假期作业11 函数的概念-【快乐假期】2024年高二数学暑假小作业

_---_- 锲而不舍,金石可镂。 假期作业11 函数的概念 __ _ __ __ __- _ 完成日期:月__口 【《《思维整合室 (3)函数的周期性 1.函数及其表示 若T是函数的周期,则T(Z且去0) 都是函数的周期. (1)函数的概念 3.霉函数 ①函数是两个非空的数集A,B之间的一 (1)形如一x(aER)的函数是寡函数 种特殊的对应关系f,特殊性体现在:一是 或 ,但不能 (2)幕函数的图象及性质 对应可以是 熟记下列函数图象: 是 ;二是A中的每一个元素不能 对空,但B中的元素可以有剩余,从图象 上看,平行于y轴的直线与函数图象至多 一个交点. ②研究函数必须贯彻“定义域优先”的原 性质:在(0十)上,若a<0,函数 则,两个函数的三要素中只要有一个不同, 若0<a<1,函数 且图象上凸,若 就是不同的函数 a>1,函数 且图象下凸. (2)分段函数 《《技能提升台 分段函数是一个函数,求分段函数的函数 1.已知函数/(x)由下表给出,则f[f(3)]= 值时,应根据所给自变量的大小选择相应 段的解析式求解,若给出函数值求自变量 ( 用# 的值,应根据每一段的解析式分别求解 2.函数的单调性(最值)、奇偶性、周期性 (1)函数的单调性 A.1 B.2 C.3 D.4 单调性揭示了函数在某个区间上的自变量 2.下列四组函数中,表示相同函数的一组是 的大小与函数值的大小之间的大小关系是 否一致,若一致,则是增函数;若不一致,则 2r ,g(x)-x-1 是减函数,故有结论: →f(x)是 增函数. B.f(x)-^*,g(x)=(V)2 (2)函数的奇偶性 C.f(x)=x2-2,g(t)-t*-2 ①定义域关于 是函数具有奇偶性 D.f(x)-十1·x-1,g(x)--1 的必要条件 3.下列函数中是增函数的为 ( ②图象特点:奇函数的图象关于 对 B./(x)-{ A./(x)一-x #2# 称;偶函数的图象关于 对称.反之 亦然. C./(x)-x2 D./(x)- 26 4.(2022·全国乙卷文,8) 9.已知函数f(x)-1-2 右图是下列四个函数中 (1)若g(x)=f(x)一a为奇函数,求a 的某个函数在区间[一3, 的值; 3的大致图像,则该函 数是 (2)试判断f(x)在(0,十)内的单调性,并 ) 用定义证明, A.y_+3. - B.y {2+1 {+1 2xcos3 2sinx C.y- D.y- 21 22+1 5.(多选)有下列几个命题,其中正确的是 ( ) A.函数v=2x{}十x十1在(0,十oo)上是增 函数 7十1 在(-,-1)U(-1. 士)上是减函数 C.函数y-5+4x-^{}的单调区间是[-2, 十) 10.某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速 2x-3,x>0. D.已知函数g(x)三 是奇函 生产某种产品(生产条件要求1x10). (f(x),x<o 每小时可获得的利涧是(5x+十1-3])万元.。 数,则f(x)-2x十3 6.(2022·新高考I卷,12)已知函数/(x) (1)要使生产该产品2小时获得的利润不 低于30万元,求x的取值范围; 及其导函数f(x)的定义域均为R,记 g()#”(x).若/(3-2),g(2+)均 (2)要使生产120千克该产品获得的利润 最大,则该工厂应该选取何种生产速度? ( 为偶函数,则 ) 并求出最大利润 B.#1)一# A.f(0)-0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 是奇函数,则a一 ,6一 8.(2022·北京卷,14)设函数f(x)= -ax十1,xa, 若f(x)存在最小值,则a ((x-2)②,x二a. 的一个取值为 ;a的最大值为 新题 快递 函数q,满足a·,一B·q,并且说明如果存 1.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显 在其它的集合E满足存在E'→A的函数/ 著,他是数学史上第一位重视概念的人,并目 以及E'→B的函数q,满足a·p-③·q,则 存在唯一的E→E的函数 满足·一; 有意识地“以概念代替直觉”,以其名命名的 1,x是有理数 9.-. 函数D(x)= 狄 10,x是无理数 利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类 (x,x是有理数 似的函数L(x)一 “L函数”, 10.x是无理数 则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个 结论: (1)D(1)-L(1); (2)函数L(x)是偶函数; (3)L函数图象上存在四个点A,B,C,D,使 得四边形ABCD为菱形 (4)L函数图象上存在三个点A,B,C,使得 △ABC为等边三角形 其中所有正确结论的序号是 2.设有两个集合A,B,如果对任意aA,存在 唯一的bB,满足f(a)一b,那么称f是一 个A→B的函数,设f(a)是A→B的函数, g(b)是B→C的函数,那么g(f(a))是A→ C的函数,称为g和f的复合,记为g·f, 《《益智欢乐谷 如果两个A→B的函数f,g对任意aEA. 一男子和老婆 都有f(a)一g(a),则称f一g 在火锅店,边吃边 还人类一片清新 (1)对f(x)一e,分别求一个g(x),h(x). 请丢掉手中的香烟 聊,正高兴时,有个 使得(g·f)(x)=x=(f·h)(x)对全体 少妇走过来,直视着 x二1恒成立; 他说:“我怀孕了!”那个男人的老婆先是一 (2)设集合A,B,C和A→C的函数a以及 愣,紧接着甩手给了他一耳光,又拉又扯,连哭 B→C的函数3. 带闹,全火锅楼的目光都聚焦在他俩身上,那 (I)对E=((a,b) aA,bEB,a(a) 哥们欲哭无泪! 3(b),构造E→A的函数)以及E→B的 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦你 函数q,满足a·-{·q; 把烟拍了,谢谢!” (iì)对E-((a,b) aA,bEB,a(a) 哥们捂住脸哭都哭不出来...... 3(6)),构造E→A的函数以及E→B的 吃饭有风险,抽烟需谨慎!快乐假期 假期作业11 十古为奇函数,所以其 思维整合室 定义域关于原点对称。 1.(1)①一对一 多对一 一对多 由1-x 1-0可得,(1--)(a+l-ar)子0,所以x-1 2.(1) ()()(2)①原点对称 ②原点 y轴 r.-1。 3.(2)递减 递增 递增 技能提升台 (一1.1)(1,+o),再由f(0)-0可得,b-ln2.即/(x)= 1.A [·f3)-4,//(3)]-f(4)-1.] 2.C [对于A.f(2)-1,g(r)-r一1的定义域不同,化 一一/(x),符合题意, 简后对应关系相同,不是相同函数; In2. 对于B,f(x)-x,g(x)=(){}的定义域不同,对应关系$ 8.解析:由题意知,函数最值与函数单调性相关,故可考虑以 不同,不是相同函数; 0.2为分界点研究函数f(x)的性质,当a0时,f(x) 对于C,f(x)-r-2,g(t)-r*-2的定义域相同,对应关系 -ar十1,x<a,该段的值域为(-,-a十1),故整个画数 相同,是相同函数; 没有最小值:当a-0时,f(x)一一ax十1,xa,该段值域为 对于D.f(x)=x+I·x-I,g(x)=-1的定义域不 1.而fr)=(x-2).a的值域为[0.+oo),故此时fx)的 同,化简后对应关系相同,不是相同函数,故选C.] 值域为[0,十),即存在最小值为0,故第一个空可填写0;当 3.D[AB递减,排除,C有增有减,排除,因此只有D正确。] 0 a 2时,f(x)--ax十l,ra,该段的值域为(-a+1. 十o),而f(x)=(x-2),xa的值域为[0,十oo),若存在 最小值,则需满足一a{十1二0,于是可得0<a 1;当a>2 设(2)-2rco 当x(0.)时,0<cosr<1. 时,f(x)=-ax十1,x<a,该段的值域为(-a十1,+), 十1 而f(x)-(r-2),a的值域为[(a-2)},十),若存在 最小值,则需满足一a{}十1二(a一2)*,此不等式无解,综上,a 的取值范围是[0,1],故a的最大值为1. 10 答案:0(答案不唯一)1 [由-2+-+1-2(+){+在 9.解:(1)由已知g(x)一/(x)一a. 5.AD 得g(x)-1-a- . 因为g(x)是奇函数,所以g(一x)一一g(x). 即1--2--(1-a-),解得-1. 是增画数,故A正确;y-在(-,-1), 2 (一1,十oo)上均是减函数,但在(-,-1)U(-1,十co) (2)函数/(x)在(0,十oo)内为增函数. 1 1 上不是减函数,如-2<0,但-2~,故B错误;y= 证明如下:任取0<x.<x,则f(r)一f(x) --(1-)-2- 5+4r-x^{在[-2.-1)上无意义,从而在[-2,十c0)上 文:x 不是单调函数,故C错误;设x0.则一x>0.g(一x)--2r 因为0<xx.所以x-x<0.xx0. 从而2(2一)<0.即f(x)</(ro。). 一3,因为g(x)为奇函数,所以f(x)=g(x)=一g(一x)-2x+ 12 3.故D正确,故选AD.] 所以函数/(x)在(0,十)内是增函数. 6.BC [由/(- 2)为偶画数可知f(c)关于直线x-3对称, 10.解:(1)由题意可知,2(5+1-)=30. 由g(2十x)为偶函数可知g(x)关于直线x一2对称, 所以5x-14x-3-(5x+1)(r-3)0. 结合g(x)一f(r),根据g(x)关于直线x-2对称可知f( 所以<-或二3. 关于点(2.t)对称: 根据f( )关于直线x-3}对称可知(x)关于点 又1:10,所以3.10. 所以:的取值范围是[3,10]. ({}。)对称, (2)易知获得的利洞y-120(5-+1-) 综上,函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数, -120-+)[10. 所以((0)一f(2)一7.所以A不正确; f(-1)=f(1),f(4)-f(2),f(1)=f(2). 令-[10-1],时y-120(-3十1+-5). 故f(一1)一f(4),所以C正确; 8(- )-8(2)-0.g(-1)-g(1),所以B正确; 当1-即x-一6时:yx-610. 又g(1)+g(2)-0,所以g(-1)+g(2)-0,所以D不正确 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度,此时利润最 故选BC] 大,且最大利润为610万元 #=2 新题快递 3.A[-20232023-1,0=lo1<-lo $ 1.解析:由狄利克雷函数的定义,可得D(1)一L.(1)一1,所以 <log:2023-1. (.,x是有理数 c=log 2023<log:a1-0.i:a6c.故选A.] (1)正确:由L(r)一 1 L(1)-1,不满足L(-1)-L(1),所以函数L(x)不是偶函 4.B [根据题意可得C一20”X20,C-30X10.两式相比得 30 1.({) 以_10#10 一 数,所以(2)错误;由1I.函数定义,可得函数L.(x)图象上的点 要么在直线y-x上,要么在直线y一0上,若函数L图象上 30X10 l21g2 0.3 存在四个点A,B.C,D使得四边形ABCD为菱形,因为菱形 的对角线互相垂直平分,则直线y一x和y一0不是对角线 所在的直线,不妨设A(a,a),B(b,b),C(m,0),D(n,0),则 5.ABD [如图,在同一坐标系下画出 b二-1 . y-2022 与y-2023的图象,结合 a-n一n 图象可知A,B,D可能成立,故 anbtn ,可得A AC与BD互相垂直平分,可得 选ABD.] 2+ 2 ## 6.ABD[A正确,/(-)-*一) 一一/()), 与B,C与D重合,且方程不成立,所以(3)错误;取函数L图 象上三个点A(3,3),B(3-3,0).C(3+3.0).则AB-BC 2 一AC-23,使得△ABC为等边三角形,所以(4)正确。 f(x);B正确,因为品数/(x)为增函数,所以f(一2)<f(3); 答案:(1)(4) (不正确./(c)(2)--+-2π} 2 2- 2 2.解析:(1)因为(g·/)(x)-ln==x,而(f·h) ()-(”--r.(g·)(r)--(f·h)(r)对全体 2 2 -2/(x)g(x).] r1恒成立: )#x( 0,42- 故g(x)= lnx,h(x)= lnx对所有x→1成立. 7.解析:原式一() (2)(1)考虑p(a,b)一a以及q(a,b)-b两个函数. 答案: 对任意(a,b)E,因为a(a)一3(b). 所以a·-a((a,b)-a(a)-(b)-(q(a,b)-·q. (*,1 8.解析:因函数f(x)一 (lI)我们可以继续使用(1)的构造, {121.又/f(-2)-9.于是得 任意取éE,因为a·p=B·q,所以a(p'(e) 17 -3('(e). -9.而a→0,解得a-,所以a的值等于:因对任意 所以p(e')A.q'(e')B,则('(e')·'(e'))E. 士≠&。:,都有 (x)-()<o成立,则画数f(x)在R上单 因此存在g(e')-(p'(e)','(e'))满足条件; 如果。符合题意,即·一,·-?: r一: 调减,因此,#解得<,以实数的取 0) 则p('(e'))-p'(e')((e'))一'(e'). 由定义得到q'(e')-(p(e),q'(e)). 11-2a .存在唯一的E→E的函数c满足题意. #### 答案:(1)g(x)= lnx,h(x)- lnx #答案:}## (2)(1 )(a,b)-a,(a,b)-b; ll (a,b)-a,q(a,b)-b,说 明见解析 假期作业12 9.解:(1)由真数2x十3--0,解得-1<x<3. 所以函数的定义域为(xl一1<r3). 思维整合室 (2)将原函数分解为y-logu,a-2x+3-r*两个函数,因 1.(1)①I.a l.a-a(2)①a②a” 为-2x+3-r--(r-1)+4<4. ③a'b'(4)①log M+log N ②log.M-log N 所以当x-l时,a取得最大值4,又y-loga为单调增函 ③nlogM ④-log.M 2.R (0.+oo)(0.1) 数,所以y=log(2x+3-r)log4-1. 所以y的最大值为1,此时x-1. y>10<y10y1y1增 减 3.(0.+o)R(1. 10.解:(1)当a1时,f(x)一a是R上的增函数。 0) y0y<oyoy>0增 减 由于0<<1.所以g(n)一()是R上的减画数. 技能提升台 )+8{+(2024)*=2+(2”)+1-2+2*+1- 1.B[() 当0~a1时,f(x)-a*是R上的减函数, 由于→1,所以g(x)一()是上的增画数。 7.故选B.] 2.C [将log3-b转化为指数,得到8{}一3.再结合指数的运 (2)#(2)<(2)()→)(<1→<1- 2{二 当a>1时,r0;当0<a1时,r0. .,故选C.) .当a1时,x的取值范围是(一,0): 当0a1时,r的取值范围是(0,十). 40