精品解析：江苏省南京市秦淮区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则比较、、、的大小结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 5. 平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 6. 如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用工艺制式的芯片，，其中用科学记数法表示为_______m． 8. “对顶角相等”的逆命题是______．（用“如果…那么…”的形式写出） 9. 如图梯形中，，，，高为，若将梯形向右平移得到梯形，则平移前后两梯形重叠部分的面积为______ ． 10. 已知，则、、的大小关系为 __________(用“”号连接)． 11. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ____________________． 12. 一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则的度数是_____°． 13. 在一个多边形中，小于的内角最多有________个. 14. 若正有理数使得二次三项式是一个完全平方式，则______． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 16. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 _______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值（1+a）（1-a）-（a-2）2+（a-2）（2a+1）．其中a＝-． 19. 如图，已知，，垂足分别为G、D，， 求证：．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：∵，，垂足分别为G、D（已知） ∴（______）， ∴（______）． ∵（已证） ∴（______）， 又∵（已知）， ∴______，（______）， ∴______，（______）， ∴（______）， 20. 已知：，，． （1）求的值； （2） 、、之间的数量关系为 ． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到，点的对应点是直线上的格点． （1）画出； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ； （3）试在直线l上画出格点P，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 22. 如图，已知，点A，B分别在，上． （1）利用直尺和圆规过点A作直线，过点B作直线，直线m，n交于点P．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 23. 【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 24. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 25. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________________，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（__________） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则_________ （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为___________． 26. 几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： （1）下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 （2）如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； （3）如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可算出的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解． 【详解】解：一个正边形的内角和为， ∴，解得，， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式，正多边形外角和为的计算方法是解题的关键． 2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．根据平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知，则比较、、、的大小结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则分别算出各值，再比较出其大小即可． 【详解】a=-(0.2)²=-0.04；b=-2-2=-；c=(-)-2=4；d=(-)0=1 ∵-<-0.04<1<4 ∴b<a<d<c 故选A． 【点睛】本题考查负整数指数幂性质和0指数幂的运算法则，需要熟练掌握其性质． 4. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，，再根据等量代换即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以 观察四个选项可知，只有选项C符合． 故选：C． 6. 如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据题意分情况讨论，即可求解． 【详解】解：共有以下6种拼法： ①∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ②∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ③∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ④∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑤∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑥∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； 综上所述，共有6种不同的正方形， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用工艺制式的芯片，，其中用科学记数法表示为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数；关键是确定 n与a的值，，等于原数中左起第一个非零数前零的个数．先把转化为用米作单位，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8. “对顶角相等”的逆命题是______．（用“如果…那么…”的形式写出） 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【解析】 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9. 如图梯形中，，，，高为，若将梯形向右平移得到梯形，则平移前后两梯形重叠部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，则，，再根据梯形的面积公式即可得． 【详解】解：将梯形向右平移得到梯形， ， ，， ，， 梯形的高为，且， 梯形的高为， 梯形的面积为， 即平移前后两梯形重叠部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质和梯形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解题关键． 10. 已知，则、、的大小关系为 __________(用“”号连接)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，把它们化为底数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质可得，进而根据折叠的性质以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ， 由折叠得：， ， ， 故答案为：． 12. 一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则的度数是_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】过点E作，可得，利用两直线平行，同旁内角互补，可得的度数，进而求得的度数. 【详解】 过点E作 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟记三角板的各角的度数，灵活的添加辅助线构造平行是解题的关键． 13. 在一个多边形中，小于的内角最多有________个. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查多边形内角与外角，由多边形的内角小于，可得外角大于，再根据多边形的外角和为进行判断即可．掌握多边形的外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：由于多边形的内角小于， 所以这个多边形的外角要大于， 而多边形的外角和为， 所以内角小于的个数小于（个）， ∴最多有4个， 故答案为：4． 14. 若正有理数使得二次三项式是一个完全平方式，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴m=±6， ∵m为正有理数， ∴m=6， 故答案为：6 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，连接，根据题意得出进而根据是的中点，得出，，设，则，根据列出方程，解方程得，进而根据即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 的面积为， ， 是的中点， ∴，， 设， 则， ， 解得， 四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算； （1）根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算； （2）根据完全平方公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 18. 先化简，再求值（1+a）（1-a）-（a-2）2+（a-2）（2a+1）．其中a＝-． 【答案】；． 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算进行化简，然后把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：原式= = =； 当时， ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 19. 如图，已知，，垂足分别为G、D，， 求证：．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：∵，，垂足分别为G、D（已知） ∴（______）， ∴（______）． ∵（已证） ∴（______）， 又∵（已知）， ∴______，（______）， ∴______，（______）， ∴（______）， 【答案】垂直定义，同位角相等；两直线平行，两直线平行；同位角相等；，等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确利用平行线的性质与判定定理证明．根据同位角相等两直线平行证得，然后根据两直线平行同位角相等得出，根据已知进一步得出，即可证得，得出． 【详解】证明：，，垂足分别为，（已知） （垂直定义）． （同位角相等，两直线平行）， （已证）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 20. 已知：，，． （1）求的值； （2） 、、之间的数量关系为 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法， （1）根据同底数幂的除法进行解答即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方可得，即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵， ∴． 故答案为：． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到，点的对应点是直线上的格点． （1）画出； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ； （3）试在直线l上画出格点P，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 【答案】（1） 如图所示： ； （2）， （3）如图，点P和点即为所作； 【解析】 【分析】（1）画出A，B，C的对应点、、即可； （2）利用平移的性质即可判断； （3）分两种情形分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴点、、、四点围成的四边形的面积为9． 22. 如图，已知，点A，B分别在，上． （1）利用直尺和圆规过点A作直线，过点B作直线，直线m，n交于点P．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定以及作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）根据平行线的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即直线m，n即为所求． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 23. 【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【解析】 【分析】考查的是零指数幂的性质，负整数指数，有理数的乘方、等式的性质； （1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解； （3）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为奇数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【详解】解：（1）， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：． （2）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，； ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则的值为或． 故答案为：或． （3）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，， ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，， ③当且为奇数时，， 由，解得：， 此时为奇数， 当时，， 综上所述：若，则或或． 24. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 【答案】（1）65°； （2）证明：∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC＝2∠A＝2∠ABP． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABP=∠A=70°=∠ABC，由三角形的外角性质可求解； （2）由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP//AC， ∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC， ∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°； （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 25. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________________，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（__________） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则_________ （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为___________． 【答案】（1），；（2）28；（3）；（4）8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握长方形、正方形和三角形的面积公式是解题的关键． （1）图①中大正方形的面积可用“边长的平方”和“各部分面积之和”两种不同的方法来表示，通过数形结合的数学思想验证一个乘法公式； （2）根据（1）中得到的等式计算即可； （3）设，，则，，，根据（1）中得到的等式计算的值即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则．根据阴影部分的面积得，根据的面积得，计算出，从而求出的值． 【详解】（1）图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为，用“各部分面积之和”表示为，利用数形结合的数学思想验证了公式． 故答案为：，． （2），， ，即， ． 故答案为：28． （3）设，，则，，， ，即， ， ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则． ，， ，经整理，得， ， ， ， 或（舍去）， ． 故答案为：8． 26. 几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： （1）下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 （2）如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； （3）如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】（1） 证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； 【小问3详解】 由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $