专项突破一 二次根式中的运算-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（人教版）

专项突破一二次根式中的运算 请利用你所发现的规律，解决下列问题： 1 (1)第5个算式为 1345732m+w2n为正 曼型一二次根式中的规律探究是 (2》求新+场+++四-2024的直： 较数) L,阅读下列解想过四： 第1个等式及 …同 ■ (+1的 第2个等马哥 第3个等名品-… (1)按厘陈所发现的观律，请你写出第4个等式： (2)按题你所发现的规律，请你可出第(n为止整数)个等 式 (3)利用这一规作十算： 0x号6x 玉在进行二次根式运算时，我们有时会险到形如二.乏。· 4两个含有二次悬式的代数式相果，如果它们的积不含有二 5'√3'+ 次根式，我打就说这两个代数式互为有理化因式，例如示与 的式子，其实我们还可以将北进一步化福： va.2+1与2-l 2.2×323 55×g0 (1)请你再写出再个二次根式.使它们互为有现化国 式： 丽a 这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，柔用分 子，分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了，创 1=12-1) 2-1=2-1:8 21（,2+1)x(2-1》(2)3- 如：g.2x.5正.245》 5"3xw33'3-3“(3-3)x3+3) 以上这种化箭的步课叫做分母有理化，。 还可以用以下 32+632+6 2+1 9-3 6 2观黎下列各式： 方法化简： (2)请仿具上面给出的方法化简下列答式： 第1个第试两高 121-2)20k(2-卫-2-1④ m22 212+121 2 3+22 117 第2个算式宁写石1*网 (1》请参厘方法④化简 745 21-(40) 1后 1下B 第3个第式学位1"网… a悬人泰 (3E知a= =群W7的值为 5-25+2 全程复习木考春·数学·凡师烦下制 曼型二二次根式中的阅读材料题 (1》求△ABC的面积： 然请阅读下列材料： 5在学习完匀股定理这一章后，小梦和小爵进行了如下对酥 (2)过点A作AD⊥C,垂是为D,求线假AD的长 月通：已知5+2，求代最式之--7的生 不梦：知果→个三角形的三边长，，满足云+甘=2，那 小明的微读是根播x=v5+2,异(x-2)=3,x-4r+4=5, 我们称这个三角形为~类匀股三角形”，例如A4C的三边 于-4y=1.北-w传为整体代入，得x-4-7=1-7=-6,即 长分别为2,6,2因为(2)+(6)22×2，所以△4 把已知条件适当变形，弄整体代入解决问鹅 是~类幻股三角彩” 伤帮上述方法解决问题： 个鹅：排等边三角形一定晶“类取三角形“目 (1)已知=1D-3.求代数式26r-8的值： 根据对话问答问题： (1)判斯：小璃的说法 〔填“正确”或情误”)： (2E短-3-1 ，零代数式2的值 (2)已知△4C的其中再边长分别为1,7，若△4C为”类 匀最三角形”，则另一边长为： (3)如果：△A是类勾量三角影”，它的三边长分料为 ,y,(x)为直角边长且c灯，：为斜边长)，月只合有x 7.侧读下列例题. 的式子表示其周长和面机 在零习二次根式值晴时，表的知道(va》-叫阳≥0)， 侧道：求，3-3+v3+5的植 解：设、3-5345，两边平方 得2=(w3-3+V3+5)2=（3-3)2+{w3+5)2+ 2x(w3-5)×(√3+，53.p2=3-5++v5+4=10 4=y0 w3-5+w3+50v35h/3+5=w⑥. 请利用上述方法，求4-√7一4,7的值 6阅读材料： 如一个立角移的生边长分别为a,6c,记" 么这个三麝形的面积为5■√(-的)这个公式 叫”海格会无”，它是羽用三角形的三备边的边长直接求三角 形否制的公式，中国秦九解也得由了是标内公式，释三斜 和术，数速个公式又做非为”海伦一秦九招公式 解答下列问思 如图.在△C中.a=7,6=5.r=6 鲁人泰斗 全程复习大考程卡数学·八年短下超意;若遗漏的数据为 7,则中位数为8 +8 2 = 8,众数为 9,不 符合题意;若遗漏的数据为 6,则中位数为8 +8 2 = 8,众数 为 9,不符合题意. 综上所述,这 10 名学生成绩的中位 数是 8. 故选 C. 8. C　 【解析】∵ 中位数是将数据按照大小顺序重新排列 后处在中间位置的数,代表了这组数据值大小的“中 点”,不受极端值影响,∴ 将最高成绩写得更快了,计算 结果不受影响的是中位数. 故选 C. 9. A　 【解析】∵ 小亮的成绩和其他 49 人的平均分相同, 都是 90 分,∴ 该班 50 人的测试成绩的平均分为 90 分, 方差变小. 故选 A. 10. B　 【解析】当星期三志愿者人数为 16 时,这五天志愿 者人数从小到大排列为 16,16,20,22,26,平均数为 16+16+20+22+26 5 = 20,中位数为 20;当星期三志愿者 人数为 21 时,这五天志愿者人数从小到大排列为 16, 20,21,22,26,平均数为16 +20+21+22+26 5 = 21,中位数 为 21. 此时平均数增加了 1,中位数增加了 1. 故选 B. 11. 方差 12. 24　 【解析】∵ s2 = 1 4 [( x1 -6) 2 +( x2 -6) 2 +( x3 -6) 2 + (x4 -6) 2],∴ 这组数据的平均数是 6,数据个数是 4. ∴ 这组数据的总和为 4×6 = 24. 13. 0. 4　 【解析】∵ 数据 4,5,6,a,b 的平均数为 5,∴ 4+ 5+6+a+b = 25,即 a+b = 10. ∵ 这组数据的众数为 5, ∴ a= b= 5. ∴ 这组数据为 4,5,5,5,6. ∴ 这组数据的方 差为 1 5 ×[(4-5) 2 +3×(5-5) 2 +(6-5) 2] = 0. 4. 14. 13. 8　 【解析】∵ 前 4 个数的平均数为 12,后 6 个数的 平均数为 15,∴ 前 4 个数的和为 4×12 = 48,后 6 个数 的和为 6×15 = 90. ∴ 这组数的平均数为48 +90 4+6 = 13. 8. 15. 92. 2　 【解析】小亮的综合成绩为 88×50% +98×40% + 90×10% = 92. 2(分) . 16. 26　 【解析】∵ 数据 x1,x2,x3 的平均数是 15,∴ 数据 2x1 -4,2x2 -4,2x3 -4 的平均数是 2×15-4 = 26. 17.解:(1)本次共调查的学生人数为 8÷16% = 50,m= 50× 44% = 22. 故答案为 50,22. (2)由统计表可知,每天收看新闻时间的中位数是 3. 5,众数是 3. 5. 故答案为 3. 5,3. 5. (3)500×10 +22+4 50 = 360(人), 答:估计假期期间每天收看新闻的时间为 3 h(含)以 上的有 360 人. 18.解:(1)抽取的员工有 1+1+1+2+4+1+8+2 = 20(人), 样本的平均数为(20 000 + 18 000 + 8 000 + 5 000 × 2+ 4 500×4+3 400+3 000×8+2 000×2) ÷20 = 5 270(元), 将这 20 名员工的月收入从小到大排列,处在中间位置 的两个数的平均数为(3 400+3 000) ÷2 = 3 200,因此 样本的中位数是 3 200. (2)甲:由样本平均数为 5 270,估计全体员工的月平 均收入大约为 5 270 元, 乙:由样本中位数为 3 200,估计全体员工大约有一半 的员工月收入超过 3 200 元,有一半的员工月收入不 足 3 200 元. (3)乙的推断比较科学合理,能真实反映公司全体员 工的月收入水平. 由题意,知样本中的 20 名员工,只有 3 名员工的月收 入在 5 270 元以上,原因是该样本数据极差较大,所以 平均数不能真实反映公司全体员工的月收入水平. 19.解:(1)由图知,八年级(1)班竞赛成绩为 80,80,80, 90,100,八年级(2)班成绩为 70,80,85,95,100. ∴ 八年级(1)班竞赛成绩的众数为 80,八年级(2)班 竞赛成绩的中位数为 85. (2)八年级(1)班竞赛成绩的平均数为80 +80+80+90+100 5 =86, 八年级(2)班竞赛成绩的平均数为70 +80+85+95+100 5 = 86; 八年级(1)班竞赛成绩的方差为 1 5 ×[3×(80 - 86) 2 + (90-86) 2 +(100-86) 2] = 64, 八年级(2)班竞赛成绩的方差为 1 5 ×[(70-86) 2 +(80- 86) 2 +(85-86) 2 +(95-86) 2 +(100-86) 2] = 114. ∵ 64<114,∴ 八年级(1)班的成绩较为整齐. 20.解:(1)∵ 七年级 20 名学生的测试成绩中,7 出现的次 数最多,∴ a= 7. 由条形统计图可得,b= (7+8) ÷2 = 7. 5. (2)1 200×18 +18 20+20 = 1 080(人) . 答:估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是 1 080. (3)八年级学生掌握垃圾分类知识较好. 理由如下: ∵ 七、八年级学生测试成绩的平均数都是 7. 5,但是八 年级学生测试成绩的中位数 7. 5 比七年级学生测试成 绩的中位数 7 大;八年级学生测试成绩的众数 8 比七 年级学生测试成绩的众数 7 大, ∴ 八年级学生掌握垃圾分类知识较好. (合理即可) 21. 解:( 1) 影片甲单日票房从小到大排列如下:3. 69, 3. 70,3. 92,3. 99,4. 32,4. 33, ∴ 处在中间的两个数为 3. 92,3. 99. ∴ 1 月 22 日~27 日六天的时间内,影片甲单日票房的 中位数为(3. 92+3. 99) ÷2 = 3. 955. 故答案为 3. 955. (2) 1 6 ×(4. 36+3. 40+3. 24+3. 14+2. 95+2. 73)≈ 3. 30(亿元) . ∴ 1 月 22 日~ 27 日六天的时间内影片乙的平均日票 房约为 3. 30 亿元. (3)①影片甲的单日票房并未逐日增加,在 23 日、26 日、 27 日有所下降,故结论①说法错误; ②影片乙的单日票房逐日减少,故结论②说法正确; ③影片甲的单日票房图象比影片乙平缓,所以影片甲 单日票房的方差小于影片乙单日票房的方差,故结论 ③说法正确; ④前六天的单日票房统计中,影片甲单日票房和影片 乙单日票房之间的差值分别为 22 日:4. 36-3. 70 = 0. 66;23 日:3. 69-3. 40 = 0. 29; 24 日:3. 99-3. 24 = 0. 75;25 日:4. 33-3. 14 = 1. 19; 26 日:4. 32-2. 95 = 1. 37;27 日:3. 92-2. 73 = 1. 19. 所以在前六天的单日票房统计中,影片甲单日票房和 影片乙单日票房之间的差值在 1 月 26 日达到最大,故 结论④说法正确. 故答案为②③④. 22.解:(1)小冬各场得分由大到小排列为 13,10,10,9,8, 所以中位数为 10. 小夏各场得分中,出现次数最多的是 2,∴ 众数是 2. 故 答案为 10;2. (2)教练的理由是小冬与小夏的平均得分相同,小冬 的方差小于小夏的方差,即小冬的得分稳定,能正常 发挥. (3)再比一场,小冬的得分情况从大到小排列为 16, 13,10,10,9,8. 平均数为 1 6 × ( 16 + 10 × 5) = 11;中位数为 10;众数 为 10; 方差为 s2 = 1 6 ×[(16-11)2 +(13-11)2 +2×(10-11)2 + (9-11) 2 +(8-11) 2]≈7. 33. 所以中位数、众数不变,平均数、方差发生了改变,改 变后平均数变大,方差变大. 专项突破一　 二次根式中的运算 1.解:(1) 1- 9 25 = 16 25 = ( 45 ) 2 = 4 5 (2) 1- 2n +1 (n+1) 2 = n 2 (n+1) 2 = n n+1 (3)原式 = 1- 3 4 × 1- 5 9 × 1- 7 16 × … × 1- 21 121 = 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…×10 11 = 1 11 . 2.解:(1)x5 = 1+ 1 52 + 1 62 = 31 30 = 1+ 1 5×6 (2)原式= 1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 +…+1+ 1 2 023×2 024 -2 024 = 2 023+ ( 11×2+ 1 2×3 +…+ 1 2 023×2 024 ) -2 024 = 2 023+ ( 1- 12 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 2 023 - 1 2 024 ) -2 024 = 2 023+ ( 1- 12 024 ) -2 024 = - 1 2 024 . (3)原式= 1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 +…+1+ 1 n(n+1) =n+ ( 1- 12 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 ) =n+ ( 1- 1n+1 ) =n 2 +2n n+1 . 3.解:(1) 2 7+ 5 = 7-5 7+ 5 =( 7) 2-( 5)2 7+ 5 =( 7+ 5)×( 7- 5) 7+ 5 = 7 - 5 . (2)原式= 5 6 ( 6 ) 2 + 3×2 2×2 = 5 6 6 + 6 2 = 4 6 3 . (3)原式= 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +…+ 2n +1 - 2n-1 2 = 2n+1 -1 2 . 4.解:(1)3- 11与 3+ 11 (答案不唯一) (2)①原式 = (3 -2 2)2 (3+2 2)×(3-2 2) = 9-12 2 +8 9-8 = 17-12 2 . 故答案为 17-12 2 . ②原式= (1 -b)(1+ b ) (1- b )(1+ b ) = (1-b)(1+ b ) 1-b = 1+ b . 故答案为 1+ b . (3)∵ a= 1 5 -2 = 5 +2,b= 1 5 +2 = 5 -2, ∴ a+b= 5 +2+ 5 -2 = 2 5 ,ab= ( 5 +2) ×( 5 -2)= 1. ∴ a2 +b2 +7 = (a+b) 2 -2ab+7 = (2 5 ) 2 -2×1+7 = 20-2+7 = 25 = 5. 故答案为 5. 5.解:(1)设等边三角形的三边长分别为 a,b,c,则 a=b=c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 60·　 　 　 全程复习大考卷·数学·八年级下册 全程复习大考卷·数学·八年级下册　 　 　 ·61　 · ∵ a2 +b2 = 2c2 . ∴ 等边三角形是“类勾股三角形” . ∴ 小璐的说法正确. 故答案为正确. (2)设另一边长为 x. ①12 +( 7 ) 2 = 2x2,解得 x = 2,符合 题意;②12 +x2 = 2( 7 ) 2,解得 x = 13 ,符合题意;③x2 + ( 7 ) 2 = 2×12,无解. 故答案为 2 或 13 . (3)∵ Rt△ABC 是“类勾股三角形”且 x<y,z 为斜边长, ∴ x2 +z2 = 2y2 . 由勾股定理,得 x2 +y2 = z2 . 整理,得 x2 +x2 +y2 = 2y2,即 2x2 = y2 . ∴ y= 2 x. ∴ z2 = 3x2 . ∴ z= 3 x. ∴ Rt△ABC 的周长为 x+y+z= (1+ 2 + 3 )x, Rt△ABC 的面积为 1 2 xy= 1 2 x· 2 x= 2 2 x2 . 6.解:(1)∵ a= 7,b= 5,c= 6,∴ p= 7 +5+6 2 = 9. ∴ S△ABC = 9×(9-7) ×(9-5) ×(9-6) = 6 6 . (2)如图,∵ S△ABC = 1 2 BC·AD, ∴ 1 2 ×7×AD= 6 6 . ∴ AD= 12 6 7 . 7.解:设 x= 4- 7 - 4+ 7 , 两边平方, 得 x2 = ( 4- 7 - 4+ 7 ) 2 = 4 - 7 - 2×( 4- 7 ) ×( 4+ 7 ) +4+ 7 = 8-6 = 2. ∴ x= ± 2 . ∵ 4- 7 - 4+ 7 <0, ∴ 4- 7 - 4+ 7 = - 2 . 8.解:(1)∵ x= 10 -3,∴ x+3 = 10 . 上式两边平方,得(x+3) 2 = 10,即 x2 +6x+9 = 10. ∴ x2 +6x= 1. ∴ x2 +6x-8 = 1-8 = -7. (2)∵ x= 5 -1 2 ,∴ 2x= 5 -1. ∴ 2x+1 = 5 . 上式两边平方,得(2x+1) 2 = 5,即 4x2 +4x+1 = 5. ∴ 4x2 +4x= 4,即 x2 +x= 1. ∴ x3 +2x2 = x3 +x2 +x2 = x(x2 +x) +x2 = x×1+x2 = x+x2 = 1. 专项突破二　 勾股定理中的最短路径与折叠问题 1. B　 【解析】如图 1,把前面和上面的长方形展开成一个 平面,则这个长方形的长和宽分别是 6 和 3,则所走的 最短路程是 62 +32 = 3 5 ;如图 2,把左面和上面的长 方形展开成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是 7 和 2,则所走的最短路程是 72 +22 = 53 ;如图 3,把前 面和右面的长方形展开成一个平面,则这个长方形的 长和宽分别是 5 和 4,则所走的最短路程是 52 +42 = 41 . 所以它爬行的最短路程是 41 . 故选 B. 图 1 　 图 2 　 图 3 2. D　 【解析】将三棱镜沿 AA′展开,其展开图如图,则这圈 金属丝的长度最小为 AA′的长度,则 AA′= 92 +(4×3)2 = 15(cm) . 故选 D. 3. A　 【解析】如图,将正方体盒子展 开,连接 AM. ∵ BC 的中点为 M, ∴ MC= 1 2 BC= 1. 根据两点之间线段 最短,可得蚂蚁从点 A 爬行到点 M 的最短距离为 AM = 22 +(1+2)2 = 13 . 故选 A. 4. 25　 【解析】如图,三级台阶的平面 展开图为长方形,其长为 20 dm,宽 为[(2+3) ×3]dm,则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 B 的最短路程是此长方 形的对角线长. 可设蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最 短路程为 x dm. 由勾股定理,得 x2 = 202 +[(2+3) ×3] 2 = 252,解得 x= 25. 5. 10　 【解析】如图,将长方体展开,连 接 AB′. ∵ AA′ = 1+3+1 + 3 = 8( cm), A′B′= 6 cm,∴ 根据两点之间线段最 短,得所用细线最短为 AB′= 82 +62 = 10(cm) . 6. 20　 【解析】如图,将玻璃杯侧面展开, 作点 A 关于 EF 的对称点 A′,过点 A′作 A′D⊥BE,交 BE 的延长线于点 D,连接 A′B,则 A′B 即为蚂蚁从外壁 A 处到内 壁 B 处的最短距离,由题意,得 A′D= 16 cm,BE = 9 cm, A′F=AF=DE= 3 cm. ∴ A′B= A′D2 +BD2 = 162 +122 = 20(cm) . 7. A　 【解析】如图,连接 CP,CE,CE 交 BD 于点 P′. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ 对角线 BD 所在的直线是其一条 对称轴. ∴ CP = AP. ∴ AP+ PE = CP + PE. ∴ 当 C,P,E 三点在一条直线上时,AP+PE 最短,即 为 CE 的长. ∵ BC=AB= 4,E 是边 AB 的中点,∴ BE = 2. ∴ CE= BC2 +BE2 = 42 +22 = 2 5 . 故选 A. 8. D　 【解析】设△PAB 的边 AB 上的高 为 h. ∵ S△PAB = 1 3 S矩形ABCD,∴ 1 2 AB·h = 1 3 AB·AD,即 h= 2 3 AD. ∵ AD= 6, ∴ h= 4. 如图,分别在 AD,BC 上取点 E,F,使 AE =BF = 4,连接 EF,则 P 是直线 EF 上的一个动点,延长 AD 到 点 A′,使 A′E = AE = 4,连接 A′B,A′P,A′B 交 EF 于点 P′. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 四边形 ABEF 是矩形. ∴ PE⊥AA′. ∴ 点 A,A′关于 EF 对称,AA′ = 2AE = 8. ∴ PA′=PA. ∴ PA+PB=PA′+PB≥A′B. ∴ PA+PB 的最小 值为 A′ B 的长. 在 Rt△A′BA 中, A′ B = AB2 +A′A2 = 102 +82 = 2 41 . 故选 D. 9. D　 【解析】如图,过点 A 作 AE∥BC,作点 C 关于直线 AE 的对称点 C′,连接 CC′交 AE 于点 E,连接 BC′,交 EA 的延长线于点 A′,连接 AC′. ∴ ∠BCC′ = 90°,CE = C′E. ∴ AE 为 CC′的垂直平分线. ∴ AC = AC′. ∵ DC= 5BD= 5,∴ BD = 1,CD = 5. ∴ BC = 6. ∵ S△ADC = 10,即 1 2 CD·CE = 10,∴ 5×CE = 20. 解得 CE = C′E = 4. ∴ CC′= 8. 要使△ABC 周长最小,则需点 B,A′,C′共线. 由 勾 股 定 理, 得 BC′ = BC2 +C′C2 = 62 +82 = 10. ∴ △ABC 周长的最小值为 BC′+BC= 16. 故选 D. 10. C　 【解析】如图,作点 B 关于直线 DF 的对称点 G,过点 G 作 GC⊥AD 于点 C,交 DF 于点 E,连接 DG. 此 时 BE+CE 的值最小,且最小值为 CG 的长度. ∴ DG = DB= 6,∠BDG= 2∠ADF= 45°. ∵ ∠GCD= 90°,∴ ∠CGD = ∠BDG= 45°. ∴ CG = CD. ∵ CG2 +CD2 = DG2,∴ 2CG2 = 36. ∴ CG= 3 2 ,即 BE+EC 的最小值为 3 2 . 故选 C. 11.解:(1)如图,作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A′,连接 A′B 交 l 于点 P,则点 P 为水泵站的位置,此 时,PA+PB 的长度最短,即所用水管最短. (2)如图,过点 B 作 l 的垂线,过点 A′作 l 的平行线 A′C,设这两条直线交于点 C,则∠C= 90°. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,连接 AB, 则 BE= 7-2 = 5(km),AB= 13 km. ∴ AE2 =AB2 -BE2 = 132 -52 = 144. ∴ AE= 12 km. ∴ A′C=AE= 12 km. 在△BA′C 中,∵ BC= 7+2 = 9(km),A′C= 12 km, ∴ A′B2 =A′C2 +BC2 = 122 +92 = 225. ∴ A′B= 15 km. ∵ PA=PA′,∴ PA+PB=PA′+PB=A′B= 15 km. ∴ 水管最短为 15 km. ∴ 4 500×15 = 67 500(元) . ∴ 最节省铺设水管的费用为 67 500 元. 12.解:(1)∵ 点 A(1,-2),B(4,-2),C( -2,1), ∴ △ABC 的面积为 1 2 ×(4-1) ×(1+2)= 9 2 . ∵ 点 A(1,-2),B(4,-2)关于直线 l 对称, ∴ 直线 l 为 x= 5 2 . ∴ 点 C 关于直线 l 的对称点 C′的坐标为(7,1) . 故答案为 9 2 ,(7,1) . (2)如图,作直线 x= 5 2 ,作点 C′(7,1),连接 AC′,交直 线 x= 5 2 于点 P,连接 PB. ∵ 点 A,B 关于直线 l 对称, P 为直线 l 上一点, ∴ PA =PB. ∴ PB+PC′=PA+PC′≥AC′. ∴ PB+PC′的最小值为 AC′ 的长. ∵ 点 A(1,-2),C′(7,1), ∴ AC′= (1-7) 2 +( -2-1) 2 = 3 5 ,即 PB+PC′的最小 值为 3 5 . 13. B　 【解析】由折叠的性质可得 AF = CF. 设 BF =m,则 AF = CF = 8 -m. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABF = 90°. 在 Rt△ABF 中,AB= 4,BF =m,AF = 8-m,∴ AF2 = AB2 +BF2,即(8-m) 2 = 42 +m2 . ∴ m= 3. 故选 B. 14. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∠A = 90°, AD∥BC. 在 Rt △ABD 中,BD = AB2 +AD2 = 62 +82 = 10. 由折叠,得∠CBD = ∠C′BD. ∵ AD∥ BC,∴ ∠EDB= ∠CBD. ∴ ∠EDB= ∠C′BD,即∠EDB = ∠EBD. ∴ DE=BE. 设 AE= x,则 BE =DE = AD-AE = 8- x. 在 Rt△ABE 中,AE2 +AB2 = BE2,∴ x2 +62 = (8-x) 2 . 解得 x= 7 4 . ∴ AE = 7 4 ,DE = 25 4 . 如图,过点 E 作 EF⊥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