专题02 幂的运算（3大考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题02 幂的运算 【考点1：】同底数幂的乘法 【考点2：】幂的乘方与积的乘方 【考点3：】同底数幂的除法 一、同底数幂的乘法性质 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. （6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 五、科学记数法 ， 考点剖析 【考点1：】 同底数幂的乘法 1．若，，则的值是（    ） A．10 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，将变形为，代入数值计算即可，掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．若，则（    ）． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用等知识点，根据题意利用同底数幂乘法法则运算即可得解，熟练掌握同底数幂乘法法则是解决此题的关键． 【详解】由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．若，则的结果是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 先对方程变形得到，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得：， ∴， 故答案为：16． 4．下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据表格信息分别找出对应的中的n的值，根据同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：根据表格信息可得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 5．规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【详解】（1）原式； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 6．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 【考点2：】 幂的乘方与积的乘方 1．计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方，掌握积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘是解题的关键． 【详解】解：， 故选D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方及同底数幂的乘法，先算积的乘方，再算同底数幂相乘即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选B． 3．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键．先逆用幂的乘方法则把、9化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得方程，求解即可． 【详解】解：， ，即 故答案为：1． 4．若，则的值 . 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2. 5．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)200 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：， ∵， ∴原式； （3）解： ． 6．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【考点3：】 同底数幂的除法 1．2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示该钼丝的直径是． 故选：D． 2．如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，然后进行大小比较即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 3．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知式子两边化为同底数的幂．将已知式子两边化为同底数的幂，即可列出关于、的方程，从而求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：9． 4．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若，求x的值．他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，那么正确的结果应该是 ． 【答案】或或1． 【分析】分别从底数等于1，底数等于且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用． 【详解】解：①的任何次幂为1，所以，．且， ， ； ②的任何偶次幂也都是1， ，且为偶数， ， 当时，是偶数， ； ③任何不是0的数的0次幂也是1， ，， 解的：， 综上：或或1． 故答案为：或或1． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，幂的混合运算，零指数幂和负整指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先算乘方、零指数幂和负整指数幂，再算加减法； （2）先算同底数幂的乘法和除法、积的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）原式． （2）原式． 6．已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）逆用同底数幂相除法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，推出，把转化为，计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 过关检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算，根据以上运算法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²， 数据0.0000164用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知，，则可以表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则把变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 4．已知，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．将转化为，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故选A 5．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 6．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 7．若，，则 ． 【答案】20 【分析】此题考查同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则以及整体代入思想是解题的关键． 将变形为，利用同底数幂的乘法得，得出，将作为整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【答案】793 【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解． 【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2． 当时，，不相等且都不是质数，矛盾； 当时，，此时，符合题意， 所以； 当时，，不满足条件． 综上，． 11．计算或化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，零指数幂和负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 13．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 幂的运算 【考点1：】同底数幂的乘法 【考点2：】幂的乘方与积的乘方 【考点3：】同底数幂的除法 一、同底数幂的乘法性质 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. （6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 五、科学记数法 ， 考点剖析 【考点1：】 同底数幂的乘法 1．若，，则的值是（    ） A．10 B．7 C．5 D．3 2．若，则（    ）． A．8 B．7 C．6 D．5 3．若，则的结果是 ． 4．下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为 ． 5．规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 6．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【考点2：】 幂的乘方与积的乘方 1．计算：=（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若，则 ． 4．若，则的值 . 5．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 6．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【考点3：】 同底数幂的除法 1．2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 3．若，则 ． 4．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若，求x的值．他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，那么正确的结果应该是 ． 5．计算： (1)； (2)． 6．已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 过关检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²， 数据0.0000164用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．已知，，则可以表示成（    ） A． B． C． D． 4．已知，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 5．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 6．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．若，，则 ． 8．已知，则 ． 9．，，则 ． 10．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 11．计算或化简 (1)； (2)． 12．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 13．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$