2024年高中数学暑假初高衔接讲义19.函数的概念和图象

遍历山河，人间值得。 练习主题 函数的概念和图象 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1、人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从中国统计年鉴中可以查得我国1979--2014年人口数据资料（年末）如表： 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 2、如图为某市一天24小时内的气温变化图. （1）上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? （2）在什么时刻，气温为0°C? （3）在什么时段内，气温在0°C以上? 在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.这就是它们的共同特点. 如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点? 第一，每个问题均涉及两个非空数集A，B. 例如，在第一个问题中，一个集合A由年份数组成， 即A={1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}； 另一个集合B由人口数（百万）组成， 即B={975，1044，1127，1199，1258，1300，1335，1368}. 第二，每个问题均存在某种对应关系，对于A中任意元素x，B中总有一个元素y与之对应. 例如，在第一个问题中，若x（年份）取1979，则y（百万）取975.这时，我们说“1979对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为 1979—→975. 知识点一：函数的概念 一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域. 例1、判断下列对应是否为函数. （1）x x，x∈R； （2）x 1，x∈R； （3）x y，其中y=∣x∣，x∈R，y∈R； （4）t s，其中s=t2，t∈R，s∈R； （5）x y，其中y2=x，x∈[0，+∞），y∈R； （6）x y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z. 对应练习： 1、下列关于x，y的关系中为函数的是（　　） A．y= B．y2=4x C．y＝ D． 2、设下列对应是从集合A到集合B的函数的是（　　） A. A=N，B=，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应 B. A={-1，1，2，-2}，B={1，4}，对应关系f：x→y=x2，x∈A，y∈B C. A={-1，1，2，-2}，B={1，2，4}，对应关系f：x→y=x2，x∈A，y∈B D. A={x|x是三角形}，B={x|x＞0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应 3、函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 知识点二：函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. 1、定义域：给定函数时要指明函数的定义域.对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.在实际问题中，函数的定义域还要受到变量实际意义的制约. 例2、求下列函数的定义域 （1）f(x)=x+1 （2）f(x)= （3）f(x)= （4）g(x)= （5）g(x)= （6）g(x)= 对应练习： 1、求下列函数的定义域 （1）y=（x2-2x）0+ （2）y= （3）y= 重点题型：求抽象函数或者复合函数的定义域 （1）已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域 例3、已知函数f(x)的定义域为（-1，0），则函数f(2x-2)的定义域为 . （2）已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域 例4、已知函数f(x2-1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为 . （3）已知f(g(x))的定义域求f(h(x))的定义域 例5、若函数f(x+3)的定义域为[-2，4]，则函数f(x-1)的定义域为 . 对应练习： 1、已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(2x2)的定义域． 2、已知函数f(2x+1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 3、已知函数f(x2-1)的定义域为[-1，4]，求函数f()的定义域． 2、对应关系：对应关系f是函数的本质特征，就像计算机中的某个“程序”，当f（ ）的括号内输入一个值时，在此“程序”的作用下便可输出某个数据，即函数值，如f（x）=3x+5，“f”表示“自变量的3倍加5”，如f（4）=3×4+5=17。需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号，如f（x）=3x+5，则f（2x-1）=3（2x-1）+5，f（g(x)）=3g(x)+5等.进一步理解为在y=f（x）中，x是自变量，f代表对应关系.不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的符号，也可以用t，m等表示自变量. 3、值域：若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y∣y=f(x)，x∈A}称为函数的值域. 例6、设函数f(x)=，g(x)=x2+2，则g(-1)= ；f[g(2)]= ；f[g(x)]= ；g[f(x)]= ． 对应练习： 1、已知函数f(x)=，求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f()+f()+f()= ． 2、已知a、b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a-b= ． 3、已知函数f(x)=(x∈R，且x≠-1)，g(x)=x2-1(x∈R)． （1）求f[g(2)]，g[f(2)]的值； （2）求f[g(x)]的表达式． 例7、求下列函数的值域 （1）y=x+2，x∈｛1，2，3，4，5｝ “观察法” （2）y=x2-2x+3，x∈[0，3） “配方法” （3）y= “分离常数” （4）y=2x- “换元法” 对应练习： 1、求下列函数的值域． （1）f(x)=2+3 （2）y= （3）f(x)=x- 2、求二次函数f(x)=x2-2x-3（-2≤x≤5）的值域 ． 3、函数y=2x+4的值域为 ． 4、若函数f(x)=，则函数f（x）的值域为 ． 5、函数y=1的值域是 ． 例8、若函数f(x)=的定义域是R，则实数m的取值范围是 ． 知识点三、两个函数相同： 由函数的定义可知，如果两个函数的对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。 例9、下列函数为同一函数的是（　　） A．f(x)=与g(x)= B．f(x)=·与g(x)= C．f(x)=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1 D．f(x)=1与g(x)=x0（x≠0） 对应练习： 1、与y=|x|为相等函数的是（　　） A．y=（）2 B．y= C． D．y= 2、下列各组函数表示相同函数的是（　　） A．f(x)=和g(x)=（）2 B．f(x)=1和g(x)=x0 C．f(x)=|x|和 D．f(x)=x+1和g(x)= 3、下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．f(x)=elnx，g(x)=x B．f(x)=，g(x)=x-2 C．f(x)=x0，g(x)=1 D．f(x)=|x|，x∈{-1，0，1}，g(x)=x2，x∈{-1，0，1} 巩固练习： 1、函数f(x)=的定义域是（ ） A．（-∞，0） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R 2、函数y=（x＞0）的值域为（ ） A．[0，2] B．（0，2] C．（0，2） D．[0，，2） 3、函数f(x)=x2-2x，x∈[-1，2]的值域为（ ） A．[-1，3] B．[-1，0] C．[0，3] D．[-1，2] 4、下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．y=和y=∣3-2x∣ B．y=x2和y=x∣x∣ C．y=x和y= D．y=x和y= 5、已知g(x)=1-2x，f[g(x)]=（x≠0），那么f()等于（ ） A．15 B．1 C．3 D．30 6、若函数y=的定义域是A，函数y=的值域是B，则A∩B= . 7、若函数f(x)=ax2-1，a为一个正常数，且f(f(-1))=-1，则a的值是 . 8、函数f(x)=的定义域是 ，f(2x-1)的定义域是 . 9、已知f(x)=（x∈R，且x≠-1），g(x)=x2+2（x∈R） （1）求f(2)，g(2)，f(g(2))的值； （2）求f(x)，g(x)的值的值域； 10、函数f(x)=. （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f(x)的定义域为[-2，1]，求实数a的值. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$