精品解析：湖北省武汉市洪山高级中学2024届高三下学期第2次模拟考试数学试卷

武汉市洪山高级中学2024届高三高考第 2 次模拟考试 数 学 试 卷 命题人：张顺 审题人：田明芳 2024.05.16 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线，直线，给出下列命题： ①，使得； ②，使得； ③，与都相交； ④，使得原点到的距离为. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ） A. 互为独立事件 B. 为互斥事件 C. D. 5. 空间点，则点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的最大值为 A. B. C. 2 D. 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D. 在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒 10. 斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇数 C. D. 被4除的余数为0 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为_____. 13. 已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________. 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知. （1）求证：； （2）若D为AB的中点，且，，求的面积. 16. 在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． （1）证明：为的中点； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求C的方程； （2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 18. 已知函数. （1）求证: 当时，; （2）已知函数有3个不同的零点， （i）求证: ; （ii）求证: 是自然对数的底数). 19. 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． （1）试求，，，的值； （2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市洪山高级中学2024届高三高考第 2 次模拟考试 数 学 试 卷 命题人：张顺 审题人：田明芳 2024.05.16 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 与互为共轭复数，， 所以. 故选：D. 2. 直线，直线，给出下列命题： ①，使得； ②，使得； ③，与都相交； ④，使得原点到的距离为. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④. 【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错； 对于②，若，则，解得，②对； 对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错； 对于④，直线的方程为， 若，使得原点到的距离为，则，整理可得， ，方程有解，④对. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解. 【详解】因为，定义域为， 又， 所以是奇函数，从而ACD错误，B正确. 故选：B. 4. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ） A. 互为独立事件 B. 为互斥事件 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定. 【详解】，，， 从而互为独立事件，A正确； 可以同时发生，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选:B. 5. 空间点，则点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离. 故选：D. 6. 如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的最大值为 A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：以 点为坐标原点，方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为 ，由意可知： ， 据此可得： ，则： ，目标函数： ， 其中 为直线系 的截距， 当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 . 本题选择B选项. 点睛：本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题. 求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在 轴上截距最大时， 值最大，在 轴截距最小时， 值最小；当时，直线过可行域且在 轴上截距最大时， 值最小，在 轴上截距最小时， 值最大. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系. 8. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 又因为的中点为点一定在椭圆内部， 所以, 则与都不合题意， 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D. 在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦函数，结合三角函数的性质依次判断选项即可. 【详解】由题意得，如图，轴，， 点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且， 因为每分钟转2圈，所以，得角速度， 故，又， 所以，所以， 即.故A正确，B错误； 若水车的转速减半，则每分钟转动圈，所以周期变为原来的倍，因此C错误； 令，得， 解得或，Z， 当时，或， 即旋转一周的过程中(30s)，有s，水斗A距离水面高度低于7米， 所以有s的时间不低于7米，故D正确. 故选：AD. 10. 斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇数 C. D. 被4除的余数为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】A:直接法写出第8项即可;B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可;C:只需证明即可,用数学归纳法证明;D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, , 故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证, 2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律, 故, 令, 则有成立, 故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证, ,能被4整除得证, 故选项D正确. 故选:BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D． 【详解】选项A，连接，正方体中易知， 分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确； 选项B，如图，取中点为，连接， 因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，正方体中，分别是中点，则， 在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点， 连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点， 为所过三点的截面， 由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质， 设，，则，， 是中点，，则，所以，同理， ，，， 梯形是等腰梯形，高为， 截面面积， 设，，， 在上递增，，， 所以，C错； 选项D，取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体）， 它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】确定极差，求出第30百分位数的表达式，结合题意列式求解，即得答案. 【详解】由题意知这组数据的极差是， 由于，故第30百分位数为， 故， 故答案为：6 13. 已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答. 【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减， ，因此，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果. 【详解】作出圆锥的轴截面如图所示， 圆锥面与两球相切于两点，则，， 过作，垂足为，连接，，设与交于点， 设两球的球心距离为， 在中，，，； ，， ，，解得：，， ； 由已知条件，知：，即轴截面中， 又，，解得：， 即两球的球心距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知. （1）求证：； （2）若D为AB的中点，且，，求的面积. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 即， 因为，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用两角和与差的正弦函数化简求解； （2）由D为AB的中点，得到，再两边平方得到CA，CB的一个关系式，由，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一个关系式，然后利用（1）的结论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为D为AB的中点，且，， 所以， 两边平方得， ， 即， 又， 即， 由（1）知， 解得，又，且， 所以，则. 16. 在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． （1）证明：为的中点； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，，在正四棱柱中， 由与平行且相等得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，是中点， 所以是的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定点位置，再由空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为轴建立空间直角坐标系，如图，设（）， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量是，则 ，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，平面的一个法向量是， 平面即为平面， 则， 二面角为锐角，因此其余弦值为． 【点睛】 17. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求C的方程； （2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）； （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于的方程组，解方程组作答. （2）由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得， 所以C的方程是. 【小问2详解】 为定值，且， 因为，则， 因此，而，有， 于是平分，直线的斜率互为相反数，即， 设， 由得，，即有， 而，则， 即 于是 ， 化简得：， 且又因为在椭圆上，即，即，， 从而，， 又因为不在直线上，则有，即， 所以为定值，且. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知函数. （1）求证: 当时，; （2）已知函数有3个不同的零点， （i）求证: ; （ii）求证: 是自然对数的底数). 【答案】（1）证明见解析 （2） ， 当 在 上单调递增，在 单调递减， 当 在上单调递增， 又函数有 3 个不同的零点 ， 所以，， （i）令 ， 在上单调递增，又 ， 又 在上单调递减， ，即 （ii)在处的切线方程与交点的横坐标， 过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ， 由 （1）取 ， 则与在轴右侧交点横坐标为 ， ， 综上: 【解析】 【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明. 【小问1详解】 ①当 ，即证 ， 令 ， 令 ，则当时，所以在上单调递减， 则有当时，所以在上单调递减， 所以当， 成立 ②当 时，，即证 ， 令 设，则，所以在上单调递增，所以 所以， 在上单调递减，，即 ， 综合①②当 时， 【小问2详解】 略 【点睛】本题第二小问中的第一个小题的解决的关键在于利用证明极值点偏移的方法证明，再利用基本不等式证明结论. 19. 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． （1）试求，，，的值； （2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值. （2）利用欧拉函数的定义求出，进而分析计算. （3）根据给定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得. 【小问1详解】 由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则， 不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则， 所以. 【小问2详解】 在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个， 因此. 由，是两个不同的素数，得， 在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个， 于是， 所以. 【小问3详解】 计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，从而 由（2）得，， 即正整数满足的条件为：， ，令，则， 令，则， 取，则，于是， 因此，即， ， . 【点睛】关键点睛：数列求和，利用差角的正切变式进行裂项是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $