精品解析：甘肃省定西市陇西县第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷

陇西一中2023级高一入学考试 数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效. 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 3. 如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．有下列4个结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，内接于，若，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接.请把数380000用科学记数法表示为______. 12. 分解因式：________． 13. 已知、是方程的两个根，则的值为__________． 14. 观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是________． 15. 一次函数与反比例函数的图象交于点和点.当时，的取值范围是______. 16. 如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共6题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在中，，，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得，并给出证明过程．（不写做法，保留作图痕迹） 21. 某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，如图把步行台阶由坡角45°改为坡角30°，已知原台阶坡面AB的长为5m，BC所在地面为水平面．结果精确到0.1．（参考数据：，） （1）改后的台阶坡面会加长多少？ （2）改后的台阶多占了多长一段水平地面？ 22. 随着卡塔尔世界杯的落幕，足球运动深入人心，为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况，该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查，收集数据后绘制成两幅不完整的统计图： 请根据统计图，解答下列问题： （1）求出抽取同学的总数； （2）补全条形统计图； （3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢足球的有多少人； （4）若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合，用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率． 四、解答题（本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. （1）甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 24. 如图，，E是线段AB上一点，且，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 25. 如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点． （1）求和的值； （2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接，． ①如图2，当时，过点作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值； ②连接，在线段运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出所有满足条件的的值，若不能，请说明理由． 26. 如图，是的外接圆，点D在劣弧上，点E在弦AB上（点E不与点A重合），且四边形BDCE为菱形． （1）求证：； （2）求证：． 27. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于点Q，P，Q两点间距离为m． （1）求直线BC的解析式； （2）取线段BC中点M，连接PM，当m最小时，判断以点P，O，M，B为顶点的四边形是什么四边形； （3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当时，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇西一中2023级高一入学考试 数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效. 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算逐一判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式混合运算法则计算，再根据进行估算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 即， 故选：C． 3. 如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图通过直观形象可得. 【详解】由直观图可知，从正面观察可看到第一层有3个正方形，第二层有2个正方形， 所以A正确. 故选：A 4. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可. 【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2， 方差是， 加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3， 方差是， 所以不发生变化的是平均数， 故选：A. 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义可得结果. 【详解】根据题意得且， 所以， 所以， 故选：B. 6. 如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这是一个古典概型，利用古典概型概率公式就可求出结果. 【详解】 由题意可知，闭合三个开关中的任意2个，共有三种情形：即闭合；；，其中能同时使两盏小灯泡发光的是；，仅有2种情形， 所以能同时使两盏小灯泡发光的概率是， 故选：D. 7. 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，匀速行驶一段后，休息一段时间路程无变化，应排除A，又原路返回一段，排除D，继续前进，因为是匀速所以选C. 【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B故选C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识图，辨析及实际问题的意义，属于中档题. 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．有下列4个结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质和二次函数的对称轴，确定的符号，即可判断①；由图象可知当时，函数值小于，即可以将代入函数解析式，化简即可判断②，又由对称轴为，即可求得，将代入函数解析式，得出的关系，将把换下来，求出与的关系，再进行变形判断即可判断，根据二次函数的性质，结合图象即可判断 【详解】由二次函数图象和性质可得，因为，所以， 所以，故①正确； 由图象可知当时，函数值小于，即， 所以，故②错误； 由图象可知时，函数值小于，即， 因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以，故③正确； 根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧随的增大而增大， 因为二次函数的对称轴为，所以当时，随的增大而增大，故④正确. 故选：C. 9. 如图，内接于，若，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由余弦定理求，再求，再由正弦定理求外接圆半径即可. 【详解】中，由余弦定理知， ， 则，由正弦定理，外接圆半径为R，则， 所以的半径是. 故选：A 10. 如图，在矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设，由点A在曲线上，结合求解可得. 【详解】设，则，， 所以， 所以. 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接.请把数380000用科学记数法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，由此表示即可. 【详解】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，从380000到，小数点移动了位，，， 故答案为：. 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可. 【详解】, 故答案为：. 13. 已知、是方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】列出韦达定理，由题意可得，结合韦达定理可求得的值. 【详解】由于、是方程的两个根，由韦达定理得， 且有，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，考查计算能力，属于基础题. 14. 观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，由即可得出结果． 【详解】仔细观察，，，，…；可以发现它们的个位数是4个数一个循环， ∵ ∴的与的个位数字相同是. 故答案为：. 15. 一次函数与反比例函数的图象交于点和点.当时，的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题可得，时，或，画出反比例函数和一次函数草图，结合图象即可得到答案. 【详解】一次函数和反比例函数交于两点，所以反比例函数位于一、三象限， 画出反比例函数和一次函数草图，如图， 由题意可得，时，或，由图可得，当时，或. 故答案为：或. 16. 如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出设 则，求出圆的半径为 证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接OG，QG， ∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处， ∴ ∵矩形ABCD中，， ∴， ∴， ∵⊙O与CD相切于点G， ∴OG⊥CD， ∵BC⊥CD， ∴OG∥BC， ∴△DOG∽△DFC， 设OG=OF=x，则 解得：，即⊙O的半径是 连接OQ，作OH⊥FQ， ∵，OF=OQ， ∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形； ∴ ∴ ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共6题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式及分数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】. 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 【答案】， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集. 【详解】由即得， 由得，得， 在数轴上表示如下， 所以解不等式得，所以不等式的解集为. 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；. 【解析】 【分析】根据代数式运算化简，然后将代入即可. 【详解】原式 ， 当时，，即原式. 20. 在中，，，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得，并给出证明过程．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】作图、证明见解析 【解析】 【分析】直接利用角平分线的作法得出的平分线进而得出答案. 【详解】只用作的角平分线， ①以为圆心任意长为半径画圆弧交三角形于，， ②分别以，为圆心，大于为半径画圆弧交于一点, ③连接与交于一点即为，如图所示， ；   又∵， ∴， ∵，∴, 在中，， ∴. 在与中 , ∴ 21. 某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，如图把步行台阶由坡角45°改为坡角30°，已知原台阶坡面AB的长为5m，BC所在地面为水平面．结果精确到0.1．（参考数据：，） （1）改后的台阶坡面会加长多少？ （2）改后的台阶多占了多长一段水平地面？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，利用已知求出，再利用性质求出，然后可得； （2）分别在，中求出，然后作差可得. 【小问1详解】 在中，， 所以， 在中，，所以， 所以，改后的台阶坡面会加长. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 所以，改后的台阶多占了一段水平地面. 22. 随着卡塔尔世界杯的落幕，足球运动深入人心，为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况，该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查，收集数据后绘制成两幅不完整的统计图： 请根据统计图，解答下列问题： （1）求出抽取同学的总数； （2）补全条形统计图； （3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢足球的有多少人； （4）若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合，用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率． 【答案】（1）50 （2） （3）300 （4） 【解析】 【分析】（1）由条形图可得抽取的喜欢篮球的人数为人，由扇形图可得喜欢篮球的占，可求总人数； （2）分别求得喜欢乒乓球的学生人数，喜欢足球的学生人数为，可补全频率分布直方图； （3）利用频率直方图求得喜欢足球的频率，可估计全校喜欢足球的人数； （4）九年级的名女选手和八年级的名女选手分别记为,利用树状图可求抽到的两名同学恰好是同一个年级的概率. 【小问1详解】 由条形图可得抽取的喜欢篮球的人数为人，由扇形图可得喜欢篮球的占， 所以抽取同学的总数为； 【小问2详解】 喜欢乒乓球的学生人数为（人），喜欢足球的学生人数为（人），补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 ，估计全校学生中喜欢足球的大约有人； 【小问4详解】 九年级的名女选手和八年级的名女选手分别记为, 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能情况，两名同学恰好是同一年级的有种情况， 所以抽到的两名同学恰好是同一个年级的概率为. 四、解答题（本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. （1）甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【答案】（1）元，元； （2）个. 【解析】 【分析】（1）设出两种粽子的单价，可列方程求解即可； （2）假设最多购进甲种粽子的个数，可列不等式来求解. 【小问1详解】 设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价是元， 由题意可得：，去分母得：， 解得，经检验，是原方程的解，则， 所以甲、乙两种粽子的单价分别是8元和4元. 【小问2详解】 假设最多购进个甲种粽子，则乙种粽子购进个， 由题意得：， 整理得：， 解得： 所以最多购进87个甲种粽子. 24. 如图，，E是线段AB上一点，且，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见详解； （2）25. 【解析】 【分析】（1）利用证明，然后由直角三角形全等的判定定理可证； （2）利用（1）中结论，结合已知证明，然后求出，由三角形面积公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，，所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 所以，因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 所以. 25. 如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点． （1）求和的值； （2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接，． ①如图2，当时，过点作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值； ②连接，在线段运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出所有满足条件的的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②的值为或或. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得的值得到直线方程，再求、的值； （2）①根据线段向右平移3个单位长度得到得到点坐标，再根据反比例函数求出点坐标，从而求出和； ②根据平移写出点坐标，分，，三种情况讨论，分别列出对应方程即可求解. 【小问1详解】 因为在上， 所以，所以， 所以直线的方程为， 将点代入得得， 所以，代入得， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，，反比例函数解析式为， 时，将线段向右平移个单位长度，得即， 因为过点作轴于点，交反比例函数图象于点， 所以，，所以， 所以. ②因为将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段， 所以，因为，所以， 是等腰三角形， （i）当时，则点在线段的垂直平分线上，所以，得； （ii）当时，，，得； （iii）当时，，，所以. 即当是等腰三角形时，满足条件的的值为或或. 26. 如图，是的外接圆，点D在劣弧上，点E在弦AB上（点E不与点A重合），且四边形BDCE为菱形． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明:四边形是菱形，. 又四边形是的内接四边形，. . ，. （2） 证明:以为圆心，的长度为半径做，与交于点与的延长线交于点. 由（1）结论可知点在上. 四边形是的内接四边形，. ，. 与是一对相似三角形. ，， ，，. . 即. 【解析】 【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补进行转换，可证明中两条边与所对的角相等，命题得证. （2）根据前面的结论，以为圆心，以为半径做圆，构造相似三角形证明即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 27. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于点Q，P，Q两点间距离为m． （1）求直线BC的解析式； （2）取线段BC中点M，连接PM，当m最小时，判断以点P，O，M，B为顶点的四边形是什么四边形； （3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当时，求点N的坐标． 【答案】（1）； （2）菱形； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出点B，C的坐标，利用待定系数法求解可得； （2）根据重合求出直线方程，进而确定点P坐标，利用坐标可得，结合平行关系和直角三角形斜边中线性质可判断四边形形状； （3）根据棱形性质，结合已知可得，然后用角平分线定理列方程求解，结合对称性可得点N坐标. 【小问1详解】 令，得，即， 令，即，解得或，所以， 设直线BC的解析式为，则，解得， 所以直线BC的解析式为. 【小问2详解】 当m最小时，重合， 因为，所以可设直线PQ的解析式为， 联立消去y得， 由题知，解得，直线过原点， 由解得，所以，所以，所以， 又，所以， 又，所以四边形为平行四边形. 因为为斜边上的中线，所以， 所以四边形为菱形. 【小问3详解】 由（2）知四边形为菱形，所以， 又，所以， 设，则， 由角平分线定理得，解得， 所以点N的坐标为, 由对称性可知，当点N的坐标为也满足题意， 所以点N的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $