精品解析：2024年四川省成都市锦江区九年级中考二诊模拟考试数学试题

锦江区初2021级适应性考试数学试卷 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由六个相同小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 2，2 B. 2，2.5 C. 2，3 D. 3，3 6. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于x的方程没有实数根 D. 若点该抛物线上，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9 分解因式：x2y-4y=____． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为____． 11. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集为____． 13. 如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线，交直线于点P，连接．若，，则____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）； （2）解不等式组：． 15. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 16. 如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 17. 如图，在中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，若，求阴影部分的面积． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； （3）已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为______． 20. 如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为______． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，直线l经过格点A，B，直线m经过格点C，D，直线n经过格点E，F．点O，Q分别在直线l，n上，连接交直线m于点P，则的值为_____． 22. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为________米． 23. 如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则_____；点F是中点，连接，过点F作交于点G，则_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若，求顶点D的坐标及线段的长； （2）当时，二次函数的最小值为，求m的值； （3）连接，，，若，求点C的坐标． 26. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锦江区初2021级适应性考试数学试卷 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正负数和相反意义的量，根据低于最适宜发芽温度记作，即可得到答案 【详解】解：∵某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作， ∴高于最适宜发芽温度应该记作， 故选：A 2. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的正视图，找到从正面看所得到的图形即可；掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解题的关键． 【详解】解：从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形． 故选：B． 3. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2，2 B. 2，2.5 C. 2，3 D. 3，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，根据众数及中位数的概念进行判断即可． 【详解】解：∵2出现的次数最多， ∴众数是2． 把这组数据从小到大排序为2，2，2，3，3，4，5． ∵3处于第四位的中间位置， ∴中位数是3． 故选：C． 6. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系． 8. 如图，抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于x的方程没有实数根 D. 若点在该抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可得，即可判断A；根据对称轴为直线，抛物线与x轴交于点，可得抛物线与x轴的另一个交点，即可判断B；根据抛物线与直线有两个交点，可判断C；根据抛物线开口向下，有最大值，可判断D． 【详解】由题得，， ∴；故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴为直线，抛物线与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，；故B选项错误，不符合题意； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根；故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即当时，抛物线有最大值， ∴；故D选项正确，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2． 11. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质． 根据菱形性质和全等三角形的判定方法“”即可证明，再得到，因为，故． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，先求出点B的坐标，再根据图象求不等式的解集即可． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为， ∴， ∴关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 13. 如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线，交直线于点P，连接．若，，则____． 【答案】##21度 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可得，，即，结合三角形内角和定理可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊三角函数的实数运算，解一元一次不等式组等知识． （1）先根据二次根式性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂等知识进行化简，再进行加减运算即可求解； （2）先分别解不等式①得，不等式②得，即可得到不等式组的解集为． 【详解】（1）原式 ； （2）， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组解集为． 15. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图． （1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； （2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； 小问2详解】 解：∵C组人数为（人）， ∴A组人数为（人）， 条形统计图补充为： 小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=． 16. 如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点C作交延长线于点F．在中，，在中，，可求出，再解，即可求出 【详解】解：过点C作交延长线于点F． 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 答：石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 17. 如图，在中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可； （2）根据三角形的中位线，得且，进而可证，可得，进而求解即可； （3）由垂径定理可得，由三角函数分别求出，，再由求解即可； 【小问1详解】 连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； 【小问2详解】 连接， ，， 且， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ，， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， ； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，扇形面积，三角函数，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识求解； 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； （3）已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得的坐标，即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）延长，交反比例函数的图象于点，则则此时，故与重合时，符合题意，作，交轴于，求得直线的解析式，求得点的坐标，即可求得直线向下平移6个单位得到直线，关于向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为点； （3）设直线为，由中心对称可知与x轴交点为，从而求出函数表达式，与反比例函数联立，得二次方程，由根于系数关系可得，即可求得T点的坐标，得到的值． 【小问1详解】 将代入，得：， ， 反比例函数表达式为：， 联立，求得点； 【小问2详解】 ①延长交图象于点， 反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称， 交点B和关于原点O中心对称， 即， ，则， 点即为所求； ②， 取点，连接，， ， 过点Q作平行线交图象于点， 则的函数表达式为，联立，解得， 综上，点P坐标为或； 【小问3详解】 与x轴交于， 由中心对称可知与x轴交点为， 且， 直线函数表达式为， 化简得：， 联立，得：， ，； ， ， 即： 解得或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，一次函数图象与几何变换，函数与方程的关系，根于系数的关系，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值．先通分算括号内的，把除化为乘，约分后即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式； 故答案为：10． 20. 如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，依据平移的性质，即可得到 ，再根据取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为，得到，设，，求得，根据题意列方程即可得到结论，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】由平移可得，，， ∴， ∵在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为 ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴， 故平移的距离为， 故答案为：． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，直线l经过格点A，B，直线m经过格点C，D，直线n经过格点E，F．点O，Q分别在直线l，n上，连接交直线m于点P，则的值为_____． 【答案】##1.25 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，取格点H、L、K，连接交直线m于点I，连接，则，所以，则，求得，，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：取格点H、L、K，连接交直线m于点I，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接，则四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 22. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意建立平面直角坐标系，结合顶点为设出抛物线解析式为，代入得出抛物线解析式为，由显示屏底部距离地面至少8米，则可令，求出的值判断即可，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：由题意建立平面直角坐标系如图所示： ， 由顶点为， 可设抛物线解析式为， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 显示屏底部距离地面至少8米， 令，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 距离左右墙壁各留至少1米的维修空间， （米），此时是最大值， 故答案为：． 23. 如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则_____；点F是的中点，连接，过点F作交于点G，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可；如图，作于H，作于M，作于N，延长交于O，利用勾股定理求出，，证明，求出，，进而求出，证明，求出，利用勾股定理求出，在中，设，则，证明，得出，即，即可求出，再代入求出，即可求解． 【详解】解：∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，作于H，作于M，作于N，延长交于O， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴即， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元 （2）学校最多购买了62支钢笔作为奖品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用． （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可； （2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程解，且符合题意， ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元． 【小问2详解】 解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若，求顶点D的坐标及线段的长； （2）当时，二次函数的最小值为，求m的值； （3）连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】（1），6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质： （1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或5，即可求解； （2）当时，函数在时取得最小值，即；当时，同理可解． （3）过C作x轴平行线l，过D作于点M，求出，，，得，证明，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； 【小问2详解】 解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 26. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1），，见解析；（2）2或5；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“衍生矩形”的定义，可知矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上（顶点不重合），得出两组全等三角形，分别证明即可； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，可证，得出，根据，求出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）当Q落在边上时，最小，当Q落在矩形内部，且时，最大，即可得出答案． 【详解】（1），． 矩形和矩形中， ，， ， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， 同理可证：； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”， 由（1）可知：， ， ， ， ， 由（1）可知：， 又， ， ， 设，则， ， 解得或5， 或5； （3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接， 四边形为矩形，过点O， 由（1）知：， ， 为中点，， 四边形为矩形， ， 延长交于点F，则，，， 当最小时，最小；当最大时，最大， 即：当最大时，最小；当最小时，最大， 当Q在上时，，， ， 点Q落在矩形内（不含边界）， ， 在矩形中，， 当最小时，最小，最大， 时，， 此时， ， ， 综上，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理等知识，正确理解新定义“衍生矩形”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$