精品解析：辽宁省丹东市凤城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度下学期期中测试 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了余角和补角的定义； 先根据一个角的余角是求出这个角，再求这个角的补角即可． 【思路点拨】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数为：， ∴这个角的补角是：， 故选：C． 2. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算，根据以上运算法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据： 支撑物高度（） 小车下滑时间（） 下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 随着逐渐变大，逐渐变小 C. 每增加，减小 D. 随着逐渐变大，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 当时，故该选项正确，不符合题意； B. 随着逐渐变大，逐渐变小，故该选项正确，不符合题意； C. 每增加，减小的值不一定，故该选项不正确，符合题意； D. 随着逐渐变大，小车下滑的平均速度逐渐加快，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键． 6. 下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（　　） A. 把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩 D. 火车运行的铁轨永远不会相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据“垂线段最短”进行判定即可． 【详解】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不符合题意； B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故此选项不符合题意； C、体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩，利用的是“垂线段最短”，故此选项符合题意； D、火车运行的铁轨永远不会相交，利用的是两直线平行，没有交点，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的定义，两点确定一条直线，“两点之间，线段最短”，正确把握定义及性质是解题关键． 7. 如图是汽车加完汽油后，加油机显示屏上显示的内容．在加油过程中加油机显示屏上的三个量中，常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】C 【解析】 【分析】根据在一个变化过程中始终不变化的量是常量解答． 【详解】解：金额，数量，单价中不变化的是单价，故常量是单价， 故选：C． 【点睛】此题考查了常量的定义，正确理解常量的定义是解题的关键． 8. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 9. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 10. 如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】解：矩形的面积为： （a＋4）2－（a＋1）2 ＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1） ＝a2＋8a＋16－a2－2a－1 ＝6a＋15. 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据方向角和平角定义求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 【点睛】本题考查方向角、平角定义，理解方向角的意义是解答的关键． 12. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案． 【详解】由题意可得，所捂多项式是： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13. 如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则________． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：78． 14. 声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表所示： 温度 0 5 10 15 20 传播速度 331 334 337 340 343 则传播速度与温度之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，分析表格中的数据可得温度每升高，声音的传播速度增快，由此即可得到答案． 【详解】解：由表格的数据可得：温度每升高，声音的传播速度增快， 传播速度与温度之间的关系式为， 故答案为：． 15. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值： 其中 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，有理数的混合计算，整式的化简求值； （1）先计算乘方，零指数幂与负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． （3）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号化简，然后代值计算即可 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 【小问3详解】 解：原式 ， 当 时， 原式 ． 17. 小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 （1）直接写出a、b的值： ， ． （2）这道除法计算的正确结果是 ； （3）若，，计算（2）中代数式的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法和除法以、因式分级以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）按题意将除法运算改成乘法，计算，将乘积与对应系数相等，即可求出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）先将提公因式，再将，代入即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， 解得，， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得 ， 故答案为：； 【小问3详解】 ∴原式． 18. 如图，，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵，（已知） ∴∠1=∠ =60°．（ ） ∵∠1=∠C，（已知） ∴∠C=∠B=60°．（等量代换） ∵，（已知） ∴∠C+∠ =180°．（ ） ∴∠ =180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE．（等量代换） ∴．（ ） 【答案】B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空． 【详解】解∵，（已知） ∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠C，（已知） ∴∠C=∠B=60°．（等量代换） ∵，（已知） ∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（角平分线性质） ∴∠1=∠ADE．（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 19. 如图，AB，CD为两条射线，AB∥CD，连接AC． （1）尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E．(不写作法，保留作图痕迹)． （2）在题（1）所作的图形中，若∠C＝120°，求∠CEA的度数． 【答案】（1）图见解析；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作∠CAB的角平分线即可． （2）利用平行线的性质求出∠CAB，再利用角平分线的定义求出∠BAE即可． 