精品解析：安徽省淮北市市直片区初中联考2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（　　） A. 0 B. ﹣2 C. ﹣5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数小于0和正数，比较与的大小即可求解． 【详解】解：∵5＞2， ∴﹣5＜﹣2， ∴﹣5＜﹣2＜0＜3， ∴最小的数是﹣5. 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 【详解】解：126万亿=， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项， 先判断是否是同类项解答A，B，再根据同底数幂相乘法则计算判断C，然后根据同底数幂相除法则计算判断D即可． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意； 故选：D． 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，这个几何体是 5. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数， ∴摆出的三位数有共6种可能，其中是 ∴摆出的三位数是5的倍数的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，根据一次函数经过的象限得到，据此可得，则原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点的坐标求出值即可． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴， ∵直线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 9. 如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，与相交于点，延长交于点，交于点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用证明，推出，可判断A；证明，得，，可判断B；由线段比例关系，得出面积比可以判断C；过点作于点，交的延长线上于点，证，得，证四边形是正方形，由正方形的性质和全等三角形的性质可判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确； 如图，过点作于点，交的延长线上于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故D正确； 综上所述，错误的是B， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根、零次幂，根据，非零的数的零次幂等于1即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式，乘法公式是关键．先提取公因式，再使用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为， ， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入，可得即可； （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵对于，有， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）∵， ∴， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， 点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 先去分母，再移项、合并即可得． 【详解】解：， 去分母得， 移项得， 合并同类项得． 16. 某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于点对称的，并写出，两点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并求出点旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求， ，； （2）点旋转到点所经过的路径长为 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称和旋转变换的作图、求弧长等知识，掌握平移变换和旋转变换的作图是解题的关键． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接，写出点，的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可，利用弧长公式求得点经过的路径长即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， ∵绕点按顺时针方向旋转得到， ∴点旋转到点所经过的路径长． 18. 【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点E，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，即可根据正切的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 在中，，， ，． 在中，， ， 在中，， ， ． 即的长度约为． 20. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明，则，，所以，则平分； （2）因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 解得， ， ， ， 的长为10． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 为培养学生劳动习惯，某校组织学生参加“美好双手，美好生活”劳动技能大赛，甲、乙两个班各有名学生参赛，现从两个班参赛的学生中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分，满分分，成绩均不低于分），现对参赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用分表示），部分信息如下： ．将每个班所抽取的学生参赛成绩分成四个等级：，：，：，．． ．甲班所抽取学生参赛成绩的扇形统计图与乙班所抽取学生参赛成绩的频数分布直方图如图所示： ．甲班所抽取学生参赛成绩的众数在等级，且等级的参赛成绩分别为：，，，． ．乙班所抽取学生参赛成绩在等级的有人，且该班所抽取学生参赛成绩的中位数是． 请根据相关信息，回答以下问题： （1）甲班所抽取学生参赛成绩的众数是________分，中位数是________分； （2）甲班所抽取学生参赛成绩的扇形统计图中，等级对应扇形圆心角的度数是________度，补全乙班抽取学生参赛成绩的频数分布直方图； （3）学校规定此次劳动技能大赛成绩大于等于分的学生为“劳动之星”，试估计该校这两个班“劳动之星”的总人数． 【答案】（1）； （2）； 补全乙班抽取学生参赛成绩的频数分布直方图如下， （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识，理解题意、通过频数分布直方图和扇形统计图获得所需信息是解题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义，分析得出答案即可； （2）求得甲班所抽取学生参赛成绩扇形图中等级的百分比，求出圆心角度数即可，根据乙班所抽取学生参赛成绩在等级的有人，求出等级的人数，补全频数分布直方图即可； （3）用样本占比估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵甲班所抽取的学生中，在等级的有（人），在等级的有，在等级的有（人）， ∵在等级的为：、、、， ∴甲班所抽取学生参赛成绩的众数是分； 将甲班所抽取的学生参赛成绩从小到大排列，排在第和第位的是、， ∴中位数； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵甲班所抽取学生参赛成绩扇形图中等级的百分比， ∴甲班所抽取学生参赛成绩扇形图中等级的圆心角度数， ∵乙班所抽取学生参赛成绩在等级的有人， ∴乙班所抽取学生参赛成绩在等级的人数（人） 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校这两个班“劳动之星”的总人数为人． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求的值； （2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； （3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：，， ， ，； ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求拋物线的表达式； （2）如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 【答案】（1）； （2），点的坐标为； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设点的坐标为，根据解答即可求解； （）设，直线的表达式为，直线的表达式为，求出的解析式，求出，再求出的解析式，求出，分两种情况：四边形的面积被轴分为两部分；四边形的面积被轴分为两部分；进行解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何问题，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，设点的坐标为， 则 ， ， ， ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设，直线的表达式为，直线的表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴设的表达式为，代入，得， ∴， ∴， ∴， 当四边形的面积被轴分为两部分时， ∵， ∴此情况不成立； 当四边形的面积被轴分为两部分时， （）当时，， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ∴此情况不成立； （）当时，， ∴， 此时； 综上，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（　　） A. 0 B. ﹣2 C. ﹣5 D. 3 2. 2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 9. 如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，与相交于点，延长交于点，交于点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 因式分解：______． 13. 如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为___________． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于点对称的，并写出，两点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并求出点旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 18. 【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 20. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为培养学生劳动习惯，某校组织学生参加“美好双手，美好生活”劳动技能大赛，甲、乙两个班各有名学生参赛，现从两个班参赛的学生中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分，满分分，成绩均不低于分），现对参赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用分表示），部分信息如下： ．将每个班所抽取的学生参赛成绩分成四个等级：，：，：，．． ．甲班所抽取学生参赛成绩的扇形统计图与乙班所抽取学生参赛成绩的频数分布直方图如图所示： ．甲班所抽取学生参赛成绩的众数在等级，且等级的参赛成绩分别为：，，，． ．乙班所抽取学生参赛成绩在等级的有人，且该班所抽取学生参赛成绩的中位数是． 请根据相关信息，回答以下问题： （1）甲班所抽取学生参赛成绩的众数是________分，中位数是________分； （2）甲班所抽取学生参赛成绩的扇形统计图中，等级对应扇形圆心角的度数是________度，补全乙班抽取学生参赛成绩的频数分布直方图； （3）学校规定此次劳动技能大赛成绩大于等于分的学生为“劳动之星”，试估计该校这两个班“劳动之星”的总人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求的值； （2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； （3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求拋物线的表达式； （2）如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $