湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高二5月大联考数学试题

羽天壹 湖南天壹名校联盟·2024年上学期高二5月大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B C D A C BD ABD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案D 【解析1=(1-=-2，则+到--2i+ =|一2i-1=√1十4=√5，故选D. 2.【答案】C 【解析】，A={.xx2+2x-8<0}={x一4<x<2},B={x|x≤2}={x-2≤x≤2}.A∩B={x-2≤x< 2}.故选C 3.【答案】B 【解析】由题意可知，x=21+23+25+27=24,y=15+18+19+20=18. 4 4 将(24,18)代入y=0.8.x十a,即18=0.8×24+a,解得a=-1.2, 所以y=0.8.x-1.2, 当x=35时，y=0.8×35-1.2=26.8, 则n-26.8=1.2,n=28.故选B. 4.【答案B 【解析】依题意，a十a+2=2反a,解得a=1,所以圆M的半径为22，故选B. 5.【答案】C 【解析】：a=(2,y),b=(x-1,1),x>0,y>0,a⊥b. .2x+y=2, 22丝山2生含-兰++2 ty y'r y ·六+1=3 N y 当且仅当y=2,即x=分时取等号， :2x+的最小值为3.故选C ty 6.【答案】D 【解折IP(A-大=号PAB)-表-高所以PBA--是放运D A 7.【答案】A 【解析】由f(x十1)是奇函数及f(x)在R上单调递增可知，f(x)关于(1,0)对称，且当x>1时，f(x)>0,当x<1 时，(x)<0,所以当x∈(2，+o)或x∈(-2,1)时，(x-4)f(x)>0,故选A. 8.【答案】C 【解析】由(x)=lnx-ar十x十lna,得了(x)=-2ax十l,”a>0∴了(x)在0，十o)上单调递减， ①当a=1时，fx)=-2x+)xD>1时，fr)<0.f(x单调递减f≤f1)=0,符合题意： ②当0<a<1时.f)=21-a)>0f(日）=a-1<0,存在m∈(1，）使得了()=0. 【高二数学试题参考答案第1页（共5页）】 “当x(,)时，(x)<0x)单调递减…fx)>f(日)=ln。-a·(侵)+2+lna=0,不符合题意， 舍去： ®当a>1时了1)=21-a)<0,(）=a-1>0,存在∈（合1小，使得f()=0, ∴.当x∈[1，+∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减，.f(x)≤f(1)=1na-a+1=0. 令g(a)=lna-a+1(a>1),则g(a)=二a<0,g(a)在(1，十o)上单调递减ga)<g1)=0,符合题意。 综上所述，a的最小值为1.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BD(全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分) 【解析】选项A,T==,故A错误； 2 选项B,易知f(答)为最大值或最小值“x=苓是y=f八x)的一条对称轴的方程。 2X答十g=kx十受k∈么，心g=牙十xk∈).0<g<,小g=牙，故B正确： 选项C(任）一im是-竖，不是最值，故c错说： 选项D,当x[0,受]时，2x+∈[至]，此区间上x)有且仅有一个零点.故选BD 10.【答案】ABD(全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分) 【解析】当a=1时，a+1=a.一2，所以{aw}为等差数列，A选项正确： 云=士=-n十1+，所以（倍）是公差为-1的等差数列，C选项错误： 2 当a=一1时，aw+1十aw=2,所以S1=2X1012=2024,B选项正确： 由a-1十a=2可知，ao4=a:=2-a1,所以a1ao2t=a1(2-a1)≤1，D选项正确，故选ABD. 11.【答案】BCD(全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分) 【解析C:=子y,抛物线C的准线方程为y=一后A选项错误： 设A(m1,4xi),B(x2,4x),:y=8,k1=81,k2=84,k=当-业=4(x十G1),k1+k2=2k,B选项 Tg一E1 正确： 设直线PAy=8x一4，PBy=8x一4，解得P士，4n 4x1x2= 16= 6kk:=64x=一1，C选项正确； 1AF+4BF=十+后=+16时+≥161+最-品当且仅当=-2：时取等号，D选项 正确，故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】112 展开式的通项为T+1=(一2)Cx =C(-2)x.令8-2r=5,得r=2,则 -是) 的展开式中x的系数为C(一2)=112. 13.【答案)(2，+∞ 【高二数学试题参考答案第2页（共5页）】 【解析】设渐近线y=么x的倾斜角为0，则20>60，即0>30，所以an0=b> ,离心率e= 6、23 31 14.【答案】(3+2v2)x 【解析】设圆锥底面半径为r,母线长为l,且母线与底面所成角为20， 则1cos20=r,tan0=1 圆维侧面积为S=号×2xrX1=1= 1+tan0 Fcos20-πcos20an0-π(1-tan'0)tan0' 设1+tan0=x,则S=(2-x)(x-1)-x+3x-2} 个 (+ =(3+2W2)x, 3-2V2 当且仅当1十tan0=x=√2，即tan'0=v②一1时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)略(2)7 【解析1)八，1=2+1. ∴+1=2位+小 又十1=20.所以数列侵十1是首项为2，公比为2的等比数列：…6分 (2)由(1)得1+1=2.2-，1=2-1，…8分 a 设数列日}的前n项和为5 则S.=1+1+…+1=(2+2+2++2”)-m=21-22-m=21-1-2, a a2 1-2 51-S=2+2-(m+1)-2-[2+1-0-2]=2+1-1>0.…11分 .数列{S.}单调递增，S,=247,S8=502, .S.<500的最大整数n为7.… 13分 16.【答案】(1)表格见解析，学生是否近视与体育运动时长有关(2)分布列见解析，E(X)=2 【解析】(1) 体育运动时长 体育运动时长 合计 小于1小时 大于或等于1小时 近视 8 4 12 无近视 2 36 38 合计 10 40 50 ………3分 零假设H:学生是否近视与体育运动时长无关， X-02%3o0-g、2491>1a828 57 5分 根据小概率值a=0.001的独立性检验，没有充分证据推断出H。成立，因此可以认为H。不成立，即认为学生 是否近视与体育运动时长有关；…………7分 (2)X的可能取值为0,1,2,3，………8分 p0X-o-是-高PX=-e-是 C255 …10分 【高二数学试题参考答案第3页（共5页）】 pX---器---是 C1255' 小…12分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 12 28 14 55 55 55 55 E0X0=0×品+1×号+2×器+3× =2. 4…4…4…4…………440…44……4… 15分 17.【答案】(1)略 (2)313 13 【解析】1)证明：，'△ADP是等边三角形，E为DP的中点. AE是等边△ADP的中线，所以AELPD,………2分 CD⊥平面ADP,AEC平面ADP,.CD⊥AE,…4分 ,CDC平面PDC,PDC平面PDC,CD∩PD=D,∴.AE⊥平面PDC, ………6分 PCC平面PDC,AE⊥PC;……………7分 (2)解：取PC的中点F,连接EF,BF, ,CD⊥平面ADP,EF∥CD,∴.EF⊥平面ADP, 以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x,y,之轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Exy之，………………8分 则P(3,0,0),B(0,3√3,2).C(-3,0,4). .PB=(-3,33,2),PC=(-6,0,4).… 10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), (PB·m=-3x+35y+2x=0, 由 12分 P心.m=-6.x+4z=0, 令x=2,则y=0,=3,∴.m=(2,0,3). 显然平面ABE的一个法向量为n=(1,0,0), =223 :cos(m,m）=mn-V3X1 m。n 14分 3，” 故平面PC与平面ABE夹角的正弦值为，-( 3/13 13 15分 18.【答案1片+苦-1(2 2 (3)略 【解析】(1)设C的焦距为2c,依题意，c=1, …1分 又=名-号所以a=2,6=a2-=3, 3分 所以椭圆C的标准方程为号+苦=1： 4分 (2)易知，Fz(1,0),直线PF的斜率为一1，且PF:|=√2，… …5分 设直线y一十m,联立椭圆方程3，+4y一12=0，可 可得7x2-8m.x+4m2-12=0, 令△=0可得，64m一4X7X(4m2一12)=0，解得m2=7,……6分 当m=7时，直线y一x+V万与直线PF:y=-x十1的距离为71 2 所以△PF,Q的面积为号×2×7=7⊥， √2 2 …7分 【高二数学试题参考答案第4页（共5页）】 当m=一7时，直线y=一x-√7与直线PFy=一x+1的距离为71， 2 所以△PF,Q的面积为2XV2×中7+1，万+1- √2 2 2 2 ，…8分 所以△PF,Q面积的最大值为7+1， 2 ……9分 (3)证明：易知直线I的斜率存在，不妨设直线：y=k.x十t,A(x1y),B(x2y), 依题意，cos∠PF:A=cos∠PF,B,即 FP.FA F产.FB ……11分 F2P1·FAF2P1·F2B FA1=-+=√a-1+8-要=2-2： 同理可得，RB1=2一号… 13分 所以十业=x十业，即一十k十=1一十十 2一号 15分 2-号 2-号 整理可得(4k+1一3)(x1一x)=0,所以4k+t一3=0， 所以直线l:y=kx十3一4k=k(x一4)十3，…… 16分 所以直线l过定点(4,3).………17分 19.【答案】(1)b<-ln2(2)-2,略 【解折1=lae+》-营+片+bf)=名+受 2· …3分 令H)=厂).则H（)=千十号>0，放了)有唯-零点=0，…4分 e 且在（一o∞，0）上，f(,x)<0,f(.x)为减函数：在(0，十o∞)上，f(x)>0,f(x)为增函数，…5分 而x→一oo时，f(.x)→十oo:x→十oo时，f(.x)→十o∞， 故f(x)有且仅有两个零点等价于f(0)<0→ln2十b<0→b<一n2:…6分 (2)g(x)=g(-x),.g(x)是偶函数， ∴.当x≥0时，g(x)=x+2x+ln2-2 g'(x)=3x2+2>0,.g(xr)在[0，十o∞)上单调递增，g(x)mm=g(0)=n2-2,…8分 .g(.x)的值域为[ln2-2,+o∞)，由(1)知f(x)的最小值为f(0)=ln2+b,值域为[ln2+b,十o∞)，.b=-2,… ……9分 易知fx)+登+2=ln(e+1)+千>0，。 …10分 设F(1)=n(1+1D-,千1， 11分 F0)=市一D>0,F0在1+)上单调遥带，F0>FI)=h2-含n4-1D>0 即1n(1十1)，千与对>1恒成立，故n(e十1)……………13分 设ho)=)-ln,>0.Mo)=1-号，显然=1为极小值点，ho)≥h1)=1.即>nv对>0恒成立，放产 -lh>0r>n,f>n-0…15分 4 综上，n(e十1)千>十n对xE(0,+∞)恒成立因此原不等式成立.…17分 【高二数学试题参考答案第5页（共5页）】羽°天喜 机密★启用前 湖南天壹名校联盟·2024年上学期高二5月大联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知=(1-i)2,则 +到 A.2 B号 C.4 D.5 2.已知集合A={x|x2十2x-8<0},B={xx≤2}，则A∩B= A.(-4,-2) B.(-2,2) C.[-2,2) D.[-2,2] 3.已知变量x,y的部分数据如下表，由表中数据得x,y之间的经验回归方程为y=0.8x十a,现有一 测量数据为(35，n),若该数据的残差为1.2，则n= 21 23 25 27 15 18 19 20 A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.4 4.若直线x十y+2=0与圆M:(x一a)2十(y一a)2=8a2(a>0)相切，则圆M的半径为 A.2 B.22 C.4 D.8 5.已知向量a=(2,y),b=(红-1,1)，a1b,>0,y>0,则2+Y的最小值为 A.2+2 B.22-1 C.3 D.W2-1 6.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的 球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B引A)= A c.9 【高二数学试题第1页（共4页）】 7.已知函数f(x)在R上单调递增，且f(x十1)是奇函数，则满足(x2一4)f(x)>0的x的取值范 围是 A.(-2,1)U(2,+∞) B.(-∞，0)U(2,+o∞) C.(0,1)U(2,+∞) D.(0,2) 8.若不等式lnx一a.x2十x+lna≤0在[1，十o∞)上恒成立，则a的最小值为 A. C.1 e n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=sin(2x十p)(0<9<),对任意实数x都有f(x)≤f() ,则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期为受 Bg=平 C.f(x)的图象关于x=于对称 D.fx)在区间[0，受]上有且仅有一个零点 10.设数列{an}的前n项和为S.,已知aw+1=aam一2a,则下列说法正确的是 A.若a=1,则{a.}为等差数列 B.若a=一1，则S024=2024 C.若a=1,则S是公差为-2的等差数列 D.若a=一1，则a1a24的最大值为1 11.已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,A,B为C上的两点，过A,B作C的两条切线交于点P,设两 条切线的斜率分别为k1,k2,直线AB的斜率为ka,则 A.C的准线方程为y=一1 B.k1,k,k2成等差数列 C.若P在C的准线上，则k1k2=一1 D,若P在C的准线上，则1AF+4BF的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x-名)》”的展开式中x的系数为 13.已知0为坐标原点，若双曲线C:后一若=1a>0,6>0)的右支上存在两点A,B,使得∠AOB= 60°，则C的离心率的取值范围是 14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为 【高二数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在数列{a.中，已知4，=1,1=2+1. aw+l dn 1求证：数列侵+1为等比数列： (2)求满足不等式+1+1+…+1<500的最大整数. a。 16.(本小题满分15分) 近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40 人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动 时长与青少年近视的相关性，研究人员采用比例分配的分层随机抽样方法从学生中抽取50人进 行调查，得到以下数据： 体育运动时长 体育运动时长 合计 小于1小时 大于或等于1小时 近视 4 无近视 2 合计 (1)请完成上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时 长有关？ (2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检 测，设随机变量X为体育运动时长小于1小时的人数，求X的分布列和数学期望 附： a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n (ad-be)2 参考公式：X=a十bc十)a十eh+其中n=a+b+c+d. 【高二数学试题第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面ADP,AB∥CD,CD=2AB=4,△ADP是等边三角形， E为DP的中点. (1)证明：AE⊥PC: (2)若PA=3AB,求平面PBC与平面ABE夹角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C.号+芳=1(a>6>0)的左右焦点分别为R,R,离心率为，点P(0,1,△PFR, 为等腰直角三角形， (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点Q为C上的一个动点，求△PF2Q面积的最大值： (3)若直线l与C交于A,B两点，且∠PF:A=∠PF2B,证明：直线I过定点. 19.(本小题满分17分) 已知函数x)=ln(e+1)一受+若+6有且仅有两个零点. (1)求b的取值范围： (2)函数g(x)=|x3十2x+l2一2，若f(x)与g(x)的值域相同，求b的值，并证明：x∈(0， +oo)fx)++2>+ e'+1 2 【高二数学试题第4页（共4页）】■■■■■■■■■■■■■■■■里■ 海在春用口的有区动内桥。出队也恒定8湖能清无坡可 销在餐略口的际是区罐内作新，为和形道附明定迪的香数做团 湖南天壹名校联盟，2024年上学期高二5月大联考 5.本小题满分13登 16.(本小题端登15分) 数学答题卡 体岸场同长 体有婚陆时长 名 华F1 大于线等71个时 贴条形码区 程展 4 考号 1 考生帮填 每计 :角理间，琴受等多特睫地用丹已)性者，度考研与销可而现记角植置：样事 填 鱼电同南准专号，用关车人门特实家建理址手其相韩国托神解，样 章透样顺是年速用加所把纳游：寻得样脑心衡速用取来是来为但显卡是平笔 的荐发镜：在单钩城人陆量上，节图效 济怪最[请用2组份笔填涂) 1L11Le于【 41】】113 0【A1E30121 1t41T可【1Tu 1【41tLJ【位1I I1t1c3tc回oG 非选择增[清债用05毫米的摆色字棱签学笔书写引 12.5计) 13.5分 14.(5经) 清在角同口的特风城内作，底球结塑扇定饭随首餐家无效 海在量口的餐裤面储内作着。结出多山粗体金多城相事无效 请在韩口时新题区城内作青，植出数形的型限业区储的黄案无数 高二数学第1到（共2顶） 铸在各题口购桥即区域内作活，蜂利的限定区速的餐架收幻 请仔备门的香垂区罐内作香，出形道附定区的香南数 亿.（本小图离分15分） 1本圈满分17数) 9(本小圈满分17分引 高二数学第2页（共2顶）