【详解】解：（1）如图，射线AE即为所求． （2）∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠CAB＝60°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠BAE＝∠CAB＝30°， ∴∠AEC＝∠BAE＝30°． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，某市有一块长方形地块，城市规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含a、b的代数式表示绿化面积； （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得地块面积：，雕像占地面积：，再根据绿化面积等于地块面积减去雕像占地面积，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得∶地块面积：，雕像占地面积： ∴绿化面积： 即绿化面积是平方米． 【小问2详解】 解∶当，时， ， 即当，时，绿化面积是平方米． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 21. 一个周末上午，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）小张家距离景区______千米，全家人在景区游玩了______小时； （2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了千米时，试求他加油共用了多少小时？ （3）如果汽车油箱中原来有油升，平均每小时耗油升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？ 【答案】（1）200，4.5 （2）他加油共用了小时 （3）小张在加油站至少加升油才能开回家 【解析】 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题． （1）根据图示，由纵轴可得小张家距离景区的距离，在旅游景点停留的时间可以知道游玩的时间． （2）根据图象信息，先求出加油后行驶时间，进一步可以得出他加油共用了多少小时． （3）从图中信息可知，根据回来时的函数可得到家的时间，进一步得到行驶时间，从而得到小张在加油站至少加多少油才能开回家． 【小问1详解】 解：由图示信息可知，小张家距离景区200千米，在景区停留了（小时），所以游玩了4.5小时． 故答案为：200；4.5； 【小问2详解】 解：（千米时） （小时）， （小时）． 故他加油共用了0.2小时； 【小问3详解】 解：（小时）， （小时）， （升． 故小张在加油站至少加23升油才能开回家． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是 ； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】（1）， （2） ；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积问题； （1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积等于长方形的面积，即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据完全平方公式变形即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：方法方法2：， （2） （3）∵，， （4）阴影部分面积等于 ∴阴影部分面积等于 23. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 【答案】（1）①，；②；（2），，， 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得 ②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出； （2）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）① ， 平分， ， ．． 又平分， ②平分，平分． ， 设， ； ，则 ， （）①当，未相遇时，设射线交于点，于点E，射线交于点， 与互相垂直， ∴， ， 解得：； ②如图所示，当返回，且在的右侧时， 与互相垂直， ， ， 解得：； 或如图所示，当返回，且在的左侧时， 同理可得， ∵， ∴，， ∴， 解得：； ③当第次从出发，与垂直时，如图所示， 同理可得， 解得：； 综上所述，，，，时，与互相垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期期中测试 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（    ） A. B. C. D. 2. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 5. 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据： 支撑物高度（） 小车下滑时间（） 下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 随着逐渐变大，逐渐变小 C. 每增加，减小 D. 随着逐渐变大，小车下滑的平均速度逐渐加快 6. 下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（　　） A. 把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩 D. 火车运行的铁轨永远不会相交 7. 如图是汽车加完汽油后，加油机显示屏上显示的内容．在加油过程中加油机显示屏上的三个量中，常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 8. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是_____． 12. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为______． 13. 如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则________． 14. 声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表所示： 温度 0 5 10 15 20 传播速度 331 334 337 340 343 则传播速度与温度之间的关系式为______． 15. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值： 其中 17. 小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 （1）直接写出a、b的值： ， ． （2）这道除法计算的正确结果是 ； （3）若，，计算（2）中代数式的值． 18. 如图，，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵，（已知） ∴∠1=∠ =60°．（ ） ∵∠1=∠C，（已知） ∴∠C=∠B=60°．（等量代换） ∵，（已知） ∴∠C+∠ =180°．（ ） ∴∠ =180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE．（等量代换） ∴．（ ） 19. 如图，AB，CD为两条射线，AB∥CD，连接AC． （1）尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E．(不写作法，保留作图痕迹)． （2）在题（1）所作的图形中，若∠C＝120°，求∠CEA的度数． 20. 如图，某市有一块长方形地块，城市规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含a、b的代数式表示绿化面积； （2）求出当，时的绿化面积． 21. 一个周末上午，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）小张家距离景区______千米，全家人在景区游玩了______小时； （2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了千米时，试求他加油共用了多少小时？ （3）如果汽车油箱中原来有油升，平均每小时耗油升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？ 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是 ； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 23. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $