精品解析：2024年山东省淄博市桓台县中考二模数学试题

2024年山东省淄博市桓台县中考数学二模试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年4月16日国家统计局发布，一季度高质量发展取得新成效，国民经济延续回升向好态势，开局良好．初步核算国内生产总值约29.63万亿元，按不变价格计算，同比增长．万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据，，，，，的众数是9，则这组数据的平均数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 8. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若要使代数式有意义，则x的取值范围是 ___． 12. 代数式与代数式的值互为相反数，则________． 13. 已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是______． 14. 观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：______． 15. 如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长. 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直线与轴交于点，点为轴上一个动点，若，求点的坐标． 19. 某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： ××学校学生参与家务劳动情况调查报告 调查 主题 ××学校学生参与家务劳动情况 调查 方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据 的收 集、 整理 与描 述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） .天天参与； .经常参与； .偶尔参与； .几乎不参与. 第二项 你日常参与家务劳动项目是（可多选） .扫地抹桌； .厨房帮厨； .整理房间； .洗晒衣服. 第三项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）参与本次抽样调查的学生有______人； （2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数； （3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数； （4）小明和小亮都从“天天参与”“经常参与”“偶尔参与”三个选项中选择了一种，求出两人选择同一种概率． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 21. 某商品现在的售价为每件元，进价为每件元，每星期可卖出件；市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件． 若调整后的售价为元（为正整数），每星期销售的数量为件，求与的函数关系； 设每星期的利润为元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润； 为了使每周利润不少于元，求售价的范围． 22. 已知锐角内接于于点于点，交于点，交于点，连结． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连结，若． ①探究与数量关系； ②如图3，连结，在上取点，使得，求的面积． 23. 如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． （1）求点，的坐标； （2）四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； （3）若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省淄博市桓台县中考数学二模试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负数的判断，求一个数的绝对值、相反数、立方根、平方，理解“，” 和“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意； 故选：C． 2. 2024年4月16日国家统计局发布，一季度高质量发展取得新成效，国民经济延续回升向好态势，开局良好．初步核算国内生产总值约29.63万亿元，按不变价格计算，同比增长．万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】万亿， 故选：D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，幂的运算；掌握单项式除以单项式的法则和“合并同类项：将系数相加减，字母连同指数不变；；，．”是解题的关键． 详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论正确，故符合题意； 故选：D． 4. 已知一组数据，，，，，的众数是9，则这组数据的平均数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，求平均数，根据题意先得出，进而根据平均数的定义，即可求解． 【详解】数据，，，，，的众数是9， ， 这组数据的平均数是； 故选：A． 5. 如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，观察图形，找到过点且将这个图形分成面积相等的两部分的一条直线，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 在直线的两侧的面积相等，则直线将这个图形分成面积相等的两部分,即为所求 ∵ ∴， 故选：D． 6. 实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由得到，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴的周长为：（8+9）×2=34． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 8. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积公式；根据三视图可得此几何体为圆锥，那么，从而得出答案． 【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥， 直径为，圆锥母线长为， 侧面积. 故选：B. 9. 如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，相似三角形的性质与判定；设交轴于，交于，设，则，设，根据已知可得，进而证明，得出，，，证明，得出，进而求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】如图，设交轴于，交于，设，则，设. 点在上， ， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A. 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，则，，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为，即可判断②；根据对称轴可得，根据当时，与其对应的函数值，得出，进而可得，根据对称性可得二次函数的图象过点，，得出，当时，得出，结合，即可判断③． 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 当时，与其对应的函数值， ，， 函数图象的顶点在第四象限内；故①正确： ②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， 当时，与其对应的函数值， ，即， ． 对称轴为直线，二次函数的图象过点，， ，当时，， ， ． ， ③错误． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若要使代数式有意义，则x的取值范围是 ___． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】根据分母不等于零，二次根式的被开方数大于等于零求解即可． 详解】∵代数式有意义， ∴解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，分式有意义的条件：分母不等于零． 12. 代数式与代数式的值互为相反数，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 13. 已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，，联立解方程，即可求解． 【详解】， 化简，得， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ，， 故点的坐标为， 故答案为． 14. 观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 15. 如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点， ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）方程组解为 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组； （1）根据化简绝对值，零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）原式 （2） 得：，则，所以 所以方程组解为 17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长. 【答案】CD=a 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a. 【详解】解： ∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=30° ∵CD是腰AB上的高 AB=AC=2a ∴AC=2CD ∴CD=a 【点睛】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形. 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直线与轴交于点，点为轴上一个动点，若，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把点代入，得，进而求得点的坐标为，待定系数法求求一次函数解析式即可求解； （2）设点的坐标为，连接，，则点，根据列出方程，即可求解． 小问1详解】 把点代入，得， 反比例函数的表达式为，点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 设点的坐标为，连接，，则点， ， ， ， ，解得，， 点的坐标为或. 19. 某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： ××学校学生参与家务劳动情况调查报告 调查 主题 ××学校学生参与家务劳动情况 调查 方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据 的收 集、 整理 与描 述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） .天天参与； .经常参与； .偶尔参与； .几乎不参与. 第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） .扫地抹桌； .厨房帮厨； .整理房间； .洗晒衣服. 第三项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）参与本次抽样调查的学生有______人； （2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数； （3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数； （4）小明和小亮都从“天天参与”“经常参与”“偶尔参与”三个选项中选择了一种，求出两人选择同一种的概率． 【答案】（1）200 （2）“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为 （3）估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494 （4）两人选择同一种的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体和扇形的圆心角度数． （1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数； （2）用天天参与”的占比乘以即可； （3）用乘以“整理房间”的人数所占的百分比即可； （4）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 （1）根据题意得， 所以参与本次抽样调查的学生有200人； 故答案为200； 【小问2详解】 ， 所以“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）， 所以估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494； 【小问4详解】 把“天天参与”“经常参与”“偶尔参与”三个选项分别用表示，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种的结果有种， ∴小明和小亮两人恰好选择同一种的概率为 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 某商品现在的售价为每件元，进价为每件元，每星期可卖出件；市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件． 若调整后的售价为元（为正整数），每星期销售的数量为件，求与的函数关系； 设每星期的利润为元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润； 为了使每周利润不少于元，求售价的范围． 【答案】(1) (2)元时利润最大，最大值为元 (3) 【解析】 【分析】（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系． （2）设每星期所获利润为W，根据一星期利润等于每件的利润×销售量得到W与x的关系式；把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案； （3）分别根据60≤x≤90、40≤x≤60两种情况，求出每周利润不少于6000元时x的范围即可得． 【详解】根据题意得：涨价时，， 降价时，， 整理得：； 当涨价时， ， 当时，的最大值是， 当降价时， ， 所以定价为：（元）时利润最大，最大值为元． 综合以上两种情况，定价为元时可获得最大利润为元； 当时，， 解得：或， ∴； 当时，， 解得：或， ∴， 综上，为了使每周利润不少于元，售价的范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用能力，理解题意分类讨论是解题的前提，找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键． 22. 已知锐角内接于于点于点，交于点，交于点，连结． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连结，若． ①探究与的数量关系； ②如图3，连结，在上取点，使得，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，可得，则，，，进而结论得证； （2）①如图2，连接，证明，则，由勾股定理得，，证明，则；②由①可知，，，则，如图3，作于，，由可得，证明，则，求得，由勾股定理得，，即，求出满足要求的，，则，，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 ①解：如图2，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， 则， 如图3，作于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，整理得，， 由勾股定理得，，即，整理得，， ∴， ∴，， 解得，，（舍去），，（舍去）， 当，， 当，，（不满足，舍去）； ∴，，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． （1）求点，的坐标； （2）四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； （3）若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）四边形不能是一个菱形．理由见解析 （3）长的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 小问1详解】 解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． 【小问3详解】 ， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$