精品解析：河北省唐县第一中学2024届高三第三次模拟考试数学试题

高三数学考试 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 3. 某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角，（）满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的值域为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面ABCD B. 若，则 C. 若，，则平面ABCD D. 若，，则平面ABCD 10. 已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A. B. 是奇函数（ ） C. 是奇函数 D. 恒成立 11. 已知抛物线C：的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则（ ） A. 设AB的中点为H,则轴 B. 点Q的轨迹为抛物线 C. 点Q到直线l距离的最小值为 D. 的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为75，则________. 13. 若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点.若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为________. 14. 在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，为的极值点. （1）求a； （2）证明：. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. （1）证明：； （2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 17. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. （1）当时，求； （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 18. 设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点. （1）若b为定值，证明：为定值； （2）若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b. 19. 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和. （1）若，，，求； （2）若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同； （3）证明：为完全平方数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解得 ，进而求解即可. 【详解】因为的解集为，且，， 所以. 故选：C. 2. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面对应的点为. 故选：A. 3. 某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件思想解题即可. 【详解】该人不能欣赏到舞蹈“科目三”的概率， 则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率， 故选：B. 4. 已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，即可表示出，根据数列为等差数列得到，解得即可. 【详解】依题意，则， 则， 又是等差数列，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 5. 若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义结合条件求解即得. 【详解】解：易知新的一组数据的平均数为， 所以新数据的方差. 故选：D. 6. 已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解. 【详解】易知，设， 联立与可得，故， 由得，所以，， 因为，所以，即， 又，所以. 故选：B. 7. 已知锐角，（）满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果. 【详解】设，其中，，， 当时，， 此时在，有增有减， 又因为，且，所以，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知的值域为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面ABCD B. 若，则 C. 若，，则平面ABCD D. 若，，则平面ABCD 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理来加以判断即可. 【详解】因为，且平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，即A正确； 因为AD与BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若，则l与BC不平行，即B错误； 因为直线AD与BC能相交，所以若，，平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD，即C正确； 因为，两者不相交，所以若，，推不出平面ABCD，即D错误. 故选：AC. 10. 已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A. B. 是奇函数（ ） C. 是奇函数 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D. 【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确； 取，则，所以，即B错误； 因为，所以，所以，即C正确； 取，已知函数在上单调递增，则，又， 若存在，则，所以，即D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线C：的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则（ ） A. 设AB的中点为H,则轴 B. 点Q的轨迹为抛物线 C. 点Q到直线l距离的最小值为 D. 的面积的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过设l：,设,,然后联立方程后结合韦达定理得到,然后求出直线与,进而求出Q点坐标,然后可以判断A,B选项,然后通过参数m表示点Q到直线l的距离和的面积,进而可以判断. 【详解】易知,设l：,设,, 将l与抛物线C的方程联立,则可得, 所以,,即,, 所以,因为,所以直线AQ：,有, 同理可知,直线BQ：,所以, 所以,所以,所以,即A错误； 又, 所以Q的轨迹方程为,即B正确； Q到l的距离, 因为,所以,即C错误； 因为, 所以,即D正确. 故选:BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为75，则________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 13. 若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点.若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，由双曲线定义可得，则问题转化为在上有解，求出二次函数的值域得解. 【详解】由题意可知，，，，且，， 设，则，所以在上有解， 又在上单调递增，所以， 所以，且，解得. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设中点为，外接圆圆心为，根据条件得到，外接圆圆心为，由截面圆的性，找出外接球的球心，再由几何性质，即可求出结果. 【详解】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以， 又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有， 所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为， 又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角， 由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点， 由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示， 所以，，得到， 又易知，，所以， 所以外接球半径， 所以外接球表面积， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，为的极值点. （1）求a； （2）证明：. 【答案】（1）3； （2）证明如下： 由（1）可知，， 要证，即证， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 因为，， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，由求解； （2）转化为证，令，由证明. 【小问1详解】 解：， 依题意，，解得， 经检验符合题意，所以； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：证明不等式，往往由证明. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. （1）证明：； （2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】（1） 由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平面的判断、性质推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 17. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. （1）当时，求； （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 【答案】（1） （2）157 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式计算； （2）运用二项分布公式算出和，再根据题意求出中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【小问1详解】 由已知， 所以； 【小问2详解】 由已知，所以，， 若，则，即， 即， 由切比雪夫不等式， 要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，则， 解得，所以估计信号发射次数n的最小值为157. 18. 设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点. （1）若b为定值，证明：为定值； （2）若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b. 【答案】（1）证明：易知，，设P（m，n）， 则，即， 直线PE：，联立，则， 所以，直线PF：，，则， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）易得，，设P（m，n），则，分别得到直线PE和直线PF的方程，从而得到点A，B的坐标，进而得到向量的坐标运算即可； （2）设直线AB：，结合（1）得到，即，再由直线AB与椭圆联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线AB：，则，， 则，即， 令直线AB与椭圆联立，消去y，整理得， 需满足，设，，则，， 因为，， 所以， 所以，所以， 整理得，所以， 所以，解得. 【点睛】思路点睛：本题第二问先设直线AB：，结合（1）得到t，k，b的关系，再由直线AB与椭圆联立，结合韦达定理，由得到t，k，b的关系而得解. 19. 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和. （1）若，，，求； （2）若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同； （3）证明：为完全平方数. 【答案】（1）； （2）证明如下： 假设存在，，， 依题意，，，， 则，因此q整除， 因为p，q为不同的素数，故q不整除p， 又因为，故q不整除， 与q整除矛盾，故假设错误， 所以数列的前q项中任意两项均不相同. （3）证明如下： 由（2）得，且数列的前q项中任意两项均不相同， 所以， 设，则，故， 所以为完全平方数. 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项，进而求出的通项公式，再借助分组求和即得. （2）利用反证法，结合整除及素数的性质导出矛盾即可得证. （3）利用（2）的信息，求出，再利用的定义可得即可求和得证. 【小问1详解】 依题意，，当n为奇数时，为奇数，当n为偶数时，为偶数， 而，因此， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $