假期作业12 指数函数与对数函数-【快乐假期】2024年高二数学暑假小作业

三0022 假期作业12指数函数与对数函数 《思维整合室 3.对数函数的图象与性质 1.根式与对数运算 a>1 0<a<1 (1)根式的性质 i.(a)"= .i.当n为奇数时，a=a:当 (a≥0)， x=1 x=1 n为偶数时a"= y=log,t (a<0). 图象 (1,0) (2)幂的运算性质 d71,0 ①a'a'= (a>0,r,s∈R): y=log,r ②(a')'=(a>0,r,s∈R): ③(ab)'= (a>0,b>0,r∈R). 定义域： (3)根式与幂的互化：a”=a"(a>0,m,n∈N°， 值域： 且>1) (4)对数的运算性质 过定点 ,即x=1时，y=0 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 ①log.(MN)= 当x>1时， 当x>1时， Dlog. 性质 当0<x<1时， 当0<x<1时， ③logM"= (n∈R); ④log-M"= 2.指数函数的图象与性质 y=a a>1 0<a<1 在(0，十∞)上是 在(0，+∞)上是 函数 函数 /)=w y=a 图象 (0,1) 1 0,y1 利用直线y=1可以区分底数的大小 01x 01本 《《技能提升台 定义域 1.计算： +8+(2024)°= 值域 A.6 B.7 C.8 过定点 D 当x>0时， 当x>0时， 2.(2022·浙江高考)已知2=5,1og83=b,则 44-动= () x<0时， x<0时， A.25 B.5 C. 性质 在（一∞，十 3.已知a=2023声，b=1og2232022,c=log2e ∞)上是 在(-0∞，十0∞) 函数 上是 函数 2023则a,b,c的大小关系是 1 ( 利用直线x=1可以区分底数的 A.a>b>c B.b>a>c 大小 C.c>a>b D.a>c>b 29 火垫快乐假期 SE 4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030 a,x≤1 年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到 8.已知函数f(x) 1-2 ,①如果 x ,x>1 2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透 f(一2)=9，则a的值等于 ;②若满 率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬 勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电 足对任意工，≠，都有)二f)<0成 x1一x2 池的容量C(单位：)，放电时间t(单位：h)与 立，则实数a的取值范围是 放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式： 9.已知函数y=log,(2x十3-x2). C=严·t,其中n为Peukert常数，为了测算 (1)求函数的定义域： 某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不 (2)求y的最大值，并求取得最大值时的 变的条件下，当放电电流I=20A时，放电 x值. 时间t=20h:当放电电流I=30A时，放电 时间t=I0h.则该蓄电池的Peukert常数n 大约为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） 4 A. c. D.2 5.(多选)已知实数a,b满足等式2022= 2023,则下列关系式成立的是 () A.0<b<a B.a<<0 C.0<a<b D.a=b 6.(多选)已知函数f(x)=- 2一，8(x)= 工士，则/g)满足 () A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B.f(-2)<f(3) C.f(x)-g(x)=π D.f(2x)=2f(x)g(x) 7.计算： 27 +1og2(log216)= 30 三0022 高二教樂 10.已知f(x)=a,g(x)= (a>0,且 新题快递 1.(2023·新高考I卷)设函数f(x)=2u a≠1). (1)讨论函数f(.x)和g(.x)的单调性； 在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 (2)如果f(x)<g(x),那么x的取值范围 是多少？ A.(-0∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+o∞) 2.(2023·上海卷)已知函数f(x)=2·十1， 1og2(x+1),x≥0 且g(x) ,则方程g(x) f(-x),x<0 =2的解为 【《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字，忍不住凑上去看 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚”字 大妈心想：看一下至于吗？…老头又看大妈 一眼，又写个“滚”.大妈再也忍不住了，上去一 脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说：“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两个字，就 被这个神经病踹倒了”， 31三0022 新题快递 3.A[:a=20232励>2023"=1,0=loga1<b=1ogm2022 1.解析：由狄利克雷函数的定义，可得D(1)=L,(1)=1,所以 <log:a2023=1, 、D正确由上(x){6工是有是.可得上（一1）L, 1 c=logm2023<1ogw1=0.a>b>c.故选A.] L(1)=1,不满足L(一1)=L(1),所以函敦L(x)不是偶函 4.B[根据题意可得C=20×20,C=30°×10，两式相比得 数，所以(2)错误：由L函数定义，可得函数L.(x)图象上的，点 要么在直线y=x上，要么在直线y=0上，若函数L图象上 器×01.即（号）厂=合所以m=e鲜专-号2 30°×10 存在四个点A,B,C,D使得四边形ABCD为菱形，因为菱形 lg 2 Ig 2 0.3 的对角线互相垂直平分，则直线y=x和y=0不是对角线 返2产0a停此选] 所在的直线，不妨设A(a,a),B(b,b),C(m,0),D(m,0),则 5.ABD[如图，在同一坐标系下画出 y y=2023 b y=2022与y=2023的图象，结合 y=20229 a-m'62-1 4 图象可知A,B,D可能成立。故 AC与BD互相垂直平分，可得a十=b牛” 22 ,可得A 选ABD.] 6.ABD[A正确，f(-)=x 2 0 与B,C与D重合，且方程不成立，所以(3)错误：取函数L图 =一f(x), 象上三个点A(33),B(3-√3,0)，C(3+3,0),则AB=BC g-)=元十元=g,所以f代-x+g(-=gr) 2 =AC=2,使得△ABC为等边三角形，所以(4)正确. (x):B正确，因为函数(x)为增函数，所以（一2）<(3)： 答案：(1)(4) C不正确，f(x)-g(x)=不-元士元=-2m 2 2 2 2.解析：(1)因为(g·f)(x)=√1ne=√T=,而(f·h) =2..元十m (x=e回=e:=x,(g·)(x)=x=(f·h)(x)对全体 一元：D正确f(2x)=产-x 2 2 2 x≥1恒成立： =2f(x)g(x).] 故g(x)=√nx,h(x)=/nx对所有r≥1成立. 7.解析：原式 () +ig4-号+2- (2)(1)考虑p(a,b)=a以及g(a,b)=b两个函数. 对任意(a,b)∈E,因为a(a)=3(b), 答案：号 所以a·p=a(p(a,b)=a(a)=b)=(q(a,b)=B·4. a',rsl ()我们可以继续使用(i)的构造， 8.解析：因函数f(x) x>1又-2)=9，于是得 1-2a 任意取e'∈E,因为a·p=B·q,所以a(p'(e') =3g(e')), 所以p'(e')∈A,g'(e')∈B,则(p(e')·g(e')∈E, 。1=9,而a>0,解得a=了，所以a的位等于行：周对任意 因此存在g(e')=(p(e)',g(e')满足条件： 五，≠，都有)-)<0成立，则函数f在R上单 如果9符合题意，即p·9=p',q·9=4, r1一xg 0<a<1 则p(p(e')=p'(e')g(g(e')=g(e'), 由pg定义得到g'(e')=(p'(e),g(e). 调适减，因此，小-2a>0,解得号<a<号，所以实数a的取 la≥1-2a 存在唯一的E→E的函数9满足题意 答案：(1)g(x)=1nx,h(x)=√nx 值花周是}<a< (2)(i)p(a,b)=a.q(a.b)=b:ii p(a,b)=a,q(ab)=b. 明见解析 答案：：<<号 假期作业12 9.解：(1)由真数2x十3一x>0,解得一1x<3, 所以函数的定义域为{x一1<x3}. 思维整合室 (2)将原函数分解为y=logu,u=2x十3一x两个函教.因 1.(1)①i.af.a-a(2)①a·②a 为u=2x+3-x2=-(x-1)*+4≤4. ③ab'(4)①logM+logN②logM-log,N 所以当x=1时，4取得最大值4，又y=1ogu为单调增函 ③nlog.M④logM2.R(0,+o∞)(0.1D 数，所以y=l0g,(2x十3-x2)≤1og,4=1. 所以y的最大值为1，此时x=1. y>10<y10<y<1>1增减3.(0，+oo)R(1, 10.解：(1)当a>1时，f(x)=a是R上的增函数. 0)y>0y<0y<0y>0增减 技能提升台 由于0日<1，所以8)=（日）是R上的减画载 a 1.B(2) +8宁+(2024)°=2+(2)号+1=2+22+1= 当0<u<1时，f(x)=a'是R上的减函数， 由于1>1，所以g(x)= 7.故选B.] (日)广是R上的增函数 2.C[将1og3=b转化为指数，得到8=3.再结合指数的运 1 <g(<((y<Ie<1-d. 第性质8-2)八--3，周光2”一系-号所以 当a>1时，x<0:当0<a<1时，x>0. -百故选C] .当a>1时，x的取值范国是（一∞，0）： 当0<a<1时，x的取值范国是(0，十∞). 49 化曼快系限研 新题快递 5.B[由函数的解析式考查函数的最小周期性： 1.D[由题意易得，受>1所以a的取值花国是[2，+∞).] A选项中T=红=4，B选项中T=2红=4， 2.解析：当x≥0时·g(x)=2log(x十1)=2.解得x=3:当x 2 <0时，g(x)=f(-x)=2+1=2,解得x=0(舍)：所以 C选项中T=2红-8.D选项中T=红=8，排除选项CD g(x)=2的解为：x=3. 4 答案：r=3 假期作业13 对于A选项当x=2时，函教值m(受×2）=0，故2,0)是函数 思维整合室 的一个对称中心，排徐选项A, 1.(1)la·r 号ar(20,是号 对于B选项，当=2时，函载值0（受×2）-1，故r=2是函 r x (3)①1②ana(4)sin a sin a cos a 数的一条对称轴.] 一o8a.08a -cos a sin a -tana2.(1)(0.0) (受) (元，0) 6D[设)=cs受，则f3x-2》=o(经x-=- (受x,-1）(2,0)(2)RR{女≠x+受k∈☑ 警--2》=m(警-m受小2r-D= [-1,1][-1.1] Rx=kx十受 (kπ，0）x=k元 (一）-n,f-2x-D=(-）=-m （x+受0）（停0）[2m-受2x+] 元，所以f3r-2)为偶函数，(2x-1)为奇西数，但是f0)=os0 =1,f2)=0s=一1，因为f0)≠f(2),所以函数f.x)的图象不 [2x+受，2+][2x-x,2a] [2kn.2kx+] 关于直线x=1对称，A错误：因为f2r-1)为奇函数，所以f(2 一1)=一f(一2x一1)，所以f(x一1)=一f(一x一1)，所以函数 f(x一1)为奇函数，所以函数f(r一1)的图象关于点(0,0)对称.所 以函数f(x)关于点（一1,0）中心对称，故B正确，因为f(3x一2)为 A 偶函数，所以f3x-2)=f(-3x-2).所以fx-2)=f(一x-2), 3.(1)cos acos3干sin asin3 sin acos3±cos asin 由B项可知，fx)=-f一x一2)，故有f(x一2)=一fx),所以f tana士tnB (x)=-fr+2),fr+2)=-fx+4).所以f(x+4)=fx),所 1干tan atan3 (2)2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 以函数fx)的周期为4，故C正确：f(2023)=f(506×4-1)=了 1-2sin'a 2tan a (-1),由f(x-1)=一f-x-1)取x=0可得f(-1)=0,所以 1-tan'a f(2023)=0,故D正确.故选BCD.] 技能提升台 1.B[由条件得，△OAB为等边三角形，所以AB=2,OC= 元解折：n=0=mg号且0y .CD-2-6.所以=AB+8需-2+2-2+ 2 7-43-1-45. 2 2 f(晋）m(合如+若）=P晋+音-受+mke=w-3 2.B[周为sin(e-0=sin ccos-oin=号 +9k(k∈D, 又w0,故m的最小值为3. cos esin月=合，则sin ecos=之 答案：3 故sina+=sin co叶os esin-+-号 8解析：将y=mx的图象向左平移答个单位长度可得y 中cos(2a+20=1-2sim(a+0=1-2×(号)=日] sm(十石)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可 3.D[因为f)=im(r十p)在区间(，答)上单调造增， 得y=m(2r十音)的图象，故f儿)=m(受r+若）小所以f 所以号--吾-受且>0，则T--2 (）-sim(×若+) 当r=吾时，x)取得最小值，则2…吾十g=2kx-受，k∈ 乙，期9=2x-要∈乙 蓄案：)=如（仔+）号 不妨取k=0,则f)=sn(2x-爱） 9解：(1)由AB=D」 5 则(-)-（警）] 得√(osa一cos)+(sina-sin-√ 5 4.C[由已知得sin acos叶cos asin+cos acos B--sin asin月 =2(cosa-sina)sin月， 所以2-2cos6os计inin》=号， 即sin acos3-cos asin3十cos acosB+sin asin-0,即sin(a-》+ cos(a一)=0，所以tan(a一)=一1，故选C] 所以cos(a一)=5 50