ ） A. (2，15) B. (2，5) C. (5，9) D. (9，5) 2. 下列计算错误是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）． A B. C. D. 4. 如图，直线a，b相交，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣2，1） C. （﹣1，﹣2） D. （1，﹣1） 6. 实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据错误的是（ ） A. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） B. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） C. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） D. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） 8. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，依图中所示规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．本题要求把正确结果填在横线上，不需要解答过程) 9. 计算： =__________． 10. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 11. 小明在解二元一次方程组时，将这两个方程相加，可得一元一次方程___________，其根据是___________，运用的基本思想是___________． 12. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置．若，， 平移距离为6，则阴影部分的面积为_______________． 13. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是______ 14. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，﹣1)，过点A作ABx轴，且AB=3，则点B坐标是_________． 15. 已知，则x的值为___________． 16. 若关于的方程组的解满足，则的值为______． 三、解答题(本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，直线，相交于点，平分，．若．求的度数 19. 某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm，求原来正方体钢锭的棱长. 20. 如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点、、的对应点分别是点、、． （1）画出； （2）直接写出点、、的坐标； （3）直接写出的面积． 21. 如图，E，F分别为线段，上点，连接，，，交于点G，交于点H，，． （1）求证：； （2）若，求证； （3）在（2）的基础上，若，求的度数． 22. 小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决： （1）用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． （2）设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； （3）列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 23. 如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度新城区增值性评价数据采集七年级数学 (满分：100分时长：90分钟) 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的) 1. 在某个电影院里，如果用(2，15)表示2排15号，那么5排9号可以表示为（ ） A. (2，15) B. (2，5) C. (5，9) D. (9，5) 【答案】C 【解析】 【分析】根据用(2，15)表示2排15号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案． 【详解】∵(2，15)表示2排15号可知第一个数表示排，第二个数表示号 ∴5排9号可以表示为(5，9)， 故选：C． 【点睛】本题是有序数对的考查，解题关键是弄清楚有序数对中的数字分别对应的是行还是列 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的求解，实数的运算，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A、，故此选项错误，符合题意； B、∵，， ∴，故此选项正确，不符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为， 故选：D． 4. 如图，直线a，b相交，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了邻补角．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 5. 如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣2，1） C. （﹣1，﹣2） D. （1，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 点C的坐标为（1，-2）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是要正确得出原点位置． 6. 实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点位置确定式子符号，实数的运算，正确得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴四个选项中，只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 7. 如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据错误的是（ ） A. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） B. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） C. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） D. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴（两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； B、∵，∴（内错角相等，两直线平行）选项错误，符合题意； C、∵，∴（两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； D、∵，∴（内错角相等，两直线平行），选项正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，依图中所示规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键． 观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴把代入可得：， 故选：D． 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．本题要求把正确结果填在横线上，不需要解答过程) 9. 计算： =__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 11. 小明在解二元一次方程组时，将这两个方程相加，可得一元一次方程___________，其根据是___________，运用的基本思想是___________． 【答案】 ①. ②. 等式的性质 ③. 加减消元法 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 将两方程相加即可得出结果． 【详解】解：两方程相加可得：； 其根据是等式的性质，运用的思想为加减消元法； 故答案为：；等式的性质；加减消元法． 12. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置．若，， 平移距离为6，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ， 故答案为：33． 13. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是______ 【答案】15° 【解析】 【分析】如图，根据两直线平等，内错角相等可求得∠BAC的度数，继而由两角的和差即可求得答案． 【详解】∵AB//CD，∠ACD=45°， ∴∠BAC=∠ACD=45°， 又∵∠CAE=30°， ∴∠1=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°， 故答案为：15° 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，﹣1)，过点A作ABx轴，且AB=3，则点B的坐标是_________． 【答案】(5，﹣1)或(﹣1，﹣1) 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标． 【详解】解：∵AB∥x轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣1， 又∵AB=3，可能右移，横坐标为2+3=5；可能左移横坐标为2﹣3=﹣1， ∴B点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）， 故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想． 15. 已知，则x的值为___________． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义可知，或，进而解得的值，理解并掌握平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：3或． 16. 若关于的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．用加减消元计算即可． 【详解】解：关于 的方程组 ． 方程与方程相加得， ， 故答案为∶． 三、解答题(本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）①②可消去未知数，解出的值，进而可得的值； （2）先①，再②，然后两个方程相加可消去未知数，解出的值，进而可得的值． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）， ①得：③， ②得：④， ③④得：， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，关键是掌握加减消元法． 18. 如图，直线，相交于点，平分，．若．求的度数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及垂直的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得，的度数，再根据垂直定义求得，最后根据求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm，求原来正方体钢锭的棱长. 【答案】 cm. 【解析】 【分析】设原来正方体钢锭棱长为xcm，根据题意列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设原来正方体钢锭的棱长为xcm， 则， 解得. 答：原来正方体钢锭的棱长为cm. 【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 20. 如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点、、的对应点分别是点、、． （1）画出； （2）直接写出点、、的坐标； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）见详解 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了点的平移、图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的性质，分别找到，然后依次连线，即可作答； （2）由（1）的图，分别表示出的坐标，即可作答； （3）利用三角形的面积公式即可求出的面积 【小问1详解】 解：如图： ； 【小问2详解】 解：由（1）知：； 【小问3详解】 解：， ∴的面积为． 21. 如图，E，F分别为线段，上点，连接，，，交于点G，交于点H，，． （1）求证：； （2）若，求证； （3）在（2）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的判定推出即可； （2）求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质得出即可； （3）求出的度数，根据平行线的性质求出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 小颖同学在学习了方程内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决： （1）用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． （2）设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； （3）列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】（1）见解析 （2）每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） （3）①，，，；②，方程组 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解； （2）根据（1）即可得解； （3）①根据（1）（2）即可得解； ②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【小问1详解】 解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 【小问2详解】 设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； 【小问3详解】 ①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 23. 如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°； （2）过点作，根据平行线的性质可得，再由角平分线的意义可得； （3）分别由（1）、（2）的思路可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点作 ， ∴ ， （2）与之间的关系是：，理由如下： 过点作，如图2， ， ∴ ， 平分，平分 ， ， （3）如图3， 设∠ABF=x，∠CDF=y， ∵，，且 ∴∠ABE=nx，∠FBE=（n-1）x，∠EDC=ny，∠FDE=（n-1）y， 由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°， ∴nx+ny+∠E=360°， ∴x+y=， ∵∠F+∠EBF+∠E+∠EDF=360°， ∴∠F+（n-1）x +∠E+（n-1）y =360°，即 ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $