模拟测试卷05-【中考冲刺】2024年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用）

【中考冲刺】2024年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用） 模拟测试卷05 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面四个数中，比小的数是（    ） A． B．2 C．0 D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（    ） A． B． C． D． 4．如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（    ） A．1月平均气温在以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．点在该函数图象上 B．当且时， C．该函数图象与x轴一定没有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．要使二次根式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 8．为顺利实现“三高四新 ”美好蓝图，加快推进高质量发展，湖南省委决定在全省开展解 放思想大讨论活动．为充分凝聚全省广大干部群众及关心湖南发展的社会各界人士的智 慧，特从 2 月 19 日起面向社会开展“献策湖南 ”金点子征集活动．据统计，至今已收到金点子万条，将万用科学记数法表示应为 ． 9．如图，，点E，F分别在直线，上，，，则的度数为 ．    10．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 11．在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 12．如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：． （2）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落作边上，点C的对应点为点E，连接，求的度数． 14．先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 15．某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． (1)填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） (2)请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 16．如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ． 17．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 19．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离． (1)求盲区中的长度； (2)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． （参考数据：，，，） 20．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从九年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 九年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 九、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 55.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校九、八年级共640名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．如图，点O是的边上的点，，点E是上的点，与边，分别相交于点D，F，点E在边上且． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 22．【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．已知抛物线的解析式：． (1)若抛物线经过原点． ①　　　　； ②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为　　　　； (2)在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式； (3)设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【中考冲刺】2024年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用） 模拟测试卷05 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面四个数中，比小的数是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是， 故选A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键． 3．小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 故选：A． 4．如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（    ） A．1月平均气温在以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图，频数分布直方图，根据统计图所给的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可得，1月平均气温在以下，降水量少，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可得，从4月到10月，气温先升高，后降低，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可得，7月份以后，降水量先增加，再逐渐减少，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可得，冬冷夏热，7、8月份的降水较多，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 则， 故选：A． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．点在该函数图象上 B．当且时， C．该函数图象与x轴一定没有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．把代入该函数解析式即可判断A；当时求出该函数解析式，求出该函数图象的对称轴和顶点，由函数的性质可以判断B；根据可以判断C；求出该函数的对称轴即可判断D． 【详解】解：当时，， 而不一定等于， ∴点不一定在该函数图象上， 故A错误，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为15， ∴当时，， 故B错误，不符合题意； ， ∵， ∴该函数图象与x轴一定有交点， 故C错误，不符合题意； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧， 故D正确，符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．要使二次根式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 8．为顺利实现“三高四新 ”美好蓝图，加快推进高质量发展，湖南省委决定在全省开展解 放思想大讨论活动．为充分凝聚全省广大干部群众及关心湖南发展的社会各界人士的智 慧，特从 2 月 19 日起面向社会开展“献策湖南 ”金点子征集活动．据统计，至今已收到金点子万条，将万用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 9．如图，，点E，F分别在直线，上，，，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质求的度数，根据角的和差求的度数即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意：，则把原式展开最后整体代入求值即可． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ； 故答案为：． 11．在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，再由线段中点的定义得到，由，得到等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 由作图方法可知， ∵， ∴等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和， ∴ ， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为 ． 【答案】或3或 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解决本题的关键． ①时，则，，再运用勾股定理即可求解；②时，可得，由，得到，再证明即可求解；③，可得，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，如图： ∵E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得：； ②当时，连接，如图： ∵E、F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ③当时，连接，如图： 同②可得， 则在中，由勾股定理得：， ∴， 综上，线段的长为或3或． 故答案为：或3或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：． （2）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落作边上，点C的对应点为点E，连接，求的度数． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数混合运算，负指数幂，零指数幂，掌握相关运算和确定旋转角是解题关键． （1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行有理数混合计算即即可． （2）由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】解：（1） ； （2），， ， 是由旋转得到， ，，， ， ． 14．先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 15．某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． (1)填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） (2)请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．理解随机事件的定义，掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可判断； （2）画出树状图或者表格，可知一共有9种等可能的结果，小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有5种，利用概率公式即可得解． 【详解】（1）因为是随机抽取，则抽中的结果是随机的，小聪可能抽到《数学大爆炸》，也可能抽不到，故是随机事件． 故答案为：随机； （2）设A表示《生活中的数学》，B表示《数学家的故事》，C表示《奇妙数世界》，则用列表法列举如下： 小华         小聪 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 由表可知总的情况有9种，都是等可能性的，其中小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有：CA，CB，AC，BC，CC，共5种情况， 小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为：． 答：小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为． 16．如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查用无刻度直尺作图，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质． （1）连接交于，由四边形为矩形，是其对角线的交点，则点即为所求； （2）连接交于点，由得，故，即，所以点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接交于，则点即为所求， 四边形为矩形，是其对角线的交点 ； （2）如图，连接交于点，则点即为所求， ． 17．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，可求，则，将代入，可求； （2）如图，作轴于，证明，则，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴，； （2）解：如图，作轴于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的正切值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)商场节后每千克A粽子的进价是10元； (2)商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 19．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离． (1)求盲区中的长度； (2)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． （参考数据：，，，） 【答案】(1)2.8米 (2)驾驶员不能观察到物体，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）首先证明边形为矩形，求出，即可解决问题； （2）直接利用解直角三角形的知识即可求得结果． 【详解】（1）解：在中，（米）． 根据图形，易得四边形为矩形， 所以米． 在中，（米）； 所以盲区中的长度为2.8米． （2）驾驶员不能观察到该物体．理由如下： 过点作交于点． ∵，， ∴． 在中，（米）． 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 20．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从九年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 九年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 九、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 55.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校九、八年级共640名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】(1)87.5，86，40 (2)八年级成绩较好，详见解析 (3)估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据扇形信息，用分别乘上组、组的占比，得出组2人，组3人，结合中位数、众数的定义进行作答即可． （2）运用中位数进行作决策，即可作答． （3）用640乘上本次调查的（90分及以上）的比值，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可知，八年级组有：（人）， 组有：（人）， ∵把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88， 故中位数； ∵在被抽取的九年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多， 故众数； ， 故． 故答案为：87.5，86，40； （2）解：八年级成绩较好， 理由：因为八年级学生成绩的中位数比九年级的高，所以八年级成绩较好； （3）解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．如图，点O是的边上的点，，点E是上的点，与边，分别相交于点D，F，点E在边上且． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由是的直径，得，由，根据垂径定理可得垂直平分，再结合平行线的性质和判定即可证明； （2）设，则，根据，，可推出，再利用，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴为的切线． （2）设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AF的长是． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 22．【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， ， 又， ，即， ， 故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．已知抛物线的解析式：． (1)若抛物线经过原点． ①　　　　； ②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为　　　　； (2)在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式； (3)设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)抛物线的解析式为 (3) 【分析】（1）①将代入，求出a即可；②根据题意写出抛物线的顶点坐标，平移后的顶点坐标即为的顶点坐标，根据的顶点坐标写出解析式． （2）根据条件求出和的长度，依题意设平移后的抛物线的解析式为，用m表示出抛物线与轴交点，之间的距离，从而建立方程求出m的值，即可得解． （3）依题意抛物线的顶点的坐标为，根据题意画出抛物线的两种临界情况，分别求出a，从而得到a的范围． 【详解】（1）解：①抛物线经过原点， 将代入， 得到， ， 故答案为：； ②由①得抛物线解析式为， 抛物线的顶点为， 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线， 抛物线的顶点为， 抛物线的解析式为， 故答案为：． （2）解：抛物线与轴交于，两点， 令， 解得或2， ， ， 抛物线的顶点在直线上，将抛物线沿直线平移得到抛物线， 设抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 令，整理为， 设，为的两个解， 则，， 抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （3）解：依题意抛物线解析式为， 点， 当围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，如图，由抛物线的对称性可知，抛物线有和两种临界情况， 当抛物线在处时，由（1）可知， 当抛物线在处时，抛物线经过点，代入，解得， 综上所述，当围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题等，解题关键是根据题意画出相应图象，运用数形结合思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$