13.培优专题1：借助函数关系解决线段、面积问题～14.培优专题2：二次函数与几何综合题-【卓文中考】 2023年陕西中考数学精准巧练

培优专题1借助函数关系解决线段、面积问题 类型1借助函数关系解决线段问题 【关键解法培优】 1.如图，已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E,连接 利用函数关系解决线较、面积问题的 AE,作EF⊥AE,交CD边于点F,设BE=x,CF=y. 一般步骤： (1)写出y与x的函数关系式： (1)确定自变量（与动点有关）： (2)CF的长可能等于子吗？请说明理由。 (2)综合运用全等三角形，相似三角 形、直角三角形的边角关系等知识寻 找等量关系，用含有自变量的代数式 分别表示出与所求儿何图形相美的 量（如图形的边长，某一边的高）： (3)根据函数的增减性和自变量的取 值范围可求最值 第1题图 类型2借助函数关系解决面积问题 2.22大连]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,点D在AC上， CD=3,连接DB,AD=DB,点P是边AC上一动点（点P不与 【作图区域】 点A,D,C重合)，过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q,连接 DQ,设AP=x,△PQD与△ABD重叠部分的面积为S. (1)求AC的长： (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值 范围. B D 第2题图 30培优专题2二次函数与几何综合题 类型1二次函数与三角形全等、相似 【思路点拨】 1.在平面直角坐标系中，抛物线y=一x十bx十c经过A(一3,0)， 1一2.根据抛物线平移得斯抛物线的 B(1,0)两点，与y轴交于点C. 解析式，可得点M,N的坐标，求出 1一1.求抛物线的表达式： ON,OM的长度，要使得△PNQ与 △MON会等，则需使其中一个角为 90°，并且两直角边长度相等，从而得 出点Q的坐标。 【作图区域】 1一2.抛物线y=一x十bx十c的对称轴为直线l,将抛物线沿直线l 向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线与y轴的交点 为M,直线！与x轴交于点N,动点R在直线！上，在新抛物线上 存在一点Q,使得以点N,Q,R为顶点的三角形与△MON全等， 求符合条件的点Q的坐标： 【思路点拨】 1一3.如图，点D是抛物线的顶点，连接AC,AD,CD,在坐标轴上 1一3.先证得△ACD为直角三角形， 找一点F,使得以点B,C,F为顶点的三角形与△ACD相似，求符 再分别以B,C,F为直角顶点分类讨 合条件的点F的坐标. 论，利用相似三角形对应边成比例得 到线段长度后，可得点F的坐标， 【作图区域】 B 第1一3题图 31 类型2二次函数与特殊三角形 【思路点拨】 2.抛物线y=a.x+bx十c(a≠0)与x轴交于点A(一1,0)，B(4,0), 2一2.设出点P的坐标，表示出 与y轴交于点C(0,4). △APC的三边长，利用勾股定理分 2一1.求抛物线的表达式： 类讨论求解即可 【作图区域】 2一2.如图，连接AC,在抛物线的对称轴上存在一点P,使得 △APC是直角三角形，请求出点P的坐标； 卓义Y 第2二2题图 【思路点拨】 2一3.设出，点E的坐标，根据等腰三 角形的性质，进行分类讨论，列出等 量关系求解即可， 【作图区域】 2-3.如图，连接AC,BC.点M是线段OB上不与点O,B重合的 点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D,交BC于点E.试探究 是否存在这样的点E,使得以A,C,E为顶点的三角形是等腰三角 形.若存在，请求出此时点E的坐标：若不存在，请说明理由. A MB 第2一3题图 32 类型3二次函数与特殊四边形 【思路点拨】 3.如图，抛物线与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与 3-2.设出点P,Q的坐标，根据平行 y轴交于点C,OB=OC=3OA=3,P是对称 四边形的对角线互相平分和中点坐 轴上一动点. 标公式列出等量关系求解 3一1.求抛物线的表达式： 【作图区域】 B 第3题图 3一2.在抛物线上有一点Q,使以O,B,P,Q为顶点的四边形是平 行四边形，求点Q的坐标： 卓又双中指 【思路点拨】 3一3.设出点P的坐标，表示出BC BP,PC的长，分三种情况讨论，根据 菱形的邻边相等建立方程求解 【作图区域】 3一3.若点F是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点F,使得 以B,C,P,F为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合 条件的点F的坐标：若不存在，请说明理由. 33 类型4二次函数与图形面积 【思路点拨】 4如图，驰物线L:y=女-多一2与x轴交于点A,B(点A在点 4一2.用含m的代数式表示出 △PBC的铅垂高，根据三角形的面 B的左侧)，与y轴交于点C 积公式列方程求解， 4一1.求A,B,C三点的坐标，并写出△ABC 【作图区域】 的面积； B 第4题图 4一2.点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m,连接 PB,PC,当△PBC的面积为)时，求m的值： 卓双中装 【思路点拨】 一3，设出，点Q的坐标，根据面积相 等可知点Q纵坐标的绝对值，注意 分情况讨论， 单尔不儿文 【作图区域】 4一3.若点Q是抛物线上一点（不与点C重合），且S△Ar=S△A阳， 求点Q的坐标. 34 类型拓展二次函数与线段最值 【思路点拨】 5.已知抛物线y=一x2+3x十4经过A(一1,0)，B(4,0),C(0,4) 5一1.R,C,K三点共线时取得最大 三点. 值，求出此时直线CK的表达式可得 5一1.如图，点K为抛物线的顶点，在x轴上 点R的坐标。 找一点R,使得RC一RK最大，求出此时 【作图区域】 点R的坐标： A O 第5一1题图 【思路点拨】 5一2.设出点F的坐标，表示出线段 长，根据平行线分线段成比例得到关 于两条线段的关系式·再利用函数的 5一2.点P是该抛物线的对称轴上(x轴上方部分)的一个动点.如 性质求解， 图，过点P作EF∥x轴交抛物线于E,F两点，连接BC,交线段 【作图区域】 EF于点S,连接OF交BC于点T,求咒 来y 的最大值： 【思路点拔】 第5-2题图 5一3，利用锐角三角函数将2BQ转 化到一端，点为Q的线段上，由“垂线 段最短”可知，当转化后的线段与CQ 5-3.若Q为x轴上一动点，求CQ+BQ的最小值. 共线时取得最小值， 【作图区域】 35倍优专题2二次函数与几何综合题 腮吉黑是腮黑 32 =300C 1-1.解：把A(-3,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+ 又：∠BOC=∠ACD, (0=-9-3b+c, b=-2, ∴.△COB∽△ACD,∴.点F在点O处时符合题意， c得 解得 0=-1+b+c, c=3 即F(0,0): ∴抛物线的表达式为y=一x2一2x+3. 过点C作CF:⊥BC交x轴于点Fz, 1一2.解：由题意得新抛物线的表达式为y=一x ∴.∠BCF.=∠BOC=90°， 2x+2,对称轴1为x=一1， 又，∠OBC=∠CBF:,.△CBO∽△FBC. 点N的坐标为(-1,0)，.NO=1. 2.OB_BC CB部，即 即元=丽，解得BF=10,∴F(一 10 当x=0时，y=2,.点M的坐标为(0,2)，.MO 9,0)5 =2. 过点B作BF:⊥BC交y轴于点F,, a.当RQ=NO=1,RN=OM=2,∠NRQ=∠MON ∴.∠CBF=∠COB=90°， =90时， 又，∠BCO=∠FCB,.△BCO△FCB, 点Q的位置如答图①中的Q,Q.此时Q,Q的坐 标分别为(2,2)，(0,2)： 品器 b.当NR=ON=1,QR=OM=2时，点Q的位置如 答图②中的Q,Q. 深源c-9(0.吉》 即、3 此时，Q,Q的坐标分别为（一3，一1），(1，一1). 综上所述，符合条件的点F的坐标为(0,0)或（一9， 综上所述，符合条件的点Q坐标为（一2,2）或(0， 0)或(0，-) 2)或 (-3,-1)或(1，-1). (FO八B M(O2 下 第1一3题答图 2一1.解：将A,B,C三点坐标代入抛物线表达式得 (a-b+c=0, a=-1, 图① 图② 16a+4b+c=0,解得b=3, 第1一2题答图 =4, c=4. 1一3.解：如答图，过点D作DE⊥y轴于点E. .抛物线的表达式为y=一x2十3x十4. A(-3,0),B(1,0),C(0,3),D(-1,4), 2-2.解：由点A(-1,0),C(0,4)得AC=1十4 .E(0,4),OA=OC=3,.CE=DE=1. =17, ∠CED=∠AOC=90°， ∴.△AOC和△CED都是等腰直角三角形， 易知抛物线对称轴为直线x=号，设P(受m)小： ∴.∠ACO=∠DE=45,AC=2OA=32,CD=√2CE 则CP=(2）广+(m-4)=m-8m+华.AP=m =2,∴.∠ACD=90 连接BC,在△COB中，∠BOC=90°，OB=1.OC-3, +算 a.当∠APC=90时，AP十CP=AC, 即[m-(一1)了十（一m十4）=17，解得m,=3,m4=0 即m+空+m-8m+7终-17 (舍去)，.E(3,1): 4 c,当EC=EA时，EC=EA,即[4-（一m十4）]F+m= 3 5 解得m=之，m,= [m一(-1)于+(-m十4)， 此时点P的坐标为（受，）或（受，号）： 解得m=名E(侣，名) h.当∠ACP=90时，AC+CP=AP, 综上所述，点E的坐标为(8)或31D 即17+m-8m+华-m+空 或（侣） 解得m碧此时点P的坐标为（受，婴）： 3-1.解：OB=OC=3OA=3, c.当∠PAC=90时，AP+AC=PC, .A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 即m+空+17=f-一8m+ 设抛物线的表达式是y=a.x2+bx十c,将A(一1， 0). 解得m=一 此时点P的坐标为（受一号）月 B(3,0),C(0,3)代入，得 综上所述，满足条件的点P的坐标为（受，2）或 a一b十c=0, a=-1, 9a+3b+c=0,解得b=2, (受)或（受）或（号-）月 c=3, 2-3.解：存在. ∴.抛物线的表达式是y=一x+2x+3. 3一2.解：抛物线y=一x2十2.x+3的对称轴是直 A(-1,0).C(0,4),.AC=17. 由B(4,0),C(0,4)得直线BC的表达式为y=一x 线x=1,点P在对称轴上，点Q在抛物线上， .设P(1,m),Q(n,-n+2n十3). 十4， 以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，分三种 设E(m,一m十4)(0<m<4) a.如答图，过点E作EH⊥y轴于点H, 情况： 当CA=CE时，在Rt△CHE中，∠CHE=90°， a.以OB,PQ为对角线，则OB中点为 由勾股定理得C+EH=CE, 生，生 PQ 的中点为 即[4-(-m+4)门2+m=17, ,而OB的中点和PQ m=-(去 解得m,=3、 (生”，+（"+ 2 2 的中点重合， (8@）: (0+3=1十， =一3， 解得 .Q(2, 0+0=m+(-m+2+3), n=2, b.如答图，连接AE,当AC 3): =AE时，AE=AC b.以OP,BQ为对角线，同理可得 =17, 1+0=n+3, =-5, 解得 在Rt△AME中，∠AME .Q(-2, m十0=-元+2n十3十0， n=-2, =90°，由勾股定理得AM 5): +EM=AE, c.以OQ,BP为对角线，同理可得 第2一3题答图 A n十0=1+3， [m=一5， 点A在点B的左侧，A(-1,0),B(4,0), 解得 .Q(4, 一n2十2n+3+0=m+0, n=4, .OA=1,OB=4,.AB=5. 5). 令x=0,则y=-2,.C(0,-2),.OC=2, 综上所述，符合条件的点Q的坐标为(2,3)或（一2， ∴Sw=X5X2=5. 2 -5)或(4，-5). 4一2.解：设直线BC的表达 3-3.解：存在. 式为y=ax十n, 设P(1,). 由点B(4,0)和C(0,一2) B(3,0),C(0,3).则BC=3十3=18. 4a十n=0, BP=(1-3)+t=2+4,PC=1+(t-3)2=f-6t 得 解 n=-2, +10. 1 第4一2题答图 当以B,C,P,F为顶点的四边形是菱形时可分三种 得 情况： n=-2, a.当以BP为对角线时，则PC=BC,如答图①， ∴直线BC的表达式为y=乞r一2， ∴.一61+10=18，解得1=3士√17， 如答图，过点P作y轴的平行线交BC于点H. ∴.P(1,3-17),P(1,3+17),∴.F(4, 17),F(4,17): “点P的坐标为(m之m-是m-2)PH/轴， b.当以BC为对角线时，则PC=BP,如答图②， 点H的坐标为(m2m-2: .-6十10=+4，解得1=1，∴P(1,1),.F(2, 2)1 PH=m-2-(m-m-2）=-m c.当以CP为对角线时，则BP=BC,如答图③， +2m, ∴.+4=18，解得1=±√/14， .= PH4=(m+2m)×4=-m ∴.P,(1,√14)，P(1,-14) .F(-2,3+14),F2,3-√14). 十4n= 2· 综上所述，符合条件的点F的坐标为(4，一√17)或 解得m=2+ 2m=2② 2 (4,√/17)或(2,2)或（一2,3+√14）或(-2,3 14). m的值为2+号或2-号 2 4-3.解：由(1)得OA=1,OB=4,OC=2. ,点Q是抛物线上一点（不与点C重合）， ∴设点Qg2-1-2小 3 S△Ar=SABQ” 图① 图② 图③3 7AB0C-AB:-9-2 第3一3题答图 4-1.解：令y=0,则7-2x一2=0.解得西=-1 3 2-0-2=2 5=4. 当2-一2-2时，解得g3生① 2 Q点坐标为(3+④2)成(3互2小 点Q ∠ABW=30°.QJ 当79-是9一2=-2时，解得=8,9=0（舍 ⊥BW, 去)， QJ=专Q.即要使GQ .Q(3,-2). 综上所述，点Q的坐标为(3，一2)或 +号Q最小.只需CQ+ (+④2)或 QJ最小， ,CQ+QJ≥CG, 第5-3题答图 任④2 “CQ+号BQ的最小值为CG的长. 5-L.解：当R,C,K三点不共线时，|RC-RK .∠CQ'O=∠BQ'G, <CK, ∠COQ=∠BGQ, 当且仅当R,C,K三点共线时，|RC-RK=CK, ∴.∠OCQ=∠QBG=30° .IRC-RK|≤CK, 即点R,C,K共线时，RC一RK|取得最大值，此时 :c=400=cm0-g.0-0 点R为直线CK与x轴的交点. 83 3 :y=-r+3x+4=-(-多)+5， 0B4.∴.QB=0BOQ=4-4 3 K(是) ÷QG=QB·sn30°=2-25 设直线CK的表达式为y=kx十b, 31 把C0,.K(受，)代入得 ∴.CG=CQ+QG=23+2, b1=4, 3 ∴CQ+号BQ的最小值为25+2. 2+=25.解得 4 =4, y= 4,令y=0,得2=-号k(-号0) 3 5一2.解：直线BC的解析式为y=一x十4， 设F(1,-产+31+4)，则S(-31,一f+31+4), ∴.SF=1-(t-3)=-+4h. P/:轴哥-器 哥中-2+1. 4 :-<0,当=2时，品取得最大值1 5一3.解：如答图，在x轴下方作射线BW,使∠ABW =30°，BW交y轴于点W,连接CQ,过点Q作Q/⊥ BW于点J,过点C作CG⊥BW于点G,交x轴于 A境优专题1借函数关系解决线段、面积问题 1.解:(1).四边形ABCD为正方形, '. B= C.BAE+BEA=90{*.$ .EF AE.. BEA+CEF-90, .Sa-SA-(x-)(--+2-- .十 .# ·BE=x.CF-v.正方形ABCD的边长为1; 1-.y=-+x(0<x 综上所述,S关于;的函数解析式为 #(0<<5) <1). S- #-#△ 3_-十x,整理得-工十 ②(5<r<8). ##4#_## -0. 图① 图② 第2题答图 2.解:(1)在Rt△BCD中,BC-4,CD-3. 7 *BD=BC+CD-5. ·AD-BD..'AC-AD+CD-5+3-8. #化甫 (2)当点P在点D的左侧时,即0 x<5. 如答图①,此时重叠部分的面积就是△PQD的 面积. :PQ AC,BC| AC...PQ//BC. 1- PD-AD-AP-5-x .AP-x...PQ- 1 7: 当点P在点D的右侧时,即5 x<8,如答图② .AP-.PQ-- 2..DP-.-5. - ·PQ/BC,:.△DPE△DCB.:. DC BC