精品解析：2024年山东省菏泽市鄄城县九年级中考一模考试数学试题

2023—2024学年度第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间∶ 120分钟 总分 120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置) 1. 的相反数是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根及求一个数的相反数，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念． 根据立方根的运算可知，再由相反数的定义即可解答． 【详解】解： ∴的相反数是． 故选：B． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²， 数据0.0000164用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可判定． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故符合题意； B．该圆柱主视图是矩形，故不符合题意； C．该正方体主视图是正方形，故不符合题意； D．该三棱柱的主视图是矩形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5. 在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球，已知两个袋中分别有红、白、黑球各一个，这些球除颜色外无其他差别，小明从两个口袋中各随机取出一个球，取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，找到符合要求的结果即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴取出的球是一个红球和一个白球的结果共有2种． 故选：B 【点睛】此题考查了列举法求结果数，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键． 6. 已知直线，将一块含 角的直角三角板（，）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键． 7. 反比例函数与一次函数y＝－kx－1（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当 时，则 ，此时一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，故选项不正确，不符合题意； B、因为一次函数y＝－kx－1（k≠0），则其与y轴交点为（0，-1），故选项不正确，不符合题意； C、因为一次函数y＝－kx－1（k≠0），则其与y轴交点为（0，-1），故选项不正确，不符合题意； D、当 时，则 ，此时一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，故选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图像，能根据函数图像所在象限判断k的值是解题的关键． 8. 如图是二次函数 图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断∶①；②；③；④若是抛物线上两点，则 ，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． ①根据直线是对称轴，确定的值； ②根据时，确定的符号； ③根据时，，求得，即可得到结论； ④根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可． 【详解】解：∵直线是对称轴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵直线是对称轴，二次函数图象经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 即，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，，与是抛物线上两点， ∴，故④正确， 综上，正确的是①③④，故B正确． 故选：B． 9. 正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图像．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图像． 【详解】解：∵正△ABC的边长为3cm， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm． ①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）； 根据余弦定理知cosA， 即 解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）； 该函数图像是开口向上的抛物线； ②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）； 则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图像是在3＜x≤6上的抛物线； 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像．解题的关键是需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选． 第Ⅱ卷 非选择题部分 (共90分) 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，解出不等式，然后根据一元二次方程的定义可得，从而求出a的取值范围. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 又∵， ∴. ∴a的取值范围是且. 故答案为：且. 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键. 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，掌握“”是解题的关键． 直接利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____． 【答案】-6＜x＜0或x＞2； 【解析】 【分析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求. 【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2； 点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 13. 若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程 的解为负数， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是一张撕掉一个角的四边形纸片，根据图中所标示的数据，可得被撕掉的大小为________. 【答案】100° 【解析】 【分析】先求出∠ABC度数，再求出四边形的内角和，再代入求出即可． 【详解】解：， . ，，， . 故答案为：100°. 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能求出四边形的内角和是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°． 15. 如图，正方形中，点 是 边上一点，，且交正方形外角的平分线于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】在AB上截取BM=BE，过点F分别作BC，DC的垂线，垂足分别为N，G，先证明，然后证明，求出DG，GF的长度，运用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：在上截取， 过点F分别作的垂线， 垂足分别为N，G， ， , ， 又平分， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， , 正方形 边长为3， , ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰三角形等知识点，根据题意构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题(本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内) 16. （1）先化简，再求值∶ ，其中 ， ． （2）解不等式组 ，并在数轴上表示出其解集． 【答案】（1），； （2）， 在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，解不等式组等知识，解题的关键是： （1）先利用分式的运算法则进行化简，然后利用负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数，二次根式的性质化简求出a、b的值，再把a 、b的值代入计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数值上表示出解集即可． 【详解】解：（1）原式 ， ∵，， ∴原式； （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 数轴如答案所示． 17. 新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本， （1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ （2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 【答案】（1）甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元 （2）甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大 【解析】 【分析】（1）设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设甲种图书进货a本，总利润元，由题意得出，，则，再由一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元， 由题意可得：，解得， 经检验，是原分式方程的解， 则甲种图书售价为每本元， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； 【小问2详解】 解：设甲种图书进货a本，总利润为w元， 由题意可得：， ∵，即， ∵w随a的增大而增大， ∴当a最大时w最大， ∴当本时，w最大（元）， 此时，乙种图书进货本数为（本）， 答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；熟练掌握一次函数的性质，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 18. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡 走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为 ．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）ED的铅直高度约为，水平宽度约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，， ∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为H， 由题意得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 19. 为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度； （2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数，并补全条形统计图； （3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率． 【答案】（1）200，198 （2）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的有540人， 补全统计图如下 ． （3） 【解析】 【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例即可得到“灰”所在扇形的圆心角的度数； （2）先求出样本中绿色部分的人数，然后补全统计图，用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数占被调查人数的比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次调查一共随机采访学生（名）， 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：200；198； 【小问2详解】 绿色部分的人数为（人）， 根据题意，得（人）． ∴估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的有540人． 【小问3详解】 列表如下： A B C D A B C D 由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种， ∴恰好抽中A，B两人的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 20. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点 ，函数的图象经过点和点 ． （1）求 的值和点 的坐标； （2）求的周长． 【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28 【解析】 【分析】（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标； （2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案. 【详解】（1）将点A（3,4）代入中，得k=， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴MA=MC， 作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E， ∴ME∥AD， ∴△MEC∽△ADC， ∴， ∴ME=2， 将y=2代入中，得x=6， ∴点M的坐标为（6,2）； （2）∵A（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∴, ∵A（3,4），M（6,2）， ∴DE=6-3=3， ∴CD=2DE=6， ∴OC=3+6=9， ∴的周长=2(OA+OC)=28. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质. 21. 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 【答案】（1）∠BOC的度数为70°； （2）如图，连接， 为的中点， 在圆上， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）由AP是⊙O的切线，得到 结合 求解，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得答案； （2）连接，由三角形的中位线的性质证明：证明再证明证明 从而可得答案． 【详解】解：（1） AP是⊙O的切线， （2）略 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质定理，切线的性质定理，切线的判定定理，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接 交抛物线的对称轴于点 ，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点 在第一象限内的抛物线上，且，求 点坐标． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可， （3）设点 坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由点和点得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得：， 当时，， ∴点， 由， ∴顶点； 【小问3详解】 设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 23. 已知，为等边三角形，点D在边 上． （1）【基本图形】如图1，以 为一边作等边，连接．可得． （2）【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． （3）【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）过点D作，交 于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解； （3）过点D作，交 于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ 与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点D作，交 于点G， ∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 理由如下：如图3，过点D作，交 于点G， ∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间∶ 120分钟 总分 120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置) 1. 的相反数是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²， 数据0.0000164用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球，已知两个袋中分别有红、白、黑球各一个，这些球除颜色外无其他差别，小明从两个口袋中各随机取出一个球，取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线，将一块含角的直角三角板（，）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与一次函数y＝－kx－1（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数 图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断∶①；②；③；④若是抛物线上两点，则 ，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ③④ 9. 正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题部分 (共90分) 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________. 11. 因式分解：__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____． 13. 若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是__________． 14. 如图，是一张撕掉一个角的四边形纸片，根据图中所标示的数据，可得被撕掉的大小为________. 15. 如图，正方形中，点 是边上一点，，且交正方形外角的平分线于点 ，连接．若 ，，则的长为______． 三、解答题(本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内) 16. （1）先化简，再求值∶ ，其中 ， ． （2）解不等式组 ，并在数轴上表示出其解集． 17. 新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本， （1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ （2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 18. 如图大楼 的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆 的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆 的高度．（参考数据：，，，） 19. 为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度； （2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数，并补全条形统计图； （3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率． 20. 如图，平面直角坐标系中，的边在 轴上，对角线 ， 交于点，函数的图象经过点和点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 21. 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 22. 如图，已知抛物线与 轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点 的坐标； （3）若点 在第一象限内的抛物线上，且，求 点坐标． 23. 已知，为等边三角形，点D在边上． （1）【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． （2）【迁移运用】如图2，点F是 边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． （3）【类比探究】如图3，点F是 边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $