精品解析：辽宁省丹东市凤城市2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2023—2024学年度下学期期中测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 与的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，有□，则□的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 不确定 8. 已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，D为BC中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论： 平分；；；；．其中正确的结论有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是__． 12. 小王准备用60元买手抓饼和冰激凌，已知一张手抓饼5元，一个冰激凌8元，他购买了5张手抓饼，则他最多还能买_______个冰激凌． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 14. 定义运算：，：当 时， 当时， 如： ．如图，已知直线： 与 相交于点 ，若 结合图像，写出的取值范围是___________． 15. 已知中， 以和边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ___________． 三、解答题（本题8小题，共75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式． 并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 17. 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折， （1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用甲： ，乙： . （2）请你替张老板根据印刷量来选择方案． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 19. 如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分， （1）当时，求的值； （2）当，时，求的长度． 20. 如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． （1）求甲、乙两种型号机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 22. 已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON； （2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长； （3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2． 23. 如图：已知、，且a、b满足． （1）如图1，求 的面积； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期中测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 2. 与的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】与的和的一半即为，负数即小于，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 3. 若，有□，则□的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤对□进行求解，结合可得到□的取值范围，选出符合取值范围的选项即可． 【详解】解：设□为m，则m 解得：， ∵， ∴ ∴，即□， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握不等式的解法． 4. 如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要证明，由已知条件，，再加一个条件，可以根据，来判断． 【详解】解：根据三角形全等的判定定理， A，，，，符合，能使得成立，不符合题意； B，，，，符合，能使得成立，不符合题意； C，，，，符合，能使得成立，不符合题意； D，，，，不能使得成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：． 5. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵DB=1， ∴OD=3， ∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度， ∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定及勾股定理的逆定理对各选项逐一判断后即可确定答案． 【详解】解：①两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误； ②等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误； ③全等三角形对应边上的中线相等，正确； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误； ⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键，属于基础题，比较简单． 7. 如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由AO，BO分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题． 【详解】解：由AO，BO分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵MN∥BA，∴∠1=∠6，∠3=∠5， ∴∠2=∠6，∠4=∠5， ∴AN=NO，BM=OM． ∵AC+BC=24， ∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24， 即，也就是△CMN的周长是24． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，解题的关键是得到△ANO和△BMO是等腰三角形． 8. 已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A 9. 如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、根据等边对等角即可得出；B、利用角平分线及三角形外角的定义即可证明；C、利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质即可证明；D、由作图方法无法得出相应结果． 【详解】解：A、由作图得，， ∴，不符合题意； B、由作图得，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； C、由作图得，， ∴， ∴，不符合题意； D、由作图无法得出， ∴不一定成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线及垂直平分线的性质，等边对等角的性质及三角形外角的定义，理解题干中的作图方法是解题关键． 10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论： 平分；；；；．其中正确的结论有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故BF． 由≌，推出，由，推出，即． 在中，，易证． 由于≌，推出，推出，于，即可推出． 【详解】解：错误， ， 是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误． 正确 ，， ， ， 是等腰直角三角形，故BF． 正确，，， ≌， ， ， ， ． 正确中，， ，是等腰直角三角形， ． 正确≌， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是__． 【答案】20 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①8为腰，4为底，此时周长为8+8+4=20； ②8为底，4为腰， ∵4+4=8， ∴两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故它的周长是20． 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 小王准备用60元买手抓饼和冰激凌，已知一张手抓饼5元，一个冰激凌8元，他购买了5张手抓饼，则他最多还能买_______个冰激凌． 【答案】4 【解析】 【分析】设他还能买x个冰激凌，根据买冰激凌钱+买手抓饼的钱要小于或等于60元，列不待式求解即可． 详解】解：设他还能买x个冰激凌，根据题意，得 解得：， ∵x为整数， ∴他最多还能买4个冰激凌． 故答案为：4． 【点睛】本题考查不等式的应用，理解题意，设恰当未知数，找出不等量关系，列出不等式是解题的关键． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案． 【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线， 连接EC，如图， 所以， 所以， 所以∠BEC=∠CEA=90°， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 因此的长为7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可． 14. 定义运算：，：当 时， 当时， 如： ．如图，已知直线： 与 相交于点 ，若 结合图像，写出的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解：直接根据新定义，可得，再结合函数图象，即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由图象得：此时x的取值范围是， 故答案为：． 15. 已知中， 以和为边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理；根据等边三角的性质勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，延长交于点，得出平分，在中得出，进而在中，勾股定理求得，根据在中，，在中，，设，则，勾股定理建立方程，解方程得出，进而即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 在中，－， ， 是等边三角形， ， 如图，延长交于点， 又 平分 ， 在中， 在中， 在中， 在中， 设，则 解得： 故答案为：． 三、解答题（本题8小题，共75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式． 并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）， （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次不等式，然后把解集表示在数轴上； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 在数轴上表示为： （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 17. 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折， （1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用甲： ，乙： . （2）请你替张老板根据印刷量来选择方案． 【答案】（1）（1）甲： 2.4x+900；乙： 3x+540；（2）当x=600张时，选择甲、乙经销商一样划算；当x<600张时，选择乙经销商划算；当x>600张时，选择甲经销商划算. 【解析】 【分析】（1）根据经销商的费用=制版费+名片制作费用即可表示； （2）分甲经销商的费用=乙经销商的费用，甲经销商的费用>乙经销商的费用, 甲经销商的费用<乙经销商的费用三类情况进行讨论. 【详解】解：（1）根据题意甲经销商的费用为：3x×0.8+900=2.4x+900； 乙经销商的费用为：3x+900×0.6=3x+540； （2）当2.4x+900=3x+540时，即x=600张时，选择甲、乙经销商一样划算； 当2.4x+900>3x+540时，即x<600张时，选择乙经销商划算； 当2.4x+900<3x+540时，即x>600张时，选择甲经销商划算. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理解题意找出等量关系式，根据等量关系式列出方程，在本题中能应用分类讨论思想进行讨论是解题关键. 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标,即可求解； （2）根据旋转的性质得到， （3）连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 如图，连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心， 旋转中心的坐标为 【点睛】本题考查了平移作图，画旋转图形，找旋转中心，数形结合是解题的关键． 19. 如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分， （1）当时，求的值； （2）当，时，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、勾股定理： （1）先由垂直平分，得，再结合角平分线的定义，得，根据三角形的内角和180°列式计算，即可作答． （2）先由垂直平分，角平分线的定义，，得，，运用所对的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理列式，即可作答． 小问1详解】 解：∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， 在，， 则， 则． 20. 如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 （2）该公司有3种购买方案，该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元 【解析】 【分析】本题考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用． （1）设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值． 【小问1详解】 解：设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是万元、万元； 【小问2详解】 设该公司可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得 解这个不等式组得 为正整数 的取值为，，， 该公司有种购买方案 设该公司的购买费用为万元，则 ， 随的增大而增大 当时，最小，最小万元 该公司购买甲型机器人台，乙型机器人台这个方案费用最低，最低费用是万元． 22. 已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON； （2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长； （3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论． （2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案； （3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论． 【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OM=ON，AO=BO， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON， ∴∠AOM＝∠BON， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON（SAS）． （2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J， ∵△AOM≌△BON， ∴∠OAM＝∠OBN， ∵∠AJN＝∠BJO， ∴∠ANJ＝∠JOB＝90°， ∵OH//BN， ∴∠OHN=∠ANJ=90°， ∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN， ∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝， ∵OA=OB=4， ∴AH＝＝＝， ∴AM＝MH+AH＝． 如图，当MN在OA右侧时， 同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝， ∴AM＝AH-MH＝． 综上所述，BN的长为或． （3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT． ∵∠MON＝∠POT＝90°， ∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON， ∴∠MOP＝∠NOT， 在△POM和△TON中 ∴△POM≌△TON（SAS）， ∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°， ∵∠M=∠ONM=45°， ∴∠ONM＝∠ONT＝45°， ∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°， ∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2 ∵△POT是等腰直角三角形， ∴PT2＝2OP2， ∴PM2+NP2＝2OP2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． 23. 如图：已知、，且a、b满足． （1）如图1，求 的面积； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（１）根据非负数的性质得到，，解出a、b，即可得到答案； （2）延长DB到F使BF＝AC，连接OF，易得，从而得到，易得，即可得到证明； （3）是定值，作于，在上截取，易得，根据等腰直角三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 解：， ，， ，， 、， ，， 的面积； 【小问2详解】 证明：延长DB到F使BF＝AC，连接OF， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ，， ， ， 在与中，， ， ，， 故； 【小问3详解】 是定值，作于，在上截取， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$