第02讲 幂的运算-2023-2024学年七年级数学下学期《精讲·精练·精测》期末专题复习（苏科版）

苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第02讲 幂的运算 一、知识精讲 考点1：幂的运算六大公式 公式1：同底数幂的乘法 公式逆用： 公式2：幂的乘方 公式逆用： 公式3：积的乘方 公式逆用： 公式4：同底数幂的除法 公式逆用： 公式5：零指数幂 公式6：负整数指数幂 二、方法精讲 问题1：幂的运算公式的使用有哪些形式？ 方法点拨： 问题2：幂的运算需要注意什么？ 方法点拨： 1.幂的运算公式在使用时，需要注意对公式中字母的理解要深刻一点，公式中的字母不仅仅是个字母，其实质是个“填空”，也就是说公式中的字母相当于给我们留的一个空，里面可以填任何可以运算的东西，比如数，代数式等等； 2.要有整体意识； 3.每个公式中的字母一般都是有条件的，比如这几个公式中的指数中的字母一般都是整数，而底数中的字母，涉及到除法，倒数等都不能为0. 三、 题型精讲与精练 题型1：公式的正向使用 例1.计算： (1)； (2)． 【考点精练】 1．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：(1)； (2)． 6．计算：(1) (2) 7．计算：(1)； (2)． 8．计算：（1）； （2）． 9．计算：(1)； (2) 10．计算：（1）； （2） ． 题型2：公式的逆向使用 例2．已知是正整数，若，求的值． 【考点精练】 1．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 2．若，，求的值． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 4．求值：已知，． (1)求的值 (2)求的值 题型3：公式的变形使用 例3．计算：(1)． (2)． 【考点精练】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算． (1)； (2) 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： （1） （2） 四、 检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 4．若，，则的值是（    ） A．10 B．7 C．5 D．3 5．已知，，则可以表示成（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 9．计算：（    ） A． B．1 C． D． 10．已知，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若，，则的值为 ． 12．计算的结果等于 ． 13．若，，则 ． 14．计算 ． 15．若，，则 ． 16．若实数m，n满足，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．计算： 18．计算：． 19．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当时，求的值． 20．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第02讲 幂的运算 一、知识精讲 考点1：幂的运算六大公式 公式1：同底数幂的乘法 公式逆用： 公式2：幂的乘方 公式逆用： 公式3：积的乘方 公式逆用： 公式4：同底数幂的除法 公式逆用： 公式5：零指数幂 公式6：负整数指数幂 二、方法精讲 问题1：幂的运算公式的使用有哪些形式？ 方法点拨： 问题2：幂的运算需要注意什么？ 方法点拨： 1.幂的运算公式在使用时，需要注意对公式中字母的理解要深刻一点，公式中的字母不仅仅是个字母，其实质是个“填空”，也就是说公式中的字母相当于给我们留的一个空，里面可以填任何可以运算的东西，比如数，代数式等等； 2.要有整体意识； 3.每个公式中的字母一般都是有条件的，比如这几个公式中的指数中的字母一般都是整数，而底数中的字母，涉及到除法，倒数等都不能为0. 三、 题型精讲与精练 题型1：公式的正向使用 例1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，幂的混合运算，零指数幂和负整指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先算乘方、零指数幂和负整指数幂，再算加减法； （2）先算同底数幂的乘法和除法、积的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【考点精练】 1．计算或化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，零指数幂和负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据负指数幂的运算法则进行化简运算即可； （2）根据幂的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1） 解：原式； （2） 解：原式 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了积的乘方运算，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题； （2）根据幂的乘方与积的乘方可以解答本题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法和除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 7．（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法，积的乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 8．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 9．（1）； （2） ． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握运算法则和公式的运用． （1）根据正整数指数幂，零指数幂的定义计算即可； （2）先计算乘方，再根据同底数幂的乘除法计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型2：公式的逆向使用 例2．已知是正整数，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方逆用法则，根据n为正整数，且，再根据正体代入求解即可． 【详解】解：， 原式 ． 【考点精练】 1．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)6 (2) 9 (3)108 【分析】本题考查了同底数幂相乘以及逆运用、幂的乘方、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可作答． （3）根据同底数幂相乘的逆运用，得出，代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴原式； （2）解：∵，， ∴原式； （3）解：∵，， ∴原式． 2．若，，求的值． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算，正确变形是解题关键，得出代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）7；（2）900 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． （1）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则，求出的值，再把和的值代入计算即可； （2）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，把所求算式写成含有，的形式，代入进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ． 4．求值：已知，． (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，掌握“幂的运算法则及理解逆运算”是解本题的关键． （1）先把，再整体代入求解代数式的值即可； （2）先把，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】（1）解： ，， （2）解： ，， ∴． 题型3：公式的变形使用 例3．计算：(1)． (2)． 【答案】(1)(2)1 【分析】 本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算． （1）逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点精练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用积的乘方的运算法则，即可求解； （2）将变形为，再逆用积的乘方的运算法则，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （2）先将变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 4．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 四、 检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算，根据以上运算法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方法则将各项计算后进行判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，则A不符合题意； B．，则B符合题意； C．，则C不符合题意； D．，则D不符合题意； 故选：B． 3．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 4．若，，则的值是（    ） A．10 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，将变形为，代入数值计算即可，掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 5．已知，，则可以表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则把变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 8．如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，然后进行大小比较即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 9．计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握这个运算法则是解题的关键． “积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，逆用这个法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 10．已知，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，利用幂的乘方、同底数幂相乘法则求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法法则的逆用，先逆用同底数幂的公式，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用、同底数幂相乘的逆用等知识，解答的关键是积的乘方和同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用积的乘方运算法即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】20 【分析】此题考查同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 14．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：， 故答案为： 15．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的幂的乘方，同底数幂除法的逆用，将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：2． 16．若实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂除法和幂的乘方，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的计算，零次幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂，积的乘方的逆运算，先计算负整数指数幂，零次幂，积的乘方的逆运算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 19．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)48 (3)3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法及幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则和幂的乘方法则． （1）根据已知条件，逆用同底数幂的除法法则，把幂写成同底数幂相除的形式，再代入计算即可； （2）根据已知条件，逆用同底数幂相乘法则和幂的乘方法则进行计算即可； （3）把已知条件中的等式中的换成2，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，从而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）当时，， 即：， ∴． 20．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$