精品解析：重庆市第一中学校2024届高三下学期三模考试数学试题

重庆市第一中学校2024届高三下学期三模考试数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，向量为单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，则公差（ ） A. 12 B. 2 C. 3 D. 4 4. 故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 若线性回归方程为，则变量增加1个单位时，平均增加5个单位 B. 某校共有男生550人，女生450人，用分层抽样的方法抽取容量为40人的样本，则女生甲被抽中的概率为 C. 在一个列联表中，由计算得出，而，则在犯错误概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系 D. 具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为，若越接近于0，则x，y之间的线性相关程度越高 6. 已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. -1 8. 数列的前项和为，，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角的对边为若，则的面积可以是（ ） A. B. 3 C. D. 10. 已知复数，复数满足，复数共轭复数为，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 的最大值为 11. 正方体棱长为2，M，N分别为线段上的动点(包含端点)，则（ ） A. 直线MN与为异面直线 B. 当为中点时，直线平面 C. 当时，直线平面 D. |MN|的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则______________. 13. 已知，则______________. 14. 已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为______________. 四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演筫步骤. 15. 重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”次数为，求的分布列与数学期望； （2）若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 16. 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. （1）证明:; （2）当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 17. 如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”. （1）已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和； （2）若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程，并求函数的单调区间: （2）若在定义域上的值域是的子集，求实数的取值范围. 19. 已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3. （1）求双曲线的方程; （2）已知点为双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线右支于A，B两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点P，O为坐标原点，直线OP交双曲线于M，N两点.设直线的斜率分别为，且. （i）证明:双曲线在点处的切线经过点； （ii）记，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第一中学校2024届高三下学期三模考试数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真数大于零和解指数不等式即可求出集合,然后求出交集. 【详解】由得, 由得，则. 故选:D. 2. 已知，向量为单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量坐标求出模，将，运用向量数量积运算律展开求得，最后利用向量夹角公式计算即得. 【详解】因为，由，则， 所以. 故选：B 3. 等差数列的前项和为，若，则公差（ ） A. 12 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式先求出然后利用等差数列的性质求出最后即可求出d. 【详解】等差数列中,,得 又所以所以. 故选:C. 4. 故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，符合题意的“吉数”的组合有：，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，从5个阳数中和4个阴数中各取一个数组成的“吉数”的组合有：， 所以取到的两位数为“吉数”的概率为. 故选：A 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 若线性回归方程为，则变量增加1个单位时，平均增加5个单位 B. 某校共有男生550人，女生450人，用分层抽样的方法抽取容量为40人的样本，则女生甲被抽中的概率为 C. 在一个列联表中，由计算得出，而，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系 D. 具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为，若越接近于0，则x，y之间的线性相关程度越高 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关概念逐项判断即可得出答案. 【详解】根据线性回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，选项A错误； 根据分层抽样特性，40人的样本中女生人数为：人，所以女生甲被选中的概率为：，选项B错误； 根据列联表相关知识，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系，选项C正确； 根据线性相关关系的定义，越接近于0，所以两变量之间的线性相关程度越低，选项D错误. 故选：C. 6. 已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直三棱柱高为，根据条件得到，再利用棱柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设直三棱柱高为，因为， 所以斜边，底面三角形外接圆半径， 由题有外接球表面积，可得，所以， 所以三棱柱体积为. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，利用抛物线的焦半径公式，表示出、，再根据，求出，利用同角三角函数的基本关系求，就是直线的斜率. 【详解】如图： 设直线倾斜角为，抛物线的准线： 作于，根据抛物线的定义，， 所以，类似的. 由知，得，故. 故选：A 8. 数列的前项和为，，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后对和分类讨论即可. 【详解】由于，故，从而. 又有. 所以，故，而，故. 这表明命题等价于对恒成立. 若，则，从而原不等式对不成立，不满足条件； 若，由于我们可以直接验证在和时成立，且对有 ， 故对恒成立. 而此时由有，故对恒成立，满足条件. 所以取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于分类讨论，这是处理取值范围问题的常用方法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角的对边为若，则的面积可以是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据余弦定理和面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得:， 即或4，故面积或. 故选：AC. 10. 已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 当时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 正方体的棱长为2，M，N分别为线段上的动点(包含端点)，则（ ） A. 直线MN与为异面直线 B. 当为中点时，直线平面 C. 当时，直线平面 D. |MN|的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，考虑当和重合，和重合时即可判断，对于B选项，考虑当为线段中点时即可求解，对于C选项，延长交中点即可求解，对于D选项，结合C选项即可求解. 【详解】选项A:当和重合，和重合时， MN与相交，故A错误； 选项B:当为线段中点时， 由正方体得，因为平面,平面， 所以平面平面， 则平面，故B正确； 选项C:当时，延长交中点， 由相似成比例可知:， 故，以点为原点建立如图所示的直角坐标系， 所以，，，， 所以，，， 设面法向量， 所以，令，则， 因为，所以平面， 可知直线平面，故C正确； 选项D:由选项可知，当时，MN为直线与公垂线段， 故|MN|最小值为，最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项关键在于延长交中点. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知随机变量，则______________. 【答案】0.12 【解析】 【分析】根据均值结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为均值为2，故. 故答案为：. 13. 已知，则______________. 【答案】242 【解析】 【分析】利用二项展开式中系数的特点得到，从而利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 所以， 对上式，令，得， 令，得， 故. 故答案为：242. 14. 已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由判断出四边形为平行四边形，由正弦定理，利用可得答案. 【详解】由知，为AB中点，四边形为平行四边形， 由与可知， 在中由正弦定理知，， 在中，有，又因为， 可得，，由，得， 故离心率的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围. 四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演筫步骤. 15. 重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望； （2）若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2）小张同学第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得到相应的概率和条件概率，再逆用条件概率公式求解分布列，最后用数学期望的定义可以求出期望； （2）利用条件概率公式，比较此条件下两个事件的发生概率即可. 【小问1详解】 设表示第次借阅“期刊杂志”，则表示第次借阅“文献书籍”，. 则；，. 依题意，随机变量的可能取值为0，1，2. ； ； . 随机变量的分布列 X 0 1 2 P 所以. 【小问2详解】 在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下： 第一次借阅“期刊杂志”的条件概率； 第一次借阅“文献书籍”的条件概率. 而，所以在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下，他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对条件概率公式的运用. 16. 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. （1）证明:; （2）当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)通过证明平面即可证明. (2)通过基本不等式求解三棱锥的体积最大值，进而求出点位置，然后建系,通过向量求出平面与平面的夹角. 小问1详解】 因为平面平面ABC， 所以,又平面, 所以平面,又平面, 所以. 【小问2详解】 因为且, 所以当且仅当取等，此时点的位置刚好在半圆弧的中点. 因为两两垂直,如图,以点为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量，则令，则. 由(1)知平面，所以是平面的一个法向量，故 所以平面与平面所成角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为. 17. 如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”. （1）已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和； （2）若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）得到，由，得到，设，即，结合正弦函数的图像与性质，即可求解； （2）由，根据题意，得到，求得，得到，结合双曲函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的“4型正余弦生成数对”为， 可得， 又由方程，即，即， 因为，可得， 设，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有2个解， 设其两根为，且， 由对称性可知，解得，则实根之和为. 【小问2详解】 解：由题意得，其中， 因为在处取最大值，可得， 所以， 即， 可得， 又因为，且在上单调递增， 可得，所以，即的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程，并求函数的单调区间: （2）若在定义域上的值域是的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1），增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到和，利用导数的结合意义，求得切线方程，再由和的解集，得到函数的单调区间； （2）根据题意，得到，求得，由，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，再证得，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，可得，则， 所以，且，即切线的斜率为，切点为， 则在点处的切线方程为，即， 令，可得；令，可得， 所以的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 解：定义域为，由值域区间是定义域的子集， 则且，即，， 解得； 由，可得， 令，即，可得， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 所以，解得， 下面证明，即，即， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，所以， 所以， 因，所以，则， 又因为，所以，即， 综上可得，实数的取值范围. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3. （1）求双曲线的方程; （2）已知点为双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线右支于A，B两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点P，O为坐标原点，直线OP交双曲线于M，N两点.设直线的斜率分别为，且. （i）证明:双曲线在点处的切线经过点； （ii）记，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，利用直线与的斜率之积为3，化简得到双曲线方程； （2）(i)设点，双曲线在点处的切线方程为，利用题中条件求得点坐标，代入切线方程即可验证。(ii)设，由①知，再结合题中条件化简的到关系式； 【小问1详解】 设由题. 也满足方程，所以双曲线的方程为 【小问2详解】 (i)设点，双曲线在点处的切线方程为， 由，故为，代入，得点， 即，将坐标代入切线方程 故双曲线在点处的切线经过点 (ii)设，由①知 所以 因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即 所以， 综上， 又，联立直线OP双曲线E，， 根据题意知, 此方程的两根即为，所以， 即 综上，，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$