19 高考综合改革适应性演练(八省联考)-【景行之教育】2027年数学高考一轮复习先锋名校检测卷

19高考综合改革适应性演练（八省联考） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小 8.已知函数f代x)=xlx-al-2a2,若当x>2时，f(x)>0,则a 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 的取值范围是 () 1.已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=（) A.(-o,1] B.[-2,1] A.{0} B.{1} C.[-1,2] D.[-1,+o) C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 2函数x)=cos+牙) 的最小正周期是 题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 B.Z 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点，M是C上的 C.π D.2m 点，0为坐标原点.则 3.12-4i= () A.p=4 A.2 B.4 C.25 D.6 B.IMF1≥IOFI 4.已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=（) C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 A.2 B.1 C.0 D.-1 D.当∠0FM=120时，△0FM的面积为2√3 5双曲线 =1的渐近线方程为 ( 9 10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关 A.y=±x B.y=±2x 系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数 C.y=±3x D.y=±4x 定义双曲正弦函数sinh x= e*-e 一，双曲余弦函数 6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 cosh x=e*+te ,双曲正切函数tanh x= sinh x 3 B.T cosh a C.2T D.3m A.双曲正弦函数是增函数 亿在△ABC中，BC=8,AC=I0,cos L BAC=,则△ABC的 B.双曲余弦函数是增函数 面积为 ( C.双曲正切函数是增函数 A.6 B.8 tanh x+tanh y C.24 D.tanh(x+y)= D.48 1+tanh xtanh y 11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有 (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出 () p的估计值. (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药 物A对预防疾病B有效？ 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=a(a>0,a≠1)，若f(ln2)fln4)=8, 则a= 13.有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这 8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字 之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率 为一· 14已知菌线C:y=-子，两条直线1山均过坐标原点0， l1和C交于M,N两点，l2和C交于P,Q两点.若 △OPM的面积为√2，则△MNQ的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行 了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 疾病 药物 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t 数学P答案D67卷19 3a 16.(15分)已知数列{an}中，a1=3,a+1= a,+2 17.(15分)已知函数fx)=anx+b (1)证明：数列1为等比数列 (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线 方程 (2)求{an}的通项公式。 (2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围. 《3)令6，=2，证明：6<1 景行 卷19答案D67Q数学 18(17分)已知椭圆C的离心率为)，左，右焦点分别为 19.(17分)在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1, ∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至 F(-1,0),F2(1,0) △ACP,其中P为动点. (1)求C的方程. (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O (2)已知点M(1,4),证明：线段F,M。的垂直平分线 的球面上 与C恰有一个公共点. ①证明：平面PAC⊥平面ABC. (3)设M是坐标平面上的动点，且线段F,M的垂直平 ②求球0的半径. 分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求 (2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值， 该圆的方程 之教育0,当且仅当x=0时，等号成立， 故H(x)=e-e-2sinx在[0，+o)上单调递增， 所以H(x)≥H(0)=e°-e°-2sin0=0, 故G(x)=e+e+2cosx-2k在[0，+∞)上单调递增， 所以G(x)≥G(0)≥0， 故h(x)=e-e+2sinx-2kx在[0，+o)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,故k≤2符合题意. 故k的取值范围为(-∞，2]. (17分) 19.(1)【解】因为对任意1≤i<j≤k,都有a:+a+1=2+21< 2t2<a1+a2,1≤i≤k, 所以b1,b2,…,bm依次为b1=2+22,b2=2+23,b3=22+23, b4=2+24,b=22+2,b6=23+24, (1分) 所以m=6,T(4)=6,S6=(2+22+23+24)×3=90.(3分) (2)【证明】因为a1+a2<a1+a3<a2+a3<a2+a4<a3+a4<a3+ a5<a4+a5,且数列{bn}有7项， 所以数列{bn}的7项分别为a1+a2,a1+a3,a2+a3,a2+a4,a3+ a4,a3+a5,a4十a5 (5分) 又a1+a3<a1ta4<a2+a4, 所以a1+a4=a2+a3,即a4-a3=a2-a1: 由a2+a4<a2+a5<a3+a5,得a2t+a5=a3+a4,即a5-a4=a3-a2: 因为a1+a4<a1+a5<a2ta5,即a2+a3<a1+a5<a3ta4, 所以a,ta5=a2+a4,即a5-a4=a2-a1, (7分) 则a5-a4=a4-a3=a3-a2=a2-a1,故{an}为等差数列.(8分） (3)【解】j的最小值为25.理由如下： 假设j≤24，则i≤23，则b2s=a:+a,≤a2+a24 因为满足an+a<a23+a24(m<k)的必要条件是m<23 19高考综合改革适 一、1.C【解析】由题意可得A∩B={0,1}.故选C 2.D【解析】代x)的最小正周期T=2=2m.故选D. 1 3.C【解析】12-4i1=√22+(-4)2=√20=25.故选C. 4.B【解析】a=(0,1),b=(1,0),.a-b=(-1,1),.a· (a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B. 6,c多法解题)【方法一】由双曲线方程2-。=1，得α口 b=3,所以其渐近线方程为y=±x=±3x.故选C. 【方法=]由题意，令-号=0，得)=3，所以其清证线方程 为y=±3x.故选C. 6.A【解析】由题意可得圆锥的底面半径r=1,母线长1=2， 则圆锥的高h=√-子=√22-1严=√3，所以圆锥的体积V= 3mh= 1 3T,故选A 7.C【解析】设AB=x,则根据余弦定理，得BC2=AC2+AB2- 2ACAB·cms∠MC,即8=102+2-20·x·子，所以- 12x+36=0,解得x=6.因为BC2+AB2=64+36=100=AC2,所 以△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S=2x6x8=24故 选C 8.B多法解题〉【方法一】当x>2时，f(x)>0等价于x(x- a)-2a2>0或x(a-x)-2a2>0.将a看成未知量，变形为(a+ )(e）小0o）60所以as号又2 D67卷 参考答案及深度解析 所以小于a2+a2的和式至多有以下情况： a1+a2,a1+a3,…,a1+a100; az+a3,a2+a,,a2+a1i … a22+a23,a22+a24,…,a22+a100 共有99+98+…+78=（9+78)×2=1947（个）. 2 因为1947<2024，所以不符合题意. 故≥25. (12分) 其次，证明存在符合要求的数列. 造令a1}) ,k=1,2,…,99,a100=1. 显然满足a1<a2<<a1om, 且am2-()2-（）-（） ≤ak+1+a2,k= 1,2,…,98. 所以小于a24ta2s的和式至多有以下情况： a1+a2,a1+a3,,a1+a100; a2+a3,a2+a4,·,a2+a100; a23+a24,a23+a25,…,a23+a100 因为99+98++7=(99+7)×23=2024， 2 所以b22s=a24+a25成立， 故jnn=25. (17分)》 应性演练（八省联考） 所以a的取值范围是-2≤a≤l.故选B. (x2-ax-2a2,x≥a, 【方法二】当a>2,x2时x)={2+x-2a2,2x<a, 当2<x<a时f(x)=-x2+ax-2a2,此时A=a2-4×2a2=-7a2< 0,所以f(x)<0,不满足题意，故a>2不符合题意 当0<a≤2，x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a).令 f(x)>0,解得x>2a.因为当x>2时，f(x)>0,所以2a≤2，解得 0<a≤1. 当a=0,x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意. 当a<0,x>2时f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a).令fx)>0, 解得x>-a.因为当x>2时，f(x)>0,所以-a≤2，解得-2≤ a<0. 综上可得，-2≤a≤1.故选B. 二、9.ABC【解析】因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦 点，所以=2，所以p=4,故A正确。 由A可得抛物线方程为y2=8x.设M(x少o),则x≥0，所以 IMF1=+号≥号=10F1,故B正确 因为以M为圆心且过F的圆的半径为IMF1=x。+2,其长度 与点M到抛物线C的准线的距离相等，所以以M为圆心且 过F的圆与C的准线相切，故C正确 当L0FM=120时，x0>2.由抛物线的对称性，不妨设点M 在第象限，则260=，则6=5化2将点 M的坐标代人y2=8x,得3x-20x。+12=0,解得x=6或xo= 子（合去）所以%=4.所以Sx号01%=45， 19·数学 高考一轮复习检测卷·数学 故D错误.选ABC, 10.Ac0【解折1对于A,令)=ih2,则f() e"te* 2 >0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，A正确 对于B,令g(x)=cos=e+ 2,则g(x)=e-e 由选项A 的分析知，g()为增函数又g(0)=e°e =0,故当xe 2 (-∞，0)时，g'(x)<0;当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0.故g(x) 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，B错误 e*-e 对于C,tahx=sinh-2-。-ee2-1 e2+7由 2 cosh 'tete 2 y=e2“+1在R上单调递增，且y=e2“+1>1,可知tanhx=1- 是增函数，C正确 2 对于D,由选项C的分析知tanhx 。则ah(x+y) e24-1 e2-1e2-1 -1 tanh xttanh y11 e22+1'1+tanh xtanh y e2-1e2-1 1 1+e2“+1e2y+1 (e2-1)(e2y+1)+(e2-1)(e24+1)】 (e2+1)(e2+1)+(e2a-1)(e-1) e2x+2y+e2-e2-1+e2+2y-e2+e2-12e2x+2y-2e2s+2y-1 e2+2+e2+e2+1+e2+2y-e2-e2+12e2+2+2e2s+2+1' 故tanh(x+y)= anhx+tanh y,D正确.故选ACD. 1+tanh xtanh y 11.ABD多法解题)经观察可知，图中的绳结拉开后应该有 一个结，不可能为完整的圆环，故A符合题意 此绳结应该是由一根绳组成的，而D项中的绳结是由三个独 立的圆环组成，故D符合题意. 【方法一】对于B,C,如图(1)，根据左手三叶结和右手三叶 结不能无损转换，而B,C中的图形都为三叶结变体，则B,C 至少有一个无法无损伤得到，两者为手性，即镜像（即只能 在镜子中相互重叠)，再通过身边道具（如鞋带、头发、纸巾 等)进行实验可知，可以得到C选项，无法得到B选项.故 选ABD. 左手三叶结 右手三叶结 图(1) 【方法二】对于B,C,将C选项中的图的下半部分向右上方 对称翻折，注意交线谁在上方，谁在下方，如图(2)，则可得 到题图中的绳结：将B选项中的图的下半部分向左上方对 称翻折，同样注意交线谁在上方，谁在下方，如图(3)，则可 得其和题图中的绳结不是同一类型.故B符合题意，C不符 合题意.选ABD 图(2) 图(3) D68卷 三、12.e多法解题)【方法一】由f(ln2)f(ln4)=8,可得 ah2.a血4=8，即ah24=a32=8,也即(a2)3=23.因为a> 0且a≠1，所以ah2=2.两边取对数，得ln2·lna=ln2,解 得a=e. 【方法二】由方法一中a2·a4=8,得a2*4=a8=8,结 合对数恒等式可得a=e. 13易【解析】从8张卡片中随机抽出3张，则样本点总数 为C3=56.因为1+2+3+4+5+6+7+8=36，所以要使抽出的 3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，所以抽出的3张 卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5，共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点个 数为3，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上 的数字之和相等的概率为 56 14.22【解析】设f(x)=x- x x≠0，则f(-x)=-f(x),所以曲线 C关于坐标原点对称.当x>0时， 函数=心之单调递增，画出大致 的曲线C,如图.因为两条直线1， L2均过坐标原点O,所以M,N两点关于原点对称，P,Q两点 关于原点对称.根据对称性，不妨设M,N,P,Q的位置如图， 则IOP1=1OQ1,IOM1=1ON1,∠POM=∠QON,所以△OPM≌ △OQN,所以SAOON=SAOPM=√2.而△OQM和△0QN等底等 高，所以S△oow=√2，所以S△0=22. 四、15.【解】(1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150. (3分) (2)由列联表知，未服用药物A的动物有180只，未服用药 物A且患疾病B的动物有80只， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为80=4， 1809 (5分) 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值p=g 4 (7分) (3)零假设为H。:药物A对预防疾病B无效. 由列联表得到2_400x100x7080x150)-6.734>6.635. 180×220×250×150 (10分) 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H。不成立， 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不 超过0.01. 所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，能认为药物A 对预防疾病B有效. (13分) 16.(1)【证明】由a1 30得10+22.1+1 a.+2得an13a,3‘a,3 则111=21) 33 an 3 a (2分) 所似数是首项为1女子，公比为号药等比数 a。) (4分) 【10将1女子}厂仔 19·数学 1 3" 则an= (7分) -() 3-2 3n+1 (3)【证明】由题意，得bn= 2 3"-2” 3n 3(3”-2) 3(3(广-21 =1 3+1-2+1 3(2)2 1 (10分) 3()2 令f(n)=3 () -2,n∈[1，+∞). 因为fn)=3· 3)" (2 -2在n∈[1，+∞)上单调递增， 3 所以f代n)≥f(1)=3× (12分) 2 570 2- 所以y= -在n∈[1，+∞)上单调递减， 所以数列{bn}在neN上单调递增，且bn<1, 故bn<bn+1<1 (15分) 17.【解】(1)当a=1,6=-2时，x)=hx-2x,其中>0， 子9 (1分) 令f()=2,得*-+2-2， x2 即3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值已舍去). 又f代1)=-3，则切点坐标为(1，-3). (4分) 所以切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0. (5分) (2)函数f代x)的定义域为(0，+∞)， r1 x2 因为x=1是f代x)的极小值点， 所以f'(1)=-1+a-b=0,则a=b+1, 所以f”(x)=+(6+1)x-6-(g-1)(x-6) (7分) x2 x2 若b≤0，令f'(x)>0,得x∈(0,1)：令f'(x)<0,得x∈(1，+o). 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是f(x)的极大值点，不满足题意 (9分) 若0<b<1,令f'(x)>0,得xe(b,1);令f'(x)<0,得x∈(0， b)U(1,+∞). 所以f(x)在(b,1)上单调递增，在(0，b),(1,+∞)上单调 递减， 所以x=1是f(x)的极大值点，不满足题意 (11分) 若6=1，则()-x-'≤0，所以在(0，+0)上单 x2 调递减，无极值，不满足题意。 (12分) 若b>1,令f'(x)>0,得x∈(1，b);令f'(x)<0,得x∈(0,1)U (b,+∞). 所以f(x)在(1，b)上单调递增，在(0,1)，(b,+∞)上单调 递减， 所以x=1是f(x)的极小值点，满足题意 (14分) 综上可得，若x=1是f(x)的极小值点，则b的取值范围是 D69卷 参考答案及深度解析 (1,+0). (15分) 18.(1)【解】因为椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1, 0),所以c=1. (1分) 因为椭圆C的离心率为分 所以。=后，可得a=2 (2分) 所以b2=a2-c2=3. (3分) 所以精圆G的方程为片片1 (4分) (2)【证明】由M(1,4),F1(-1,0),得直线MF1的斜率 k=2,线段FM。的中点的坐标为(0,2) 1 所以线段FM,的垂直平分线的方程为y=-2+2.(6分) 联立得方程组 2+2 y= 3 消去y并整理，得x2-2x+1=0,则x=1,y= (8分) 因为△=4-4=0，所以直线与椭圆相切， 所以线段F,M。的垂直平分线与C恰有一个公共点 (2） (10分) (3)【解】【方法一】设M(x,yo) 当%=0时，线段F,M的垂直平分线的方程为x=0一1， 2, 此时 2 -=±2，则x0=5或x0=-3, (11分) 当%0时，线段rM的垂直平分线的方程为)=出 Yo ）空 Yo 2y0 xo+1x6+y6-1 y=- 联立得方程组 Yo 2y0 3x2+4y2=12. 消去y,得3x2+4 （+1)'2-（+10(6+6-1Dx (x6+y-1)2 =12, 4yo 4(0+1)2 4(x+1)(x场+y6-1),(x场+y-1)2 即3+ 一十 哈 12=0. (13分) 因为线段F,M的垂直平分线与C恰有一个公共点， 16(x0+1)2(x号+y-1)2 所以△= -43 ,4(x0+1)2 「(x6+y7-1)2 12=0, 6 即3(6+-1 48(x0+1)2 -36 =0 则y8+(2x-14)y+x6-18x6-32x0-15=0, 即y6+(2x-14)y+(xo+1)2(x+3)(x0-5)=0, 亦即y+(2x-14)y+(x6+2x+1)(x号-2x0-15)=0, 所以(y+x6+2x+1)(y7+x7-2x。-15)=0. (15分) 19·数学 高考一轮复习检测卷·数学 因为x+y+2x+1=(xo+1)2+y>0,所以x+y-2x0-15=0. 又(5,0)，(-3,0)也满足该式， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即 (x-1)2+y2=16. (17分) 【方法二】设线段F,M的垂直平分线1与C恰有一个公共 点，为点P, 则当点P不在长轴时，线段F,M 的垂直平分线1即为点P处的 切线， 也为∠FPM的平分线，如图. (12分) 作∠F,PF,的平分线PH,根据椭 圆的光学性质得PH⊥l, 所以∠FPE+∠FPH=90°，则 ∠F,PH+∠EPM=90° 故∠F2PF+∠F,PM=180°， 所以M,P,F2三点共线， 所以IMF2I=IMPI+IPF2I=IPFI+IPF2I=4 所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆， (15分) 当点P在椭圆长轴上时，点M的坐标为(5,0)或(-3,0)，也 满足IMF,I=4 (16分) 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x-1)2+y2=16.(17分) 19.(1)①【证明】如图(1)，在△ACD D 中，由AC=CD=1,∠ADC=30°，得 ∠CAD=∠ADC=30°. 所以AD=2 4Ccos∠DAC=√3， 且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°- 30°=90°，则AB⊥AC. （2分) 因为PC⊥AB,PC∩AC=C,PC,ACC 平面PAC, 图(1) 所以AB⊥平面PAC. (3分) 又ABC平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC. (4分) ②【解】如图(2)，以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别 为x轴、y轴，过点A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立 空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(01,0),P0,22 33 (5分 设球心0(a,b,c),球的半径 为R, 则A0=B0=C0=P0=R, 所以a2+b2+c2=(a-1)2+b2+ c2=a2+(b-1)2+c2=a2+ 6(}, 图(2) 13 解得a=2b=2,c=2, 2 所以球0的半径为 (8分) (2)【解】在平面PAC中，过点P作PG⊥AC于点G,在平 面ABC中，过点G作GM⊥AC,如图(3)， 则结合(1)得4G=5oas30=号，PG=月sn30=月 21 (9分) D70卷 设∠PGM=0,0∈(0，π). 以G为坐标原点，GM,CG所 在直线分别为x轴、y轴，过点 G且垂直于平面ABC的直线 3 为z轴建立如图(3)的空间直 M 角坐标系， 图(3) 则c00,0,Ao,-0,B l,0）.d0,or9seo,9m, 所以d=(0,-1.0.i=(1,-1.0).本-（停s0, sn). (10分) 设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,之1)， 则/m·=0,「=0， 即5. (mc=0, wrm0-0 取x1=sin0,则y1=0,a1=-cos0. 所以平面PAC的一个法向量m=(sin6,0,-cos6).（11分) 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,2), 则·c亦=0 x2-y2=0, 即5 a.-0,2,os0+2t2m6=0 13 取名=1，则为=1，=-3c089+1 3sin 0 所以平面PBC的一个法向量n=1,1, √3cos0+1 √3sin0 (12分) sin (cos 0+1)cos0 所以cos〈m,n〉= m·n 3sin 0 ImlInl 2+ 3c0s 0+12 √3sin0 cos0+√3 (13分) √-3cos20+23c0s0+7 令t=cos0+3,则cos0=t-√3. 由0e(0,,得1e(5-1,+1),则e(51, 2’2 则cos(m,n〉= -32+83-8885-3 W2+ 13 33 (15分) 当且仅当}-2， 3二，示即c。sB=一3时，等号成立 所以二面角A-(印-8的余孩值的最小值为号 (17分) 19·数学