专项突破三 一次函数与方程、不等式的实际应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·37　 · 专项突破三　 一次函数与方程、不等式的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、给出多对实验数据的实际问题 1. 在创建国家卫生城市环境综合整治行动中,某小区计划对楼体外墙进行粉刷,现有甲、乙两家装 饰公司有意承接此项工程,已知甲公司的费用 y(元)与粉刷面积 x(x≥100)(m2)的关系如表: 粉刷面积 x / m2 100 200 300 400 … 费用 y /元 2 000 4 000 6 000 8 000 … 乙公司表示:若该小区先支付 2 000 元的基本承包费,则可按 10 元 / m2 的价格收费。 请根据以上信息,解答下列问题: (1)若甲公司收取的费用 y(元)与粉刷面积 x( m2 )满足我们学过的某一函数关系,试确定这一 函数表达式; (2)试确定乙公司收取的费用 y(元)与粉刷面积 x(x≥100)(m2)满足的函数关系式; (3)在给出的平面直角坐标系内画出(1)(2)中的函数图象,并确定若该小区粉刷面积约为 600 m2,则 选择哪家装饰公司施工更合算。 2. (传统文化)综合与实践 【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器,在社会实践活动中,某小组同学根据“漏壶”的原理制作 了如图所示的液体漏壶,漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的,中间连通。 液体可以从圆锥容 器中匀速漏到圆柱容器中,实验开始时圆柱容器中已有一部分液体。 【实验观察】(1)下表是实验记录的圆柱形容器液面高度 y(厘米)与时间 x(时)的数据: 时间 x /时 1 2 3 4 5 … 圆柱形容器液面高度 y /厘米 6 10 14 18 22 … 请你在平面直角坐标系中描出上表的各点,并用光滑的线 连接。 【探究发现】(2)请你根据表中的数据及图象,并用所学过 的知识确定 y 与 x 之间的函数表达式(不考虑自变量的取 值范围); 【结论应用】(3)如果本次实验记录的开始时间是上午 8:30, 那么当圆柱形容器液面高度达到 12 厘米时是几点? 二、给出函数图象的实际问题 3. 如图 1,两条互相垂直的公路 m,n,十字路口记作点 A。 小海从公路 m 上的点 B 出发,骑车向北 匀速直行,中途遇上红灯(忽略停车与起步的速度变化);同时,小丹从点 A 出发,步行向东沿公 路 n 匀速直行。 设出发时间为 t(分),两人与点 A 的距离为 s(米)。 如图 2 是两人与路口的距离 s(米)与运动时间 t(分)之间的关系图。 (1)A,B 两点之间的距离为　 　 　 　 米,小海等红灯的时间为　 　 　 　 分钟; (2)当小海等红灯时,此时小丹前进了　 　 　 　 米; (3)求小海经过路口 A 后 s 与 t 的表达式; (4)当两人距离路口 A 距离相等时,直接写出运动时间。 图 1 　 图 2 4. 共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向 3 ~ 10 km 的出行市场,现有 A,B 两种品牌的 共享电动车,给出的图象反映了收费 y(元)与骑行时间 x(min)之间的对应关系,其中 A 品牌收 费方式对应 y1,B 品牌的收费方式对应 y2。 请根据相关信息,解答下列问题: (1)说出图中函数 y1,y2 图象的交点 P 表示的实际意义; (2)求 y1,y2 关于 x 的函数表达式; (3)①如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班,已知两种品牌共 享电动车的平均行驶速度均为 300 m / min,小明家到工厂的距离为 9 km,那么小明选择 (填“A”或“B”)品牌共享电动车更省钱; ②当 x 为何值时,两种品牌共享电动车收费相差 3 元? 5. 在一条高速公路上依次有 A,B,C 三地,甲车从 A 地出发匀速驶向 C 地,到达 C 地休息 1 h 后调 头(调头时间忽略不计)按原路原速驶向 B 地,甲车从 A 地出发 1. 5 h 后,乙车从 C 地出发匀速 驶向 A 地,两车同时到达目的地。 两车距 A 地路程 y(km)与甲车行驶时间 x(h)之间的函数关 系如图所示。 请结合图象信息,解答下列问题: (1)甲车行驶的速度为 km / h,乙车行驶的速度为 km / h; (2)求图中线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式,并直接写出自变量 x 的取值范围; (3)乙车出发多少小时,两车距各自出发地路程的差为 160 km? 请直接写出答案。 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、没有明确是一次函数的实际问题 6. 张先生准备在一家房屋中介租房开公司。 该中介有甲、乙两类房屋出租,甲类房屋精装修,乙类 房屋是毛坯房,同一类房屋的月租相同。 若两类房屋各租一间,月租共 5 000 元;甲类房屋租 2 间,乙类房屋租 3 间,月租共 12 000 元。 (1)甲、乙两类房屋每间月租多少元? (2)张先生打算租一间房,可以租甲类房屋,也可以租乙类房屋,但是租乙类房屋必须按甲类房 屋的规格装修,需要装修费 20 000 元。 请你自行定义变量,建立函数,利用函数有关的知识帮助 张先生设计一个租房方案(只从省钱的角度设计租房方案)。 7. 开学前夕,某文具店准备购进 A,B 两种品牌的文具袋进行销售,若购进 A 品牌文具袋和 B 品牌 文具袋各 5 个共花费 125 元,购进 A 品牌文具袋 3 个和 B 品牌文具袋 4 个共花费 90 元。 (1)求购进 A 品牌文具袋和 B 品牌文具袋的单价; (2)若该文具店购进了 A,B 两种品牌的文具袋共 100 个,其中 A 品牌文具袋的售价为 12 元,B 品牌文具袋的售价为 23 元,设购进 A 品牌文具袋 x 个,获得总利润为 y 元。 ①求 y 关于 x 的函数表达式; ②要使销售文具袋的利润最大,且所获利润不超过进货价格的 40% ,请你帮该文具店设计一个 进货方案,并求出其所获利润的最大值。 8. 商场某运动品牌上衣的销售价为每件 90 元,裤子的销售价为每条 100 元。 每条裤子的进价比每 件上衣的进价多 20 元,商场用 3 000 元购进上衣的数量与用 4 000 元购进裤子的数量相等。 (1)每件上衣的进价为 元,每条裤子的进价为 ; (2)现在商场准备一次性购进这两种衣裤共 1 000 件,销售总利润为 y 元。 设购进上衣 x 件,且 购进上衣的数量不超过裤子数量的 2 倍,总利润不低于 26 000 元,试确定获利最大的方案以及 最大利润; (3)实际进货时,厂家对上衣出厂价上调 k(0<k<20)元,若商店保持这两种衣裤的售价不变,请 你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这 1 000 件衣裤销售总利润最大的进货方案。 四、明确了是一次函数的实际问题 9. 为了学生的身体健康,学校课桌、椅的高度都是按照一定的关系科学设计的,研究表明:课桌的 高度与椅子的高度符合一次函数关系,小明测量了一套课桌、椅对应的四档高度,得到数据如 下表: 　 　 档次 高度　 　 第一档 第二档 第三档 第四档 椅高 x / cm 37. 0 40. 0 42. 0 45. 0 桌高 y / cm 68. 0 74. 0 78. 0 (1)设课桌的高度为 y(cm),椅子的高度为 x(cm),求 y 与 x 的函数表达式; (2)在表格中,有一个数据被污染了,则被污染的数据为　 　 　 　 ; (3)小明放学回到家,又测量了家里写字台的高度为 79 cm,椅子的高度为 43. 5 cm,请你判断小 明家里的写字台与椅子是否符合科学设计,并说明理由。 