专项突破二 勾股定理中的最短路径与折叠问题-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（人教版）

专项突破二 勾股定理中的最短 6.如图，图柱形装璃杯高为14：m,底而周长为32m,在杯内 11.知图，要在河边馨一个水泵站，分别向A,B两甘送水，已知 路径与折叠问题 量离杯张5m的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚓蚊正好在 A,昼两村判江边的苑责分别为2Am和7Am,且A,B雨甘 杯外量，离杯上沿3m与蜂蜜相对的点A处，期蚂蚊从外壁 相E131m 最短路径问题 A处到内度拿处的最短距离为 m《杯装厚度 《1》水系站应修建在何处，可使所用水管量短，请在周中设 黄型一平血展开问助 不计) 计出水系站P的位置： 1.如图.长方体的长为3，宽为2，高为4，一只与蚁从点4出 (2)若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使地设水管 发.沿长方体表山到点B处吃食物，郑么它爬行的最复路 贵用最节容.请求出最节者销设水管的费用为多少元 程是 A.2可 .41 C./45 D.w53 类型二轴时移问题 7,1图.已知正方形AD的边长为4,5是边4错的中点，严是 对角线D上的动点，用AP+PE的是小值为 425 k23 C32 D,35 第1题图 第2题 第3凝国 2某校”光学节“的纪念品是一个思面为等边三角形的三棱 镜，如图.在：三棱镜的侧而上，从顶点A到顶点座有一国 金属丝，已知此三楼镜的高为9m,底面边长为4m,解这 圈金属绘的长发至少为 第T随图 第器憩图 12.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,-2),(4,-2)关于直 A.8 em B.10 ou C.12m 0.15em 8如图，在距形AcD中，除=10，AB=6,功点P满足5m三 线对称.点G的坐标是(-2，)，点C关于直线的对称 3知图.正方体食子的棱长为2.C的中点为。一具蚂蚁从 式…喇点户到A,B两点的耀离之和A+阳的最小 点为点G 点A爬行到点M的量短距离为 《1》△AC的面积等于 ,点G的坐标为： 值为 A.13 B.7 C.s D.2+,5 《2)在直线1上找一点P,使得PB+P是，求PB+P的 A.3√29 k2/34 D.2、4 4如图是一个三极台阶，它的每线的长，宽.高分别为， 最小值 3,2血，A程非是这个台阶上两个相对的喇点，点A处有 .如图，在A4BC中，D是C边上的一点.DC=5D=5,且 一具妈蚁，思到点B处去吃可口的☆物，媒妈蚊沿着台阶面 △A0C的面积为10.期△AC周长的最个值是() A.10 2 C14 D.16 行到点B的最短路程为 第9题图 第10期丽 落4期阳 第5题图 10.知图，在∠ADF的边上有=点，DB=香，∠A0F=225 元图.长方体的底面边长分别为1cm和3■，高为6m如 点，C分别是边DF和上的动点，则E+C的最小值是 果用一根铜线从点A开始过4个制面物饶一图到达点多， 么所月用线最短需要 三 A62 7北6 12D.3 全程复习大考春·数学·凡师顿下制 桥叠同稻 17.知图，在正方形ABD中，￡是边AB的中点，将△CE酒 2L.知图1，在△AC中，∠ACB=0r,C=3,B=4,P为斜边 炎型一四边形中的折叠问题 GE剧折得到△E,延长G交AD于点H,连接 AR上的一动点（不与端点A,B重合》，以(GP为对称将 3图，将边长分别为4,8的形纸片AD折叠，使点C与 1》求证：△EAH9△E: △ACP折得到△A'GP,连接 点A重合，点D落在点处，剧F的长为 (2》若AB=10.求CH的长 《1》如图2，当CP1AB时.求BM'的长： 《2》当翻折得到的△'P中有一边与你垂雀时，求 的长 A.2 k.3 C.10 0.4 14如图.将矩形AD沿着对角线BD折叠，使点C落在点 处，C父AD干点E若A=6,AD=8,周点E到D的型 离为 类型二三角形中的折叠间题 1%如图.在△ABC中.AB=9.C=6.∠B=.将△ABC折 号 叠，使A友与BC的中点D重合，折痕为N,期线段DN的 5 长为 5,如图，在形AD中，A=4,6,F为的中点.将 D.5 △AE沿AE折叠，使点B幕在矩形内的点F处，连接CF, 测CF的长为 第8通圈第9随因 第闻明图 5 19,图，有一块直角三角形纸片，∠C万=0°.AC=12m,BC 诉如图，将矩形A》的到个角向内翻折后，价好拼成一个无 =9em,将斜边AB圆折健点B落在直角边AG的廷长线上 拉家无重叠的四边形上H.若=6m,F=8m,划边 的点B处，折复为4D,期D的长为 序的长度等于 A3m4mC子 .y17m 2如图，在△AC中，∠846=0，AB=2,A■3，沿过点A的 直线折叠，使点B落在配边上的底D处，两次折叠，使点 C与点D重合，折痕交AC于点E.期AE的长度为() A.10 cm 男6mC84■ D.8 cm 人斗 6 6 31 全程复习大考程卡数学·八年短下超全程复习大考卷·数学·八年级下册　 　 　 ·61　 · ∵ a2 +b2 = 2c2 . ∴ 等边三角形是“类勾股三角形” . ∴ 小璐的说法正确. 故答案为正确. (2)设另一边长为 x. ①12 +( 7 ) 2 = 2x2,解得 x = 2,符合 题意;②12 +x2 = 2( 7 ) 2,解得 x = 13 ,符合题意;③x2 + ( 7 ) 2 = 2×12,无解. 故答案为 2 或 13 . (3)∵ Rt△ABC 是“类勾股三角形”且 x<y,z 为斜边长, ∴ x2 +z2 = 2y2 . 由勾股定理,得 x2 +y2 = z2 . 整理,得 x2 +x2 +y2 = 2y2,即 2x2 = y2 . ∴ y= 2 x. ∴ z2 = 3x2 . ∴ z= 3 x. ∴ Rt△ABC 的周长为 x+y+z= (1+ 2 + 3 )x, Rt△ABC 的面积为 1 2 xy= 1 2 x· 2 x= 2 2 x2 . 6.解:(1)∵ a= 7,b= 5,c= 6,∴ p= 7 +5+6 2 = 9. ∴ S△ABC = 9×(9-7) ×(9-5) ×(9-6) = 6 6 . (2)如图,∵ S△ABC = 1 2 BC·AD, ∴ 1 2 ×7×AD= 6 6 . ∴ AD= 12 6 7 . 7.解:设 x= 4- 7 - 4+ 7 , 两边平方, 得 x2 = ( 4- 7 - 4+ 7 ) 2 = 4 - 7 - 2×( 4- 7 ) ×( 4+ 7 ) +4+ 7 = 8-6 = 2. ∴ x= ± 2 . ∵ 4- 7 - 4+ 7 <0, ∴ 4- 7 - 4+ 7 = - 2 . 8.解:(1)∵ x= 10 -3,∴ x+3 = 10 . 上式两边平方,得(x+3) 2 = 10,即 x2 +6x+9 = 10. ∴ x2 +6x= 1. ∴ x2 +6x-8 = 1-8 = -7. (2)∵ x= 5 -1 2 ,∴ 2x= 5 -1. ∴ 2x+1 = 5 . 上式两边平方,得(2x+1) 2 = 5,即 4x2 +4x+1 = 5. ∴ 4x2 +4x= 4,即 x2 +x= 1. ∴ x3 +2x2 = x3 +x2 +x2 = x(x2 +x) +x2 = x×1+x2 = x+x2 = 1. 专项突破二　 勾股定理中的最短路径与折叠问题 1. B　 【解析】如图 1,把前面和上面的长方形展开成一个 平面,则这个长方形的长和宽分别是 6 和 3,则所走的 最短路程是 62 +32 = 3 5 ;如图 2,把左面和上面的长 方形展开成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是 7 和 2,则所走的最短路程是 72 +22 = 53 ;如图 3,把前 面和右面的长方形展开成一个平面,则这个长方形的 长和宽分别是 5 和 4,则所走的最短路程是 52 +42 = 41 . 所以它爬行的最短路程是 41 . 故选 B. 图 1 　 图 2 　 图 3 2. D　 【解析】将三棱镜沿 AA′展开,其展开图如图,则这圈 金属丝的长度最小为 AA′的长度,则 AA′= 92 +(4×3)2 = 15(cm) . 故选 D. 3. A　 【解析】如图,将正方体盒子展 开,连接 AM. ∵ BC 的中点为 M, ∴ MC= 1 2 BC= 1. 根据两点之间线段 最短,可得蚂蚁从点 A 爬行到点 M 的最短距离为 AM = 22 +(1+2)2 = 13 . 故选 A. 4. 25　 【解析】如图,三级台阶的平面 展开图为长方形,其长为 20 dm,宽 为[(2+3) ×3]dm,则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 B 的最短路程是此长方 形的对角线长. 可设蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最 短路程为 x dm. 由勾股定理,得 x2 = 202 +[(2+3) ×3] 2 = 252,解得 x= 25. 5. 10　 【解析】如图,将长方体展开,连 接 AB′. ∵ AA′ = 1+3+1 + 3 = 8( cm), A′B′= 6 cm,∴ 根据两点之间线段最 短,得所用细线最短为 AB′= 82 +62 = 10(cm) . 6. 20　 【解析】如图,将玻璃杯侧面展开, 作点 A 关于 EF 的对称点 A′,过点 A′作 A′D⊥BE,交 BE 的延长线于点 D,连接 A′B,则 A′B 即为蚂蚁从外壁 A 处到内 壁 B 处的最短距离,由题意,得 A′D= 16 cm,BE = 9 cm, A′F=AF=DE= 3 cm. ∴ A′B= A′D2 +BD2 = 162 +122 = 20(cm) . 7. A　 【解析】如图,连接 CP,CE,CE 交 BD 于点 P′. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ 对角线 BD 所在的直线是其一条 对称轴. ∴ CP = AP. ∴ AP+ PE = CP + PE. ∴ 当 C,P,E 三点在一条直线上时,AP+PE 最短,即 为 CE 的长. ∵ BC=AB= 4,E 是边 AB 的中点,∴ BE = 2. ∴ CE= BC2 +BE2 = 42 +22 = 2 5 . 故选 A. 8. D　 【解析】设△PAB 的边 AB 上的高 为 h. ∵ S△PAB = 1 3 S矩形ABCD,∴ 1 2 AB·h = 1 3 AB·AD,即 h= 2 3 AD. ∵ AD= 6, ∴ h= 4. 如图,分别在 AD,BC 上取点 E,F,使 AE =BF = 4,连接 EF,则 P 是直线 EF 上的一个动点,延长 AD 到 点 A′,使 A′E = AE = 4,连接 A′B,A′P,A′B 交 EF 于点 P′. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 四边形 ABEF 是矩形. ∴ PE⊥AA′. ∴ 点 A,A′关于 EF 对称,AA′ = 2AE = 8. ∴ PA′=PA. ∴ PA+PB=PA′+PB≥A′B. ∴ PA+PB 的最小 值为 A′ B 的长. 在 Rt△A′BA 中, A′ B = AB2 +A′A2 = 102 +82 = 2 41 . 故选 D. 9. D　 【解析】如图,过点 A 作 AE∥BC,作点 C 关于直线 AE 的对称点 C′,连接 CC′交 AE 于点 E,连接 BC′,交 EA 的延长线于点 A′,连接 AC′. ∴ ∠BCC′ = 90°,CE = C′E. ∴ AE 为 CC′的垂直平分线. ∴ AC = AC′. ∵ DC= 5BD= 5,∴ BD = 1,CD = 5. ∴ BC = 6. ∵ S△ADC = 10,即 1 2 CD·CE = 10,∴ 5×CE = 20. 解得 CE = C′E = 4. ∴ CC′= 8. 要使△ABC 周长最小,则需点 B,A′,C′共线. 由 勾 股 定 理, 得 BC′ = BC2 +C′C2 = 62 +82 = 10. ∴ △ABC 周长的最小值为 BC′+BC= 16. 故选 D. 10. C　 【解析】如图,作点 B 关于直线 DF 的对称点 G,过点 G 作 GC⊥AD 于点 C,交 DF 于点 E,连接 DG. 此 时 BE+CE 的值最小,且最小值为 CG 的长度. ∴ DG = DB= 6,∠BDG= 2∠ADF= 45°. ∵ ∠GCD= 90°,∴ ∠CGD = ∠BDG= 45°. ∴ CG = CD. ∵ CG2 +CD2 = DG2,∴ 2CG2 = 36. ∴ CG= 3 2 ,即 BE+EC 的最小值为 3 2 . 故选 C. 11.解:(1)如图,作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A′,连接 A′B 交 l 于点 P,则点 P 为水泵站的位置,此 时,PA+PB 的长度最短,即所用水管最短. (2)如图,过点 B 作 l 的垂线,过点 A′作 l 的平行线 A′C,设这两条直线交于点 C,则∠C= 90°. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,连接 AB, 则 BE= 7-2 = 5(km),AB= 13 km. ∴ AE2 =AB2 -BE2 = 132 -52 = 144. ∴ AE= 12 km. ∴ A′C=AE= 12 km. 在△BA′C 中,∵ BC= 7+2 = 9(km),A′C= 12 km, ∴ A′B2 =A′C2 +BC2 = 122 +92 = 225. ∴ A′B= 15 km. ∵ PA=PA′,∴ PA+PB=PA′+PB=A′B= 15 km. ∴ 水管最短为 15 km. ∴ 4 500×15 = 67 500(元) . ∴ 最节省铺设水管的费用为 67 500 元. 12.解:(1)∵ 点 A(1,-2),B(4,-2),C( -2,1), ∴ △ABC 的面积为 1 2 ×(4-1) ×(1+2)= 9 2 . ∵ 点 A(1,-2),B(4,-2)关于直线 l 对称, ∴ 直线 l 为 x= 5 2 . ∴ 点 C 关于直线 l 的对称点 C′的坐标为(7,1) . 故答案为 9 2 ,(7,1) . (2)如图,作直线 x= 5 2 ,作点 C′(7,1),连接 AC′,交直 线 x= 5 2 于点 P,连接 PB. ∵ 点 A,B 关于直线 l 对称, P 为直线 l 上一点, ∴ PA =PB. ∴ PB+PC′=PA+PC′≥AC′. ∴ PB+PC′的最小值为 AC′ 的长. ∵ 点 A(1,-2),C′(7,1), ∴ AC′= (1-7) 2 +( -2-1) 2 = 3 5 ,即 PB+PC′的最小 值为 3 5 . 13. B　 【解析】由折叠的性质可得 AF = CF. 设 BF =m,则 AF = CF = 8 -m. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABF = 90°. 在 Rt△ABF 中,AB= 4,BF =m,AF = 8-m,∴ AF2 = AB2 +BF2,即(8-m) 2 = 42 +m2 . ∴ m= 3. 故选 B. 14. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∠A = 90°, AD∥BC. 在 Rt △ABD 中,BD = AB2 +AD2 = 62 +82 = 10. 由折叠,得∠CBD = ∠C′BD. ∵ AD∥ BC,∴ ∠EDB= ∠CBD. ∴ ∠EDB= ∠C′BD,即∠EDB = ∠EBD. ∴ DE=BE. 设 AE= x,则 BE =DE = AD-AE = 8- x. 在 Rt△ABE 中,AE2 +AB2 = BE2,∴ x2 +62 = (8-x) 2 . 解得 x= 7 4 . ∴ AE = 7 4 ,DE = 25 4 . 如图,过点 E 作 EF⊥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 BD 于点 F. ∵ BE = DE,∴ DF = 1 2 BD = 1 2 × 10 = 5. 在 Rt△DEF 中, EF = DE2 -DF2 = ( 254 ) 2 -52 = 15 4 , ∴ 点 E 到 BD 的距离为15 4 . 故选 A. 15. A　 【解析】如图,连接 BF. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC = 90°. ∵ BC = 6,E 为 BC 的中点,∴ BE = 3. ∵ AB = 4,∴ AE= AB2 +BE2 = 5. 由折叠,知 BE = FE,BF⊥ AE,BH=HF = 1 2 BF,∵ S△ABE = 1 2 ·AB·BE = 1 2 BH· AE,∴ BH = AB ×BE AE = 12 5 . ∴ BF = 24 5 . ∵ FE = BE = EC, ∴ ∠BFC= 90°. ∴ CF= 62 - ( 245 ) 2 = 18 5 . 故选 A. 16. B　 【解析】标注字母如图. 由折叠, 得∠EMH= 90°,△AEH≌△MEH. ∴ ∠HEA = ∠HEM, AE = ME. 同 理 ∠MEF= ∠BEF. ∴ ∠MEH+∠MEF = 90°. ∴ ∠HEF = 90°. 由折叠,得 BE = ME. ∴ AE = BE. ∵ EH = 6 cm, EF = 8 cm, ∴ FH = EH2 +EF2 = 62 +82 = 10(cm) . ∵ S△HEF = 1 2 ×EH×EF = 1 2 ×FH×EM,∴ AE = EM = EH ×EF FH = 6×8 10 = 4. 8( cm) . ∴ BE=AE=4. 8 cm. ∴ AB=AE+BE= 4. 8+4. 8 = 9. 6(cm). 故选 B. 17. (1)证明:∵ E 为边 AB 的中点,∴ AE=BE. 由翻折可知 GE=BE,∠A= ∠EGH= ∠EGC= 90°. ∴ AE=GE. 在 Rt△EAH 和 Rt△EGH 中, EH=EH, AE=GE,{ ∴ Rt△EAH≌Rt△EGH(HL) . (2)解:在正方形 ABCD 中,AD=CD=AB=BC= 10. ∵ Rt△EAH≌Rt△EGH,∴ AH=GH. ∴ DH=AD-AH= 10-AH. 由翻折可知 GC=BC= 10, ∴ CH=CG+GH= 10+AH. ∵ DH2 +CD2 =CH2, ∴ (10-AH) 2 +102 = (10+AH) 2 . 解得 AH= 2. 5. ∴ CH= 10+AH= 12. 5. 18. D　 【解析】∵ D 是 BC 的中点,BC = 6,∴ BD= 3. 设 BN = x. 由折叠的性质可得 DN = AN = 9 -x. 在 Rt △BDN 中,BN2 +BD2 =DN2,即 x2 +32 =(9-x) 2 . 解得 x= 4. 故线 段 DN 的长为 9-4 = 5. 故选 D. 19. B　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,AC= 12 cm,BC = 9 cm,∴ AB = 122 +92 = 15 ( cm) . 由题意,得 AE = AB = 15 cm, ∴ CE=AE-AC= 15-12 = 3(cm) . 设 CD= x cm,则 BD = (9- x) cm = DE. 在 Rt △CDE 中,根据勾股定理,得 CD2 +CE2 =DE2,即 x2 +32 = (9-x) 2 . 解得 x = 4,即 CD 的长为 4 cm. 故选 B. 20. B　 【解析】∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠B+∠C = 90°. 由折叠, 得∠ADB = ∠B,∠EDC = ∠C,AD = AB = 2,DE = CE. ∴ ∠ADB+∠EDC = ∠B+∠C = 90°. ∴ ∠ADE = 180° - (∠ADB+∠EDC)= 90°. ∴ AD2 +DE2 = AE2 . ∵ DE = CE = 3-AE,∴ 22 +(3-AE) 2 =AE2 . 解得 AE= 13 6 . 故选 B. 21.解:(1)∵ ∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 32 +42 = 5. ∵ CP⊥AB, ∴ 1 2 AB·CP= 1 2 AC·BC,∠CPA= ∠CPB= 90°. ∴ 1 2 ×5CP= 1 2 ×3×4. ∴ CP= 12 5 . ∴ AP= AC2 -CP2 = 32 - ( 125 ) 2 = 9 5 . 由折叠,得∠CPA′= ∠CPA= 90°,A′P=AP= 9 5 . ∴ ∠CPA′= ∠CPB. ∴ 点 A′在 PB 上. ∴ BA′=AB-AP-A′P= 5- 9 5 - 9 5 = 7 5 . ∴ BA′的长为 7 5 . (2)当 CP⊥AB 时,由(1),得 BA′= 7 5 . 当 A′C⊥AB 时,如图 1,设 A′C⊥AB 于点 D,则∠A′DB = ∠CDA= ∠CDB= 90°. 由(1),得 CD= 12 5 ,AD= 9 5 . ∴ BD=AB-AD= 5- 9 5 = 16 5 . ∵ A′C=AC= 3,∴ A′D=A′C-CD= 3-12 5 = 3 5 . ∴ BA′= A′D2 +BD2 = ( 35 ) 2 + ( 165 ) 2 = 265 5 . 图 1 　 　 图 2 当 A′P⊥AB 时,如图 2,则∠A′PA= ∠A′PB= 90°. 由折叠,得∠APC= ∠A′PC= 1 2 ∠A′PA= 45°. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则∠CDA= ∠CDB= 90°,CD = 12 5 ,AD= 9 5 . ∴ ∠APC= ∠DCP= 45°. ∴ PD=CD= 12 5 . ∴ A′P=AP = AD+PD = 9 5 +12 5 = 21 5 ,BP = AB-AD-PD = 5- 9 5 -12 5 = 4 5 . ∴ BA′= A′P2 +BP2 = ( 215 ) 2 + ( 45 ) 2 = 457 5 . 综上所述,BA′的长为 7 5 或 265 5 或 457 5 . 专项突破三　 特殊四边形中的解题模型 1. D　 【解析】如图. 由于 E,F,G,H 分 别是 AB,BC,CD,AD 的中点,根据 三角形的中位线定理,得 EH∥FG∥ BD,EF∥AC∥HG. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. ∵ 四边形 EFGH 是 矩形,∴ EF⊥FG. ∴ AC⊥BD. 故选 D. 2. B　 【解析】∵ G,H 分别是边 CD,DA 的中点,∴ HG 为 △ADC 的中位线. ∴ HG∥AC 且 HG= 1 2 AC. 同理 EF∥AC 且 EF= 1 2 AC,EH= 1 2 BD. ∴ HG∥EF 且 HG=EF. ∴ 四边 形 EFGH 为平行四边形. ∵ AC =BD,∴ HG =EH. ∴ 四边 形 EFGH 为菱形. 故选 B. 3. 36　 【解析】如图,连接 BD. ∵ E,F 分 别是 AB,BC 的中点,∴ EF 是△ABC 的中位线. ∴ EF = 1 2 AC = 1 2 × 18 = 9(cm) . 同理 FG= 1 2 BD,HG = 1 2 AC,EH = 1 2 BD. ∵ 四边 形 ABCD 是矩形,∴ AC =BD. ∴ EF =FG =GH =HE. ∴ 四 边形 EFGH 是菱形. ∴ 四边形 EFGH 的周长为 9 × 4 = 36(cm) . 4. (1)证明:∵ E,F,G,H 分别是 AD,BD,BC,AC 的中点, ∴ EF 是△ABD 的中位线,GH 是△ABC 的中位线. ∴ EF= 1 2 AB,EF∥AB,GH= 1 2 AB,GH∥AB. ∴ EF=GH,EF∥GH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. (2)解:当 AB=CD 时,四边形 EFGH 是菱形. 理由如下, ∵ F,G 分别是 BD,BC 的中点, ∴ GF 是△BDC 的中位线. ∴ GF= 1 2 CD. 当 AB=CD 时,EF=GF, ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 5.解:(1)四边形 EFGH 是平行四边形. 证明如下, ∵ E,F 分别是边 AB,BC 的中点, ∴ EF∥AC,且 EF=AC 2 . 同理 GH∥AC,且 GH=AC 2 . ∴ EF∥GH,EF=GH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. (2)当 BD=AC 且 BD⊥AC 时,四边形 EFGH 是正方形. 理由如下: 由(1),得四边形 EFGH 为平行四边形. ∵ E,H 分别为 AB,DA 的中点,∴ EH∥BD,EH= 1 2 BD. 由(1),知 GH∥AC,GH= 1 2 AC. ∵ BD⊥AC,∴ EH⊥GH. ∴ ∠EHG= 90°. ∴ 平行四边形 EFGH 为矩形. ∵ BD=AC,EH= 1 2 BD,GH= 1 2 AC, ∴ EH=GH. ∴ 四边形 EFGH 为正方形. 6. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,BC = 4,∴ ∠CDF =∠BCE=90°,AD=DC=BC= 4. ∵ DE=AF= 1,∴ CE=DF= 3. 在 △CDF 和 △BCE 中, CD=BC, ∠CDF=∠BCE, DF=CE, ì î í ïï ï ∴ △CDF ≌ △BCE(SAS). ∴ ∠DCF = ∠CBE. ∵ ∠DCF+∠BCF = 90°, ∴ ∠CBE+∠BCF= 90°. ∴ ∠BGC = 90°. 在 Rt△BCE 中,BC =4,CE= 3,∴ BE= BC2+CE2 = 5. ∵ S△BCE = 1 2 BE·CG = 1 2 BC·CE,∴ CG=BC·CE BE = 4×3 5 = 12 5 . 故选 D. 7. A 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ DA = CD, ∠ADE= ∠DCF= 90°,AD∥BC. ∴ ∠DFC = ∠ADF. ∵ DE = CF,∴ △AED≌ △DFC ( SAS) . ∴ ∠AED = ∠DFC = 2α. ∴ ∠ADF= ∠DFC= 2α. ∵ DG 平分∠ADF,∴ ∠ADG =α. ∴ ∠AGD= 90°-α. 故选 A. 8. 49　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AC⊥BD,OA =OC = OD,∠ADB = ∠ACD = ∠BDC = 45°. ∴ ∠DOC = 90°. ∴ ∠DON+∠NOC = 90°. ∵ ∠MON = 90°,∴ ∠MOD+ ∠DON = 90°. ∴ ∠MOD = ∠NOC. 在△MOD 和△NOC 中, ∠MOD= ∠NOC, OD=OC, ∠MDO= ∠NCO= 45°, ì î í ïï ïï ∴ △MOD≌△NOC(ASA) . ∴ DM=CN. ∵ AM = 5,CN = 2,∴ AD = AM+DM = AM+CN = 7. ∴ S正方形ABCD = 72 = 49. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 62·　 　 　 全程复习大考卷·数学·八年级下册