专项突破一 特殊四边形的性质与判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·33　 · 专项突破一　 特殊四边形的性质与判定 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、平行四边形的性质与判定 1. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( -3,0),B(3,0),C(0,4),找一点 D,使得以 A,B,C,D 为顶点 组成一个平行四边形,则点 D 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 2. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,过点 C 作 CF∥AB 交 DE 的延长线于点 F,连 接 BE。 (1)求证:四边形 BCFD 是平行四边形; (2)当 AB=BC 时,若 BD= 2,BE= 3,求 AC 的长。 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,∠B= 45°,BC= 10,过点 A 作 AD∥BC,且点 D 在点 A 的右侧。 点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,在线段 QC 上取点 E,使得 QE= 2,连接 PE,设点 P 的运动 时间为 t 秒。 (1)若 PE⊥BC,求 BQ 的长; (2)请问是否存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,求出 t 的值; 若不存在,请说明理由。 二、矩形的性质与判定 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,且 AB = 6,AC = 8,D 是斜边 BC 上的一个动点,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点 N,连接 MN,则线段 MN 的最小值为 (　 　 ) A. 4. 8　 B. 5　 C. 3. 6　 D. 5. 4 5. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,分别过点 C,D 作 BD,AC 的平行线交于点 E,连 接 OE 交 CD 于点 F。 (1)求证:四边形 DOCE 是矩形; (2)若 AC= 6,BD= 8,求 EF 的长。 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 分别是 OB,OD 的中点,延长 AE 至点 G, 使 EG=AE,连接 CG。 (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)当 AB 与 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形? 请说明理由。 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、菱形的性质与判定 7. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,连接 OE。 若 OB = 4, 菱形 ABCD 的面积为 16,则 OE 的长为 。 8. 如图,△ABC≌△ABD,点 E 在边 AB 上,CE∥BD,连接 DE。 求证:(1)∠CEB= ∠CBE; (2)四边形 BCED 是菱形。 9. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD,AC,BC 于点 E,O,F,连接 CE 和 AF。 (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)若 AB= 8,BC= 16,求菱形 AECF 的周长。 四、正方形的性质与判定 10. 如图,C 是 AB 上一点,分别以 AC,BC 为边画正方形 ACDE 与正方形 BCFG,连接 CG,DG。 已知 AB= 9 2 ,△CDG 的面积为 7 4 ,则正方形 ACDE 与正方形 BCFG 的面积和为 (　 　 ) A. 67 4 　 B. 53 4 　 C. 22　 D. 13 11. 如图,E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为 F,G。 (1)求证:四边形 BFEG 是矩形; (2)若正方形 ABCD 的周长为 40 cm,当 AF= 5 cm 时,求证:四边形 BFEG 是正方形。 12. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD,AE 分别是∠BAC 与它的邻补角的平分线,CE⊥AE 于点 E。 (1)求证:四边形 ADCE 是矩形; (2)连接 DE 交 AC 于点 O,若∠AOE= 2∠B,求证:四边形 ADCE 是正方形。 · 34·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 ∴ ∠BDC= ∠BDO+∠ODC= 60°+90° = 150°。 (2)当 OA2 +2OB2 =OC2 时,∠ODC= 90°。 证明:∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ ∠OBD= ∠ABC= 90°,OB=DB,DC=OA。 ∴ △OBD 为等腰直角三角形。 ∴ OD= OB2 +DB2 = 2OB。 ∵ 当 DC2 +OD2 =OC2 时,∠ODC= 90°, ∴ 当OA,OB,OC满足OA2+2OB2 =OC2 时,∠ODC=90°。 专项突破一　 特殊四边形的性质与判定 1. (6,4)或( -6,4)或(0,-4) 【解析】 ∵ 点 A ( - 3, 0),B (3,0),C(0,4),∴ OA = OB = 3,OC= 4,AB=OA+OB = 6。 如图,分三种情况:①当 AB∥ CD,AC∥BD 时,点 D 的坐标 为(6,4);②当 AB∥CD′,AD′∥BC 时,点 D′的坐标为 (-6,4);③当 AD″∥BC,AC∥BD″时,点 D″的坐标为(0,-4)。 综上所述,点 D 的坐标为(6,4)或(-6,4)或(0,-4)。 2. (1)证明:∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ DE∥BC,即 DF∥BC。 ∵ CF∥AB,∴ 四边形 BCFD 是平行四边形。 (2)解:∵ AB=BC,E 是边 AC 的中点, ∴ BE⊥AC,AC= 2AE。 ∵ D 是边 AB 的中点,∴ AB= 2BD= 4。 在 Rt△ABE 中,AE= AB2 -BE2 = 42 -32 = 7 , ∴ AC= 2AE= 2 7 。 3.解:(1)如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,设 AC 交 PE 于点 N。 ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°, ∴ ∠C= 45° = ∠B。 ∴ AB=AC。 ∴ BM=CM。 ∴ AM= 1 2 BC= 5。 ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN= ∠C= 45°。 ∵ PE⊥BC,∴ PE∥AM。 ∴ 四边形 AMEP 为平行四边 形。 ∴ PE=AM= 5,PE⊥AD。 ∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形。 由题意,得 PA= t,QC= 2t。 ∴ PN=PA= t,CE=EN= 5-t。 ∵ CE=QC-QE= 2t-2, ∴ 5-t= 2t-2。 解得 t= 7 3 。 ∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 。 (2)存在。 若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 PA =BE, 分两种情况:①当点 E 在线段 BC 上时,BE=BC-CE,即 t= 10-2t+2,解得 t= 4。 ②当点 E 在线段 CB 的延长线上时,BE =CE-BC,即 t = 2t-2-10,解得 t= 12。 ∴ 存在 t= 4 或 12,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形。 4. A 　 【解析】 如 图, 连 接 AD。 ∵ ∠BAC= 90°,且 AB = 6,AC = 8,∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 10。 ∵ DM ⊥ AB, DN ⊥ AC, ∴ ∠DMA= ∠DNA = ∠BAC = 90°。 ∴ 四边形 DMAN 是 矩形。 ∴ MN=AD。 ∴ 当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,即 MN 的值最小。 此时,S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 BC·AD。 ∴ AD= AB·AC BC = 6×8 10 = 4. 8。 ∴ MN 的最小值为 4. 8。 故选 A。 5. (1)证明:∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 DOCE 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠COD= 90°。 ∴ 四边形 DOCE 是矩形。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OC= 1 2 AC= 3,OD= 1 2 BD= 4。 ∴ CD= OC2 +OD2 = 32 +42 = 5。 由(1),得四边形 DOCE 是矩形。 ∴ OE=CD= 5。 ∴ EF= 1 2 OE= 5 2 。 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC。 ∴ ∠ABE= ∠CDF。 ∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点, ∴ BE= 1 2 OB,DF= 1 2 OD。 ∴ BE=DF。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, BE=DF, ì î í ïï ïï ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 (2)解:当 AC= 2AB 时,四边形 EGCF 是矩形。 理由如下, ∵ AC= 2OA,AC= 2AB,∴ AB=OA。 ∵ E 是 OB 的中点, ∴ AE⊥OB,即 AG⊥OB。 ∴ ∠OEG= 90°。 同理可得 CF⊥OD,∴ AG∥CF。 ∴ EG∥CF。 ∵ EG=AE,OA=OC, ∴ OE 是△ACG 的中位线。 ∴ OE∥CG。 ∴ EF∥CG。 ∴ 四边形 EGCF 是平行四边形。 ∵ ∠OEG= 90°,∴ 平行四边形 EGCF 是矩形。 7. 2　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA=OC,OB =OD = 1 2 BD,BD⊥AC。 ∴ BD= 2OB= 8。 ∵ S菱形ABCD = 1 2 AC· BD= 16,∴ AC= 4。 ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC = 90°。 ∴ OE = 1 2 AC= 2。 8.证明:(1)∵ △ABC≌△ABD,∴ ∠ABC= ∠ABD。 ∵ CE∥BD,∴ ∠CEB= ∠DBE。 ∴ ∠CEB= ∠CBE。 (2)∵ △ABC≌△ABD,∴ BC=BD。 ∵ ∠CEB= ∠CBE,∴ CE=CB。 ∴ CE=BD。 ∵ CE∥BD,∴ 四边形 BCED 是平行四边形。 ∵ BC=BD,∴ 平行四边形 BCED 是菱形。 9. (1)证明:∵ EF 是 AC 的垂直平分线, ∴ OA=OC,∠AOE= ∠COF= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠EAO= ∠FCO。 在△AEO 和△CFO 中, ∠EAO= ∠FCO, OA=OC, ∠AOE= ∠COF, ì î í ïï ïï ∴ △AEO≌△CFO(ASA)。 ∴ OE=OF。 又∵ OA=OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 又∵ EF⊥AC,∴ 四边形 AECF 是菱形。 (2)解:设 AF= x。 ∵ EF 是 AC 的垂直平分线,BC= 16, ∴ AF=CF= x,BF= 16-x。 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AB2 +BF2 =AF2, 即 82 +(16-x) 2 = x2。 解得 x= 10。 ∴ AF= 10。 ∴ 菱形 AECF 的周长为 4×10 = 40。 10. B　 【解析】设 AC = a,BC = b。 ∵ 四边形 ACDE 是正方 形,∴ CD=AC=a。 ∵ 四边形 BCFG 是正方形,∴ FG = BC= b,GF⊥CD。 ∵ AB = 9 2 ,∴ a+b = 9 2 。 ∵ △CDG 的 面积为 7 4 ,∴ 1 2 ab = 7 4 ,即 2ab = 7。 ∴ (a+b) 2 = 81 4 ,即 a2 +2ab+b2 = 81 4 。 ∴ a2 +b2 = 81 4 -7 = 53 4 。 ∴ 正方形 ACDE 与正方形 BCFG 的面积和为53 4 。 故选 B。 11.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠B= 90°。 ∵ EF⊥AB,EG⊥BC, ∴ ∠BFE= 90°,∠BGE= 90°。 ∴ ∠B= ∠BFE= ∠BGE= 90°。 ∴ 四边形 BFEG 是矩形。 (2)∵ 正方形 ABCD 的周长为 40 cm, ∴ AB= 40÷4 = 10(cm)。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∠EAF= 45°。 ∴ △AEF 是等腰直角三角形。 ∴ AF=EF。 ∵ AF= 5 cm,AB= 10 cm, ∴ EF=AF= 5 cm,BF=AB-AF= 5 cm。 ∴ EF=BF= 5 cm。 ∵ 四边形 BFEG 是矩形, ∴ 四边形 BFEG 是正方形。 12.证明:(1)∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,即∠ADC= 90°。 ∵ AD 是∠BAC 的平分线,AE 是∠BAC 的邻补角的平 分线,∴ ∠DAC= 1 2 ∠CAB,∠CAE= 1 2 ∠FAC。 ∵ ∠CAB+∠FAC= 180°, ∴ ∠DAC+∠CAE= 90°,即∠DAE= 90°。 又∵ CE⊥AE,∴ ∠ADC= ∠AEC= ∠DAE= 90°。 ∴ 四边形 ADCE 是矩形。 (2)如图,连接 DE 交 AC 于点 O。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形, ∴ AC=DE,OE=OD,OA=OC。 ∴ OC=OD。 ∴ ∠OCD= ∠ODC。 ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB。 ∴ ∠B= ∠OCD= ∠ODC。 ∵ ∠AOE= ∠COD= 2∠B, ∴ 2∠B+∠OCD+∠ODC= 180°。 ∴ 4∠B= 180°。 ∴ ∠B= 45°。 ∴ ∠CAD= ∠ACD= 45°。 ∴ AD=CD。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形,∴ 矩形 ADCE 是正方形。 专项突破二　 用勾股定理及其逆定理解决实际问题 1.解:在 Rt△ABD 中,BD2 =AD2 -AB2 = 92 -62 = 45。 在 Rt△BCD 中,BC2 +CD2 = 32 +62 = 45。 ∴ BC2 +CD2 =BD2。 ∴ ∠BCD= 90°。 ∴ BC⊥CD。 故该婴儿车符合安全标准。 2.解:由题意可得 RP= 12×2 = 24(海里), PQ= 16×2 = 32(海里),QR= 40 海里。 ∵ 322 +242 = 402, ∴ △RPQ 是直角三角形。 ∴ ∠RPQ= 90°。 ∵ “远航”号沿东北方向航行,即沿北偏东 45°方向航 行,∴ ∠SPQ= 45°。 ∴ ∠RPS= 45°。 ∴ “海天”号沿北偏西 45°(或西北)方向航行。 3.解:(1)∵ ∠C= 90°,BC= 7 m,CD= 24 m, ∴ BD= BC2 +CD2 = 72 +242 = 25(m)。 ∴ BD 的长为 25 m。 (2)∵ AB= 20 m,AD= 15 m,BD= 25 m, ∴ AB2 +AD2 = 202 +152 = 252 =BD2。 ∴ ∠A= 90°。 ∴ S四边形ABCD =S△ABD+S△BDC = 1 2 ×15×20+ 1 2 ×7+24=234(m2)。 234×1 000 = 234 000(元)。 ∵ 234 000<240 000, ∴ 将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用够用。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 68·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册