10. 洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃,入口酥松绵软,而且具有促进人体代谢,降低胆 固醇及防止细胞老化的功能,深受老百姓喜爱。 刘小姐假期去洛阳游玩,准备回去时带点牡丹 饼给家人和朋友品尝。 已知甲、乙两家超市都以 20 元 /盒的价格销售同一种牡丹饼,并且同时 在做促销活动: 甲超市:办理本超市会员卡(卡费 50 元),食品全部打七折销售; 乙超市:购买同种商品超过一定数量后,超过的部分打折销售。 活动期间,若刘小姐购买牡丹饼 x 盒,在甲、乙超市所需费用分别为 y1 元、y2 元,y2 与 x 之间的 函数图象如图所示,回答下列问题: (1)分别求出 y1,y2 与 x 之间的函数表达式; (2)当 x 的值为多少时,在两家超市购买的费用一样? (3)若刘小姐准备购买 20 盒牡丹饼,你认为在哪家超市购买更划算? · 38·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·69　 · 4. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,AC = 10 m,BC = 6 m,∴ AB = AC2 -BC2 = 102 -62 = 8(m)。 在 Rt△AB′C′中,AC′ = 10 m,B′C′= 8 m,∴ AB′= AC′2 -B′C′2 = 6 m。 ∴ BB′= AB-AB′= 8-6 = 2(m)。 故选 C。 5.解:(1)根据题意,得∠ACB= 90°,AC= 30 m,AB= 50 m, ∴ BC= AB2 -AC2 = 502 -302 = 40(m)。 ∴ BC 的长为 40 m。 (2)这辆小汽车超速了。 理由如下: ∵ 该小汽车的速度为 40 ÷ 2 = 20 ( m / s) = 72 km / h > 70 km / h, ∴ 这辆小汽车超速了。 6.解:∵ 小丽的家到公路的距离 AB= 300 米<500 米, ∴ 小丽在家能够听到广播宣传。 如图,假设当移动广播车行驶到点 P 开始小丽听到广 播,行驶到点 Q 小丽听不到广播, 则 AP=AQ= 500 米,AB= 300 米。 ∴ BP=BQ= 5002 -3002 = 400(米)。 ∴ PQ= 800 米。 ∵ 移动广播车的行驶速度为 200 米 /分, ∴ 她能听到广播宣传的时间为 800÷200 = 4(分)。 ∴ 她总共能听到 4 分钟的广播宣传。 7.解:(1)由题意,得 AB = 125 m。 在 Rt△MNB 中,BN = BM2 -MN2 = 752 -602 = 45(m), ∴ AN=AB-BN= 125-45 = 80(m)。 在 Rt△AMN 中,AM= AN2 +MN2 = 802 +602 = 100(m), ∴ 供水点 M 到喷泉 A,B 需要铺设的管道总长为 100+ 75 = 175(m)。 (2)∵ AB= 125 m,AM= 100 m,BM= 75 m, ∴ AB2 =BM2 +AM2。 ∴ △ABM 是直角三角形。 ∴ BM⊥AC。 ∴ 喷泉 B 到小路 AC 的最短距离是 BM= 75 m。 8. D　 【解析】∵ AB = 4 m,BC = 3 m,∠ABC = 90°,∴ AC2 = AB2 +BC2。 ∴ AC= 42 +32 = 5(米)。 故选 D。 9. B　 【解析】电视机的对角线长即为电视机的大小规格。 由题意,得这部电视机的大小规格为 582 +462 ≈74(厘 米)。 故选 B。 10. D　 【解析】如图,由题意,得 OA = 2× 9 = 18 (海里),OB = 2 × 12 = 24 (海 里), ∠AOE = 60°, ∠BOC = 60°, ∠COE = 90°, ∴ ∠AOC = ∠COE - ∠AOE = 30°。 ∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC= 90°。 在 Rt △AOB 中, AB = OA2 +OB2 = 182 +242 = 30(海里),∴ 此时两舰的距离为 30 海里。 故选 D。 11. 解:如图,过点 B 作 BC⊥AD 于点 C,则 AC = 4-2+0. 5 = 2. 5(km), BC= 4. 5+1. 5 = 6(km)。 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB2 =AC2 +BC2 = 2. 52 +62 = 6. 52。 ∴ AB= 6. 5 km。 ∴ 登陆点 A 与宝藏埋藏点 B 之间的距离为 6. 5 km。 12.解:(1)在 Rt△CDB 中,由勾股定理,得 CD2 =BC2 -BD2 = 252 -152 = 400, ∴ CD= 20 米。 ∴ CE=CD+DE= 20+1. 6 = 21. 6(米)。 ∴ 风筝的垂直高度 CE 为 21. 6 米。 (2)如图,在 CD 上取一点 M,使 CM = 12 米,连接 BM。 ∴ DM=CD-CM= 20-12 = 8(米)。 ∴ BM= DM2 +BD2 = 82 +152 = 17(米)。 ∴ BC-BM= 25-17 = 8(米)。 ∴ 他应该往回收线 8 米。 13. C　 【解析】如图,标注各点。 由题意, 得∠ACB = ∠EDB = 90°,BC = 0. 7 米, AC= 2. 5 米,DE= 2 米。 在 Rt△ABC 中, AB= AC2+BC2 = 2. 42+0. 72 = 2. 5(米)。 ∵ AB=BE,∴ BE=2.5 米。 ∴ BD= BE2-DE2 = 2.52-22 = 1.5(米)。 ∴ CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(米),即小巷的宽 度为 2. 2 米。 故选 C。 14.解:(1)由题意,得 AD = 1 m,∠DNE = 90°,DE = 5 m, NE= 3 m。 ∴ DN= DE2 -NE2 = 52 -32 = 4(m)。 ∴ AN=AD+DN= 1+4 = 5(m)。 ∴ 该火车站墙面破损处 A 距离地面有 5 m 高。 (2)梯子顶部到地面的距离为 4. 8 m 时,梯子底部与 墙角的距离为 52 -4. 82 = 1. 4(m)。 3-1. 4 = 1. 6(m)。 ∴ 梯子底部需向墙角方向移动 1. 6 m。 15.解:如图是 U 型池的表面展开图, AD= π·40 π ÷2 = 20(m), AB=CD= 20 m。 ∵ CE= 5 m, ∴ DE=CD-CE= 20-5 = 15(m)。 在 Rt△ADE 中,AE= AD2 +DE2 = 202 +152 = 25(m)。 ∴ 他滑行的最短距离为 25 m。 16.解:(1)如图 1,将长方体的侧面沿 AB 展开,取 A′B′的 中点 M,取 AB 的中点 N,连接 AM,NB′,则 AM+NB′ = 2AM 为所求的彩带长。 ∵ AM2 =AA′2 +A′M2,AA′= 4×15 = 60(cm), A′M= 1 2 ×20 = 10(cm), ∴ AM= 602 +102 = 10 37 (cm)。 ∴ AM+NB′= 2AM= 20 37 cm。 ∴ 所用彩带的长度为 20 37 cm。 图 1 (2)当上面的面与前面的面展成一个平面时,如图 2, 此时 CD= 152 +252 = 5 34 (cm); 当右边的面与前面的面展成一个平面时,如图 3,此时 CD= 202 +202 = 20 2 (cm); 当上面的面与左边的面展成一个平面时,如图 4,此时 CD= 352 +52 = 25 2 (cm)。 ∵ 25 2 >5 34 >20 2 , ∴ 小刚所需要的彩带最短为 20 2 cm。 图 2 　 　 　 图 3 　 　 　 图 4 专项突破三　 一次函数与方程、不等式的实际应用 1.解:(1)由表中的数据可知甲公司收取的费用 y(元)与 粉刷面积 x(m2)成正比例。 设函数表达式为 y甲 = kx。 把点(100,2 000)代入,得 2 000 = 100k。 解得 k= 20。 ∴ y甲 = 20x(x≥100)。 (2)根据题意,得 y乙 = 2 000+10x(x≥100)。 (3)画出函数的图象如图。 把 x= 600 代入 y甲 = 20x,得 y甲 = 20×600 = 12 000(元)。 把 x= 600 代入 y乙 = 2 000+10x,得 y乙 = 2 000+10×600 = 8 000(元)。 ∵ y甲>y乙,∴ 若该小区粉刷面积约为 600 m2,则选择乙 装饰公司施工更合算。 2.解:(1)描出各点,并连接,如图所示。 (2)由图象可知该图象是一次函数,设该函数的表达式 为 y= kx+b(k,b≠0)。 ∵ 点(1,6),(2,10)在该函数图象上, ∴ 6 = k+b, 10 = 2k+b。{ 解得 k= 4, b= 2。{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 4x+2。 (3)当 y= 12 时,4x+2 = 12,解得 x= 2. 5。 8. 5+2. 5 = 11,即当圆柱形容器液面高度达到 12 厘米时 是上午 11 点。 3.解:(1)由函数图象可知 A,B 两点之间的距离为 1 200 米, 小海等红灯的时间为 7-5 = 2(分)。 故答案为 1 200,2。 (2)由题意,得小丹的速度为1 200 15 = 80(米 /分),∴ 当 小海等红灯时,此时小丹前进了 80×2 = 160(米)。 故答 案为 160。 (3)由题意,得小海的速度为1 200 5 = 240(米 /分), 所以小海经过路口 A 后 s 与 t 的表达式为 s = 240( t-7) = 240t-1 680。 (4)当小海经过十字路口 A 前,两人距离路口 A 距离相 等时, 则 80t= 1 200-240t,解得 t= 15 4 。 当小海经过十字路口 A 后,两人距离路口 A 距离相 等时, 则 80t= 240t-1 680,解得 t= 21 2 。 综上所述,当两人距离路口 A 距离相等时,运动时间为 15 4 或 21 2 分钟。 4.解:(1)由图象可得点 P(20,8),交点 P 表示的实际意 义是当骑行时间为 20 min 时,A,B 两种品牌的共享电 动车收费都为 8 元。 (2)设 y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = k1x(k1≠0)。 将点(20,8)代入,得 20k1 = 8,解得 k1 = 0. 4。 ∴ y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = 0. 4x(x>0)。 由图象可知,当 0<x≤10 时,y2 = 6。 当 x> 10 时,设 y2 关于 x 的函数表达式为 y2 = k2x+b (k2≠0)。 将点(10,6),(20,8)代入,得 6 = 10k2 +b, 8 = 20k2 +b。 { 解得 k2 = 0. 2, b= 4。{ ∴ 当 x>10 时,y2 关于 x 的函数表达式为 y2 = 0. 2x+4。 ∴ y2 = 6(0<x≤10), 0. 2x+4(x>10)。{ (3) ① 小明 从 家 骑 行 到 工 厂 所 需 时 间 为 9 000 300 = 30(min),骑行 A 品牌共享电动车所需费用为 0. 4×30 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12(元),骑行 B 品牌共享电动所需费用为 0. 2×30+4 = 10(元)。 ∵ 12>10,∴ 选择 B 品牌共享电动车更省钱。 故答案为 B。 ②当 0<x≤10 时,y2 -y1 = 3,∴ 6-0. 4x= 3。 解得 x= 7. 5。 当 x>10 时,y2 -y1 = 3 或 y1 -y2 = 3, ∴ 0. 2x+4-0. 4x= 3 或 0. 4x-(0. 2x+4)= 3。 解得 x= 5(舍去)或 x= 35。 综上所述,当 x 为 7. 5 或 35 时,两种品牌共享电动车收 费相差 3 元。 5.解:(1)由图可得点 D(3,360),即甲出发 3 h 后与 A 地 相距 360 km,∴ 甲车行驶的速度为360 3 = 120( km / h)。 由题意可得乙车出发 1. 5 h 行驶 360-240 = 120( km), ∴ 乙车行驶的速度为 120 1. 5 = 80 ( km / h )。 故答案为 120;80。 (2)设线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y = kx+b(k≠0)。 将点(1. 5,360),(3,240)代入,得 360 = 1. 5k+b, 240 = 3k+b。{ 解得 k= -80, b= 480。{ ∵ 360 80 = 4. 5(h),1. 5+4. 5 = 6(h), ∴ 线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y = -80x+480(1. 5≤x≤6)。 (3)由题意可得当 y= 0 时,x= 6,∴ 点 N(6,0)。 ∵ 两车同时到达目的地, ∴ 乙到达目的地时,甲距离 A 地的距离为 360-120×(6- 3-1)= 120(km)。 ∴ 点 F(6,120),E(4,360)。 设乙车出发 t h, 两车距各自出发地路程的差为 160 km。 当 0<t≤1. 5 时,此时甲在到达 C 地前, 则 | 80t - 120 ( t + 1. 5) | = 160,解得 t 为负数,不符合 题意; 当 1. 5<t≤2. 5 时,此时甲在 C 地休息, 则 | 80t-360 | = 160,解得 t1 = 2. 5,t2 = 6. 5(不符合题意, 舍去); 当 2. 5<t≤4. 5 时,此时甲在调头驶向 B 地, 则 | 80t-[2×360-120( t+1. 5-1)] | = 160,解得 t1 = 2. 5 (不符合题意,舍去),t2 = 4. 1。 综上所述,乙车出发 2. 5 h 或 4. 1 h,两车距各自出发地 路程的差为 160 km。 6.解:(1)设甲类房屋每间月租 x 元,乙类房屋每间月租 y 元。 根据题意,得 x+y= 5 000, 2x+3y= 12 000。{ 解得 x= 3 000, y= 2 000。{ ∴ 甲类房屋每间月租 3 000 元,乙类房屋每间月租 2 000 元。 (2)设张先生租房时间为 a 个月。 根据题意,得租一间甲类房屋的费用 w甲 = 3 000a,租一 间乙类房屋的费用 w乙 = 2 000a+20 000。 当 w甲>w乙 时,3 000a>2 000a+20 000,解得 a>20。 当 w甲 =w乙 时,3 000a= 2 000a+20 000,解得 a= 20。 当 w甲<w乙 时,3 000a<2 000a+20 000,解得 a<20。 ∴ 当租期超过 20 个月时,租乙类房屋省钱;当租期等 于 20 个月时,租甲、乙两类房屋价格一样;当租期低于 20 个月时,租甲类房屋省钱。 7.解:(1)设购进 A 品牌文具袋的单价为 a 元,购进 B 品 牌文具袋的单价为 b 元。 根据题意,得 5a+5b= 125, 3a+4b= 90。{ 解得 a= 10, b= 15。{ ∴ 购进 A 品牌文具袋的单价为 10 元,购进 B 品牌文具 袋的单价为 15 元。 (2)①根据题意,得 y = (12-10)x+(23-15) (100-x) = -6x+800。 ②根据题意,得-6x+800≤40% [10x+15(100-x)]。 解得 x≥50。 由①,得 y= -6x+800,k= -6<0, ∴ y 随 x 的增大而减小。 ∴ 当 x= 50 时,y 达到最大值,即最大利润为-6×50+800 = 500(元)。 此时 100-x= 100-50 = 50。 ∴ 购进 A 品牌文具袋 50 个,B 品牌文具袋 50 个时销售 文具袋的利润最大,其所获利润的最大值为 500 元。 8.解:(1)设每件上衣的进价为 x 元,则每条裤子的进价 为(x+20)元。 根据题意,得3 000 x = 4 000 x+20 。 解得 x= 60。 经检验,x= 60 是原分式方程的解,此时 x+20 = 80。 ∴ 每件上衣的进价为 60 元,每条裤子的进价为 80 元。 故答案为 60;80。 (2)根据题意,得 y= (90-60)x+(100-80)(1 000-x)= 10x+20 000。 ∵ 购进上衣的数量不超过裤子数量的 2 倍,总利润不 低于 26 000 元, ∴ x≤2(1 000-x), 10x+20 000≥26 000。{ 解得 600≤x≤666 2 3 。 ∵ k= 10>0,∴ y 随 x 的增大而增大。 ∵ x 为整数,∴ 当 x = 666 时,y 有最大值,即最大利润为 10×666+20 000 = 26 660(元),此时 1 000-x= 334。 ∴ 商场购进上衣 666 件、裤子 334 条时获利最大,最大 利润为 26 660 元。 (3)设商场销售 1 000 件衣裤所获得利润为 w 元。 根据题意,得 w= (90-60-k) x+(100-80) (1 000-x) = (10-k)x+20 000。 ①当 10-k>0,即 0<k<10 时,w 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 666 时,w 有最大值,此时 1 000-x= 334。 ∴ 商场购进上衣 666 件、裤子 334 条。 ②当 10-k<0,即 10<k<20 时,w 随 x 的增大而减小, ∴ 当 x= 600 时,w 有最大值,此时 1 000-x= 400。 ∴ 商场购进上衣 600 件、裤子 400 条。 ③当 k= 10 时,无论怎样购买,利润恒为 20 000 元。 综上所述,当 0 <k< 10 时,商场购进上衣 666 件、裤子 334 条,销售总利润最大;当 10<k<20 时,商场购进上衣 600 件、裤子 400 条,销售总利润最大;当 k= 10 时,无论 怎样购买,利润均为 20 000 元。 9.解:(1)设 y 与 x 的函数表达式为 y=kx+b(k≠0,b≠0)。 把点(37,68),(40,74)代入,得 68 = 37k+b, 74 = 40k+b。{ 解得 k= 2, b= -6。{ ∴ y 与 x 的函数表达式为 y= 2x-6。 (2)当 x= 45. 0 时,y= 2×45. 0-6 = 84. 0, ∴ 被污染的数据为 84. 0。 故答案为 84. 0。 (3)小明家里的写字台与椅子不符合科学设计。 理由如下: 在 y= 2x-6 中,令 x= 43. 5,得 y= 2×43. 5-6 = 81。 ∵ 79<81, ∴ 小明家里的写字台与椅子不符合科学设计。 10.解:(1)根据题意,得 y1 = 50+20×0. 7x= 14x+50。 当 0≤x≤10 时,y2 = 20x; 当 x>10 时,y2 = 200+ 380-200 25-10 (x-10)= 12x+80。 ∴ y1 = 14x+50;y2 = 20x(0≤x≤10), 12x+80(x>10)。{ (2)当 x≤10 时,14x+50 = 20x,解得 x = 25 3 (不符合题 意,舍去); 当 x>10 时,14x+50 = 12x+80,解得 x= 15。 ∴ 当 x 的值为 15 时,在两家超市购买的费用一样。 (3)当 x= 20 时,y1 = 14×20+50 = 330, y2 = 12×20+80 = 320。 ∵ 330>320,∴ 在乙超市购买更划算。 专项突破四　 二次根式的运算化简方法 1. B　 【解析】∵ 0<a<1,∴ a>0,a-1<0。 ∴ 原式 = a+1+1- a= 2。 故选 B。 2. B　 【解析】 a2 -2a+1 = | a-1 | 。 ∵ a-1 = 2- 3 -1 = 1- 3 <0,∴ | a-1 | = -(1- 3 )= 3 -1。 故选 B。 3. -2a-2b　 【解析】由数轴可得 a<0,b>0, | a | > | b | ,∴ a+ b<0。 ∴ 原式= -a-b-(a+b)= -a-b-a-b= -2a-2b。 4. - 1 a 　 【解析】原式 = (2a -1) 2 a(2a-1) = | 2a-1 | a(2a-1) 。 当 a< 1 2 时,2a-1< 0,∴ | 2a- 1 | = 1 - 2a。 ∴ 原式 = 1 -2a a(2a-1) = - 1 a 。 5.解:根据题意,得 x2 -9≥0,9-x2≥0,x+3≠0,解得 x= 3。 ∴ y= -2 3+3 = - 1 3 。 ∴ 5x+6y= 5×3+6×( - 1 3 )= 15-2 = 13。 6.解:(1)根据题意,得 9-x≥0,x-6>0,解得 6<x≤9。 ∴ 原式= (x-9) 2 + (x-6) 2 = 9-x+x-6 = 3。 (2)∵ 6<x≤9,∵ x 是偶数,∴ x= 8。 ∴ 原式= (1+8) × 64 -5×8+4 64-1 = 9 4 9 = 6。 7.解:(1)隐含条件 2-x≥0,解得 x≤2。 ∴ x-3<0。 ∴ 原式= (3-x) -(2-x)= 3-x-2+x= 1。 (2)观察数轴,得隐含条件 a<0,b>0, | a | > | b | 。 ∴ a+b<0,b-a>0。 ∴ 原式= -a-a-b-b+a= -a-2b。 (3)由三角形的三边关系,可知 a+b+c>0,a-b<c,b-a< c,c-b<a。 ∴ a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0。 ∴ 原式= (a+b+c) +( -a+b+c) +( -b+a+c) +( -c+b+a) =a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a = 2a+2b+2c。 8.解:(1)原式= ( - 15 ) 2 -42 = 15-16 = -1。 (2)原式= (3 2 ) 2 -(2 6 ) 2 = 18-24 = -6。 (3)原式= 3 ×(2+ 2 ) ×(2- 2 )= 3 ×(4-2)= 2 3 。 9.解:原式= ( 2 + 3 + 5 ) × 6 ×( 3 + 2 - 5 ) = 6 ×[( 2 + 3 ) + 5 ] ×[( 2 + 3 ) - 5 ] = 6 ×(2+2 6 +3-5) = 6 ×2 6 = 12。 10.解:(1)原式 = ( 7 ) 2 -( 13 ) 2 +( 3 ) 2 +1+2× 3 ×1- 6×3 2 + 3 = 7-13+3+1+2 3 -3+ 3 = -5+3 3 。 (2)∵ a<0,∴ 原式= 4-a2 -2- 1 a2 - 4+a2 -2+ 1 a2 = -a2+2- 1 a2 - a2+2+ 1 a2 = -(a- 1 a )2 - (a+ 1 a )2 。 要使 -(a- 1 a ) 2 有意义,则-(a- 1 a ) 2 ≥0,即 a- 1 a = 0,解得 a= ±1。 ∵ a < 0, ∴ a = - 1。 此时,原式 = a- 1 a - a+ 1 a = -1- 1-1 - -1+ 1-1 = 0-2 = -2。 11.解:(1)原式=( 15 +4)2 024 ×( 15 -4)2 024 ×( 15 -4) = [( 15 +4) ×( 15 -4)] 2 024 ×( 15 -4)= 15 -4。 (2)原式= (2 2 -3) 2 023 ×(2 2 +3) 2 023 ×(2 2 +3) = [(2 2 -3) ×(2 2 +3)] 2 023 ×(2 2 +3) = ( -1) 2 023 ×(2 2 +3)= -2 2 -3。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 70·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册