精品解析：黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024届高三下学期得分训练数学试题（六）

大庆实验中学2024届高三得分训练（六） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 156 B. 252 C. 192 D. 200 4. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 48种 D. 72种 6. 若的第百分位数是则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（ ） 附：①若，，则；②当时，. A. 23 B. 29 C. 26 D. 43 8. 如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. ，则 B. C. 若，则复数z对应的点位于第四象限 D. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆 10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 11. 在三棱锥中，与是全等的等腰直角三角形，平面平面为线段的中点．过点作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________；当时，_________． 13. 函数的严格递减区间是__________. 14. 已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：和直线l：相切． （1）求圆C半径； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 16. 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，，记的前项和为，求 17. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若的最小值为6，求实数的值． 18. 如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. （1）当时，求证平面； （2）设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. ①若，，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024届高三得分训练（六） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出集合、后，结合交集与补集的定义即可得. 【详解】由，得，则，则或， 由，得，则， 所以. 故选：C． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化抛物线方程为标准形式，再写出准线方程即可. 【详解】抛物线，即，所以抛物线的准线方程为. 故选：A 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 156 B. 252 C. 192 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用性质求出. 【详解】等差数列中，，得，则， 设数列公差为，而，因此，解得， 则，所以. 故选：B 4. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式建立方程，求出，再利用同角公式计算即可. 【详解】显然，而， 因此，解得，由，得， 所以. 故选：D 5. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 48种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解. 【详解】从人中选择人看同一部影片，再从部影片中选择一部安排给这两人观看， 剩余的人，部影片进行全排列， 故共有种情况. 故选：A 6. 若的第百分位数是则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】的第百分位数是 则，所以. 故选：D 7. 重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（ ） 附：①若，，则；②当时，. A. 23 B. 29 C. 26 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】设D等级的原始分最高为，由题意有，即，即可求结果. 【详解】由题意知：从低到高，即E到D等级人数所占比例为， 若D等级的原始分最高为，则，又， 所以，而， 所以，即， 可得分. 故选：C. 8. 如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意画出直观图，则四个金属原子的球心的连线所围成的图形为正四面体，设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，求出外接球的半径，即可得到，从而得解. 【详解】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体， 设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心， 则必有平面且，，三点共线， 在正三角形中，易求得， 在中，由，可得， 在中，由，得， 解得， 由题意得，所以， 所以． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. ，则 B. C. 若，则复数z对应的点位于第四象限 D. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件即可求解A，根据复数的性质即可求解B，根据复数的几何意义即可求解CD. 【详解】A：由题意， 所以，解得，，所以,故A正确， B：因为两个复数不能比较大小，所以B不正确； C：因为，所以复数z对应的点位于第二象限，因此C不正确； D：因为，所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此D正确， 故选：AD 10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 11. 在三棱锥中，与是全等的等腰直角三角形，平面平面为线段的中点．过点作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】将三棱锥补成正方体，通过求正方体外接球的半径来求三棱锥外接球的半径；并分析出球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积最小，另外图5另做分析. 【详解】由题意可知，满足条件的三棱锥有五种情况，如图． 由于图（1）（2）（3）（4）将三棱锥补成正方体，其外接球球心为正方体中心， 点到球心的距离相等，因此只考虑一种情况． 以图（1）为例，其外接球半径． 当垂直于截面时，截面圆的半径取最小值，此时其面积为； 当截面过球心时，截面圆的半径取最大值，此时其面积为． 因此截面圆的面积的取值范围为． 若三棱锥为图（5），时， 则球心与重合，此时，截面圆的面积为． 故选：AB． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________；当时，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令可求出；先求出的通项，令和，求出，再由，即可求出的值. 【详解】令可得：， 的通项为：， 令可得， 令可得， 所以由可得，所以. 故答案为：；. 13. 函数的严格递减区间是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，则且，即的严格递减区间为. 故答案为： . 14. 已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数，结合导数求函数的值域即可. 【详解】作出的图象如图， 可知：，， ， 所以， 令， 当时，；当时，. 且，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：和直线l：相切． （1）求圆C半径； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【小问1详解】 圆心到直线的距离， 所以圆C半径. 【小问2详解】 ①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②略 16. 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，，记的前项和为，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式； （2）根据题意有，可得，故可得， 利用二项式系数和可得结论. 【小问1详解】 由题意得： 解得：，， 【小问2详解】 由题意得： ， 由于 所以 17. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若的最小值为6，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性得到恒成立，再令新函数，根据单调性求最值即可. （2）根据函数单调性构造函数，再根据零点存在定理求出零点，解出方程即可求出的值. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为，， 因为在上单调递减，所以恒成立且不恒为0， 所以，即恒成立． 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以， 则， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 解法一 由（1）知，， 因为的最小值为6，所以，得． 设，则， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以． 因为，所以， 解得（舍去）或， 所以． 解法二 由题意知在上恒成立，则在上恒成立． 令，则， ， 由得，由得或， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 又，当时，， 所以，故． 因为的最小值为6，所以． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，其中关键是零点存在定理的应用.在研究函数的单调性时，利用零点存在定理找到导函数的隐零点，即存在，使得，再根据最值求解的值即可. 18. 如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. （1）当时，求证平面； （2）设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，且△为正三角形， 所以以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得 ， 当时，，， ， ， ，即， 又，而平面，平面. （2）最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可. （2）求出直线对应的方向向量和平面对应的法向量，将线面角用向量坐标表示进而求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 为△的中心，， 设平面的法向量，则 ，令，则 设直线与平面所成角为，则 令，则， 此时， (当且仅当即时取等号)， ， 即直线与平面所成角正弦的最大值为，此时的值为 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. ①若，，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】（1） （2）①；②P的最大值为，此时t的值为. 【解析】 【分析】（1）由分类加法原理和分步乘法原理求解； （2）①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可. 【小问1详解】 8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，由抽取规则可知， 该顾客取到写有卡片的概率为. 【小问2详解】 ①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有种情况. 要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况： 最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况， 最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况 故所求概率为. ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜在灯谜中排在第条， 因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以， 以给定所在位置的序号作为条件， 当时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时 当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时， 此时， 由全概率公式知， 令函数，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为，此时 即P的最大值为，此时t的值为. 【点睛】方法点睛： 全概率公式是将复杂事件的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $