专题04 整式的乘法（讲义）-2023-2024学年浙教版数学七年级下期末专题突破

专题04 整式的乘法 ( 知识 网络 ) ( 精讲精练破 )知识点一 同底数幂的乘法 运算法则 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ； 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. ； 3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. ；（m，n为整数）； 【典例1】（2024•浙江模拟）下列各式运算正确的是（　　） A．m2•m3＝m5 B．（mn）3＝m3n C．3+2m＝5m D．m3﹣m＝m2 【变式训练】 1．（2023秋•孟村县期末）x4•x4的运算结果为（　　） A．x16 B．x8 C．2x4 D．2x8 2．（2024•金华一模）计算（ab）2的结果是（　　） A．a2b B．ab2 C．2ab D．a2b2 3．（2024•湖北模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（2a）3＝6a3 4．（2022秋•赣州期末）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2+2a2＝2a4 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2 5．（2023秋•江汉区期末）定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c． ①依定义，（2，16）＝　　； ②若（5，10）+（5，20）＝（5，x），则x＝　　． 6．（2023春•济南期末）计算：x2•x5+x•x4•x2． 7．（2023秋•大荔县期末）计算：（﹣a）2•a4+（2a3）2． 8．（2022秋•宁强县期末）计算： （1）； （2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4． 9．（2023春•淮安期末）计算 （1）x•x2•x3． （2）（﹣3x2y）2． 知识点二 单项式乘单项式 单项式与单项式乘法法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 【典例2】（2024•雁塔区校级模拟）计算：x2y•（﹣8x3y3）＝（　　） A．﹣8x5y4 B．8x5y4 C．﹣6x5y4 D．6x5y3 【变式训练】 1．（2024春•雁塔区校级月考）计算（﹣2a）•3b的结果是（　　） A．6ab B．﹣6ab C．﹣5ab D．5ab 2．（2024•曹妃甸区模拟）下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x﹣22＝x3﹣4 C．（x3）4＝x7 D．2x2•x3＝2x5 3．（2024•富平县二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•电白区期中）计算：m2n•（﹣3mn3）＝　　． 5．（2024•西峰区校级一模）计算：（﹣6ab3）（﹣a2）＝　　． 6．（2024•西安模拟）计算：ab3•（﹣2a2b）2＝　　． 7．（2024•新吴区一模）计算：2a2•a4﹣（a3）2＝　　． 8．（2023秋•丰泽区期末）计算：（﹣2x3y）2+（﹣3x2）3•y2． 9．（2023秋•公主岭市期末）计算：（﹣a2b）3+a4b•（﹣2ab）2． 10．（2024春•靖江市月考）计算： （1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3； （2）（﹣x）2•x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y． 知识点三 单项式乘多项式： 单项式与多项式乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。 m(a+b－c)＝ma+mb－mc 【典例3】（2024春•兴庆区校级月考）化简﹣2xy2（x2y﹣x3y）的结果是（　　） A．2x3y3+2x4y3 B．﹣2x3y3+2x4y3 C．﹣2x3y3﹣2x4y3 D．2x3y3﹣2x4y3 【变式训练】 1．（2023秋•播州区期末）计算a（a﹣1）的结果为（　　） A．a2﹣a B．a2﹣2 C．a2﹣1 D．a2﹣3 2．（2024春•菏泽期中）计算x（2x2+3x﹣1）的结果是（　　） A．2x3+3x﹣1 B．2x3+3x2﹣1 C．2x2﹣3x2﹣x D．2x3+3x2﹣x 3．（2024春•巨野县期中）要使（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项，则k的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 4．（2024春•岳阳县期中）计算：y（y+4）﹣2（y+1）＝　　． 5．（2023秋•汉阳区期末）计算： （1）a3•a4•a+（a2）4； （2）（﹣4x2）（3x+1）． 6．计算： （1）（2x）2•（2x2﹣x﹣）： （2）﹣a2（﹣2ab）+3a（a2b﹣1）； （3）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣4b）； （4）2ab（a2b+ab﹣ab2）﹣ab2（a2﹣3ab+2a）． 知识点四 多项式乘多项式 多项式与多项式乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 【典例4】（2024春•都昌县期中）计算（a﹣2）（﹣a+1）的结果是（　　） A．a2﹣a﹣2 B．﹣a2﹣a﹣2 C．﹣a2+3a﹣2 D．a2+3a﹣2 【变式训练】 1．（2023秋•浦东新区期末）计算：（2x﹣1）（3x+2）＝　　． 2．（2024春•江北区校级月考）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 3．（2024春•临湘市期中）已知m+n＝﹣2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5 4．（2024春•文登区期中）（3﹣2x）（mx+8）展开后不含x的一次项，则m的值为（　　） A．4 B． C．8 D．12 5．（2023秋•沂水县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　） A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2 6．（2024春•碑林区校级月考）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是 　　． 7．（2024春•大丰区期中）计算： （1）（2a2）3+（2a）2； （2）（2x﹣1）（x+2）； （3）（﹣7.6×1010）×（﹣2×102）2． 8．（2024春•天桥区校级月考）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 ..． （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　　； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘法 ( 知识 网络 ) ( 精讲精练破 )知识点一 同底数幂的乘法 运算法则 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ； 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. ； 3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. ；（m，n为整数）； 【典例1】（2024•浙江模拟）下列各式运算正确的是（　　） A．m2•m3＝m5 B．（mn）3＝m3n C．3+2m＝5m D．m3﹣m＝m2 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解析】解：A、m2•m3＝m5，故该项正确，符合题意； B、（mn）3＝m3n3，故该项不正确，不符合题意； C、2m与3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； D、m3与m不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•孟村县期末）x4•x4的运算结果为（　　） A．x16 B．x8 C．2x4 D．2x8 【思路点拨】利用同底数幂的乘法求解即可求得答案． 【解析】解：x4⋅x4＝x4+4＝x8， 故选：B． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟记同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加． 2．（2024•金华一模）计算（ab）2的结果是（　　） A．a2b B．ab2 C．2ab D．a2b2 【思路点拨】利用积的乘方的法则：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，从而可求解． 【解析】解：（ab）2＝a2b2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与运用． 3．（2024•湖北模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（2a）3＝6a3 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可． 【解析】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．a2•a3＝a5，故B符合题意； C．（a2）3＝a6，故C不符合题意； D．（2a2）3＝8a6，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键． 4．（2022秋•赣州期末）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2+2a2＝2a4 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2 【思路点拨】利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则计算后判断即可． 【解析】解：a2•a3＝a5，A选项错误； a2+2a2＝3a2，B选项错误； （a2）3＝a6，C选项错误； （ab）2＝a2b2，D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，做题关键是掌握这些运算法则． 5．（2023秋•江汉区期末）定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c． ①依定义，（2，16）＝　4　； ②若（5，10）+（5，20）＝（5，x），则x＝　200　． 【思路点拨】①②根据定义的新运算列式计算即可． 【解析】解：①∵24＝16， ∴（2，16）＝4． 故答案为：4； ②设（5，10）＝a，（5，20）＝b，（5，x）＝c，则5a＝10，5b＝20，5c＝x， ∵（5，10）+（5，20）＝（5，x）， ∴a+b＝c， ∴5a+b＝5c， ∴10×20＝x，即x＝200． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，理解新定义的计算方法是解题的关键． 6．（2023春•济南期末）计算：x2•x5+x•x4•x2． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法和合并同类项法则可直接得出结论． 【解析】解：原式＝x7+x7 ＝2x7． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟知相关法则是解题关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 7．（2023秋•大荔县期末）计算：（﹣a）2•a4+（2a3）2． 【思路点拨】先根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，然后合并同类项即可． 【解析】解：（﹣a）2•a4+（2a3）2 ＝a2•a4+4a6 ＝a6+4a6 ＝5a6． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 8．（2022秋•宁强县期末）计算： （1）； （2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4． 【思路点拨】（1）逆用积的乘方和同底数幂的乘法，进行计算； （2）先算同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类型即可． 【解析】解：（1）原式＝ ＝﹣（1）6×（﹣1）5×0.25 ＝﹣1×（﹣1）×0.25 ＝0.25； （2）原式＝﹣a8+24a8＝15a8． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 9．（2023春•淮安期末）计算 （1）x•x2•x3． （2）（﹣3x2y）2． 【思路点拨】（1）利用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算； （2）利用积的乘方法则，让各个因式分别乘方，再把所得结果相乘即可． 【解析】解：（1）原式＝x1+2+3＝x6； （2）原式＝（﹣3）2×（x2）2•y2＝9x4y2． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． 知识点二 单项式乘单项式 单项式与单项式乘法法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 【典例2】（2024•雁塔区校级模拟）计算：x2y•（﹣8x3y3）＝（　　） A．﹣8x5y4 B．8x5y4 C．﹣6x5y4 D．6x5y3 【思路点拨】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【解析】解：x2y•（﹣8x3y3）＝﹣8x5y4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式训练】 1．（2024春•雁塔区校级月考）计算（﹣2a）•3b的结果是（　　） A．6ab B．﹣6ab C．﹣5ab D．5ab 【思路点拨】根据单项式的乘法法则计算求解即可． 【解析】解：（﹣2a）•3b＝﹣6ab， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式的乘法法则是解题的关键． 2．（2024•曹妃甸区模拟）下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x﹣22＝x3﹣4 C．（x3）4＝x7 D．2x2•x3＝2x5 【思路点拨】根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式运算法则分别判断即可． 【解析】解：x2与x3不是同类项，不能合并， 故A不符合题意； x﹣22＝x﹣4， 故B不符合题意； （x3）4＝x12， 故C不符合题意； 2x2•x3＝2x5， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（2024•富平县二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先算乘方，再算乘法，即可解答． 【解析】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方及同底数幂的乘法，先算积的乘方，再算同底数幂相乘即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 4．（2024春•电白区期中）计算：m2n•（﹣3mn3）＝　﹣3m3n4　． 【思路点拨】根据系数相乘作系数，相同字母根据同底数幂乘法法则求解即可得到答案． 【解析】解：原式＝﹣3m3n4， 故答案为：﹣3m3n4． 【点睛】本题考查单项式乘以单项式，掌握系数相乘作系数，相同字母根据同底数幂乘法法则是关键． 5．（2024•西峰区校级一模）计算：（﹣6ab3）（﹣a2）＝　6a3b3　． 【思路点拨】直接根据运算法则进行计算即可． 【解析】解：（﹣6ab3）（﹣a2） ＝（﹣6）×（﹣1）•（a•a2）•b3 ＝6a3b3， 故答案为：6a3b3． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 6．（2024•西安模拟）计算：ab3•（﹣2a2b）2＝　a5b5　． 【思路点拨】先算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解析】解： ＝ ＝a5b5， 故答案为：a5b5． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 7．（2024•新吴区一模）计算：2a2•a4﹣（a3）2＝　a6　． 【思路点拨】先按照混合运算法则，先算乘方，再根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则算乘法，最后算加减即可． 【解析】解：原式＝2a2•a4﹣a6 ＝2a6﹣a6 ＝a6， 故答案为：a6． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则． 8．（2023秋•丰泽区期末）计算：（﹣2x3y）2+（﹣3x2）3•y2． 【思路点拨】利用积的乘方法则及单项式乘单项式法则计算即可． 【解析】解：原式＝4x6y2﹣27x6y2 ＝﹣23x6y2． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2023秋•公主岭市期末）计算：（﹣a2b）3+a4b•（﹣2ab）2． 【思路点拨】先利用积的乘方法则计算乘方，再利用单项式乘单项式法则算乘法，最后合并同类项． 【解析】解：（﹣a2b）3+a4b•（﹣2ab）2 ＝﹣a6b3+a4b⋅4a2b2 ＝﹣a6b3+4a6b3 ＝3a6b3． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键． 10．（2024春•靖江市月考）计算： （1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3； （2）（﹣x）2•x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y． 【思路点拨】（1）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后合并同类项即可； （2）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式＝9a6⋅a3+16a2⋅a7﹣125a9 ＝9a9+16a9﹣125a9 ＝﹣100a9； （2）原式＝x2⋅x3⋅（﹣8y3）+4x2y2⋅（﹣x3）y ＝﹣8x5y3﹣4x5y3 ＝﹣12x5y3． 【点睛】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 知识点三 单项式乘多项式： 单项式与多项式乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。 m(a+b－c)＝ma+mb－mc 【典例3】（2024春•兴庆区校级月考）化简﹣2xy2（x2y﹣x3y）的结果是（　　） A．2x3y3+2x4y3 B．﹣2x3y3+2x4y3 C．﹣2x3y3﹣2x4y3 D．2x3y3﹣2x4y3 【思路点拨】根据整式的单项式乘以多项式运算法则，将﹣2xy2分别乘以x2y、﹣x3y即可求解． 【解析】解：﹣2xy2（x2y﹣x3y）＝﹣2x3y3+2x4y3， 即化简﹣2xy2（x2y﹣x3y）的结果是﹣2x3y3+2x4y3． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是整式中的单项式乘以多项式，解题关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 【变式训练】 1．（2023秋•播州区期末）计算a（a﹣1）的结果为（　　） A．a2﹣a B．a2﹣2 C．a2﹣1 D．a2﹣3 【思路点拨】根据单项式乘多项式的计算方法，即利用乘法分配律进行计算即可． 【解析】解：a（a﹣1）＝a2﹣a， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 2．（2024春•菏泽期中）计算x（2x2+3x﹣1）的结果是（　　） A．2x3+3x﹣1 B．2x3+3x2﹣1 C．2x2﹣3x2﹣x D．2x3+3x2﹣x 【思路点拨】利用单项式乘多项式法则计算即可． 【解析】解：原式＝2x3+3x2﹣x， 故选：D． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2024春•巨野县期中）要使（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项，则k的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【思路点拨】直接利用单项式乘以多项式运算法则求出答案． 【解析】解：∵（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项， ∴﹣y3+ky2﹣2y2中不含y2项， ∴k﹣2＝0， 解得：k＝2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 4．（2024春•岳阳县期中）计算：y（y+4）﹣2（y+1）＝　y2+2y﹣2　． 【思路点拨】先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解析】解：y（y+4）﹣2（y+1） ＝y2+4y﹣2y﹣2 ＝y2+2y﹣2， 故答案为：y2+2y﹣2． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．（2023秋•汉阳区期末）计算： （1）a3•a4•a+（a2）4； （2）（﹣4x2）（3x+1）． 【思路点拨】（1）根据同底数幂乘法和幂的乘方进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【解析】解：（1）a3•a4•a+（a2）4 ＝a8+a8 ＝2a8； （2）（﹣4x2）（3x+1） ＝（﹣4x2）•3x+（﹣4x2） ＝﹣12x3﹣4x2． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，同底数幂乘法和单项式乘多项式的运算法则． 6．计算： （1）（2x）2•（2x2﹣x﹣）： （2）﹣a2（﹣2ab）+3a（a2b﹣1）； （3）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣4b）； （4）2ab（a2b+ab﹣ab2）﹣ab2（a2﹣3ab+2a）． 【思路点拨】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【解析】解：（1）（2x）2•（2x2﹣x﹣） ＝4x2•（2x2﹣x﹣） ＝4x2•2x2﹣x•4x2﹣•4x2 ＝8x4﹣x3﹣x2； （2）﹣a2（﹣2ab）+3a（a2b﹣1） ＝2a3b+3a•a2b﹣1•3a ＝2a3b+3a3b﹣3a ＝5a3b﹣3a； （3）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣4b） ＝4a2b4•（3a2b﹣2ab﹣4b） ＝4a2b4•3a2b﹣4a2b4•2ab﹣4a2b4•4b ＝12a4b5﹣8a3b5﹣16a2b5； （4）2ab（a2b+ab﹣ab2）﹣ab2（a2﹣3ab+2a） ＝2ab•a2b+ab•2ab﹣ab2•2ab﹣ab2•a2﹣3ab•（﹣ab2）+2a•（﹣ab2） ＝2a3b2+2a2b2﹣2a2b3﹣a3b2+3a2b3﹣2a2b2 ＝a3b2+a2b3． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 知识点四 多项式乘多项式 多项式与多项式乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 【典例4】（2024春•都昌县期中）计算（a﹣2）（﹣a+1）的结果是（　　） A．a2﹣a﹣2 B．﹣a2﹣a﹣2 C．﹣a2+3a﹣2 D．a2+3a﹣2 【思路点拨】根据多项式乘多项式法则进行计算即可． 【解析】解：（a﹣2）（﹣a+1） ＝﹣a2+a+2a﹣2 ＝﹣a2+3a﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟知多项式乘多项式法则． 【变式训练】 1．（2023秋•浦东新区期末）计算：（2x﹣1）（3x+2）＝　6x2+x﹣2　． 【思路点拨】直接利用多项式乘法运算法则去括号，进而合并同类项得出即可． 【解析】解：原式＝6x2+4x﹣3x﹣2＝6x2+x﹣2． 故答案为：6x2+x﹣2． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（2024春•江北区校级月考）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 【思路点拨】根据多项式乘以多项式展开得出m，n的值，然后代入求解即可． 【解析】解：（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n， ∴m＝﹣1，n＝﹣6， ∴mn＝（﹣1）﹣6＝1， 故选：A． 【点睛】题目主要考查多项式的乘法及求代数式的值，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（2024春•临湘市期中）已知m+n＝﹣2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5 【思路点拨】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【解析】解：∵m+n＝﹣2，mn＝﹣2， ∴（1﹣m）（1﹣n） ＝1+mn﹣（m+n） ＝1﹣2+2 ＝1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024春•文登区期中）（3﹣2x）（mx+8）展开后不含x的一次项，则m的值为（　　） A．4 B． C．8 D．12 【思路点拨】根据多项式乘以多项式的计算法则求出（3﹣2x）（mx+8）展开后的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【解析】解：（3﹣2x）（mx+8） ＝3mx﹣2mx2+24﹣16x ＝﹣2mx2+（3m﹣16）x+24， ∵（3﹣2x）（mx+8）展开后不含x的一次项， ∴3m﹣16＝0， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 5．（2023秋•沂水县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　） A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2 【思路点拨】根据图形确定出多项式乘法算式即可． 【解析】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2， 故选：A． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024春•碑林区校级月考）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是 　﹣3　． 【思路点拨】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可． 【解析】解：（x﹣2）（x2﹣mx+1） ＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣2 ＝x3+（﹣m﹣2）x2+（1+2m）x﹣2， ∵展开式中不含x的二次项， ∴﹣m﹣2＝0， 解得：m＝﹣2， ∴1+2m＝1﹣4＝﹣3， 即化简后的一次项系数为：﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．（2024春•大丰区期中）计算： （1）（2a2）3+（2a）2； （2）（2x﹣1）（x+2）； （3）（﹣7.6×1010）×（﹣2×102）2． 【思路点拨】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方进行计算，最后用科学记数法表示即可． 【解析】解：（1）原式＝8a6+4a2； （2）原式＝2x2+4x﹣x﹣2 ＝2x2+3x﹣2； （3）原式＝﹣7.6×1010×4×104 ＝﹣30.4×1014 ＝﹣3.04×1015． 【点睛】本题主要考查幂的乘方和积的乘方、多项式乘多项式、用科学记数法表示较大的数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2024春•天桥区校级月考）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 ..． （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　a3+b3　； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 【思路点拨】（1）读懂题意，按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子． 【解析】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3， 故答案为：a3+b3； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3 ＝a3+b3； （3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2） ＝x3+y3﹣（x3+8y3） ＝﹣7y3． 【点睛】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$