专项突破六 易错题专练-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·43　 · 专项突破六　 易错题专练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　易错典例一 已知-1<a<0,化简 (a+ 1 a ) 2 -4 - (a- 1 a ) 2 +4的结果为 (　 　 ) A. 2a B. -2a C. - 2 a D. 2 a 【易错警示】化简 a2 时,要先化为 a ,再根据 a 的条件去掉绝对值号,否则会导致出错。 变式练习 1. 化简 ( -4) 2 的结果是 (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 计算 2-x + (x-3) 2 的结果是 (　 　 ) A. -1 B. 2x-5 C. 5-2x D. 1 3. 实数 a,b 在数轴上所对应的点如图所示,则 3 -b + a+ 3 + a2 的值为 (　 　 ) A. -2a-b B. 2 3 -b C. 2 3 -b+2a D. 2a-b 4. 已知三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长为 c,化简 c2 +4-4c - 1 4 c2 -4c+16 。 5. 先化简,再求值:a 2 -1 a-1 - a 2 -2a+1 a2 -a - 1 a ,其中 a= 2- 3 。 易错典例二 在△ABC 中,AB= 13 cm,AC= 20 cm,BC 边上的高为 12 cm,则△ABC 的面积是 (　 　 ) A. 126 cm2 或 66 cm2 B. 66 cm2 C. 120 cm2 D. 126 cm2 【易错警示】已知三角形的两边和第三边上的高,求三角形的面积,若没有给出图形,实际上它可能 不止一种情况,注意分类讨论是这类题的关键。 变式练习 1. 已知直角三角形的两边长分别为 6,8,则该直角三角形的周长为 (　 　 ) A. 14　 B. 24　 C. 14+2 7 　 D. 24 或 14+2 7 2. 在△ABC 中,AB= 7,AC= 8,高 AD= 6,则 BC 的长是 (　 　 ) A. 2 7 + 13 B. 2 7 - 13 C. 2 7 + 13或 2 7 - 13 D. 以上都不对 3. 已知一等腰三角形的两边长分别为 4 和 6,则它的面积为 (　 　 ) A. 3 7 　 B. 16 2 　 C. 6 7或 16 2 　 D. 3 7或 8 2 易错典例三 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 16 cm,BC= 12 cm,BD⊥AC。 (1)求出 AC 的长和 BD 的长; (2)点 P 从点 C 出发,以每秒 1 cm 的速度沿 C→A→B 运动,运动到点 B 时停止,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,△PBC 的面积为 36 cm2? 【易错警示】解决有关动点问题的题目时,要考虑到各种情况,不要忽略分类讨论。 变式练习 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AB = 5 cm,BC = 4 cm,若点 P 从点 A 出发,以每秒 1 cm 的速度沿 A➝B➝C➝A 运动,设运动时间为 t( t>0)秒。 (1)AC= cm; (2)若点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上,求此时 t 的值; (3)在运动过程中,当 t 为何值时,△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形? (直接写出结果) 易错典例四 若不等式组 x+a≥0, 1-2x>0{ 恰有 4 个整数解,则 a 的取值范围是 。 【易错警示】已知不等式或不等式组的整数解的个数,求字母的值或取值范围时,要注意考虑待定 字母取什么样的值时,才能满足所要求的条件。 变式练习 1. 已知关于 x 的不等式组 x-a≥0, 2x<4{ 只有三个整数解,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. -2<a≤-1　 B. -2≤a≤-1　 C. -2≤a<-1　 D. -2<a<-1 2. 整数 m 满足关于 x,y 的二元一次方程组 x+y=m, x-y= 21-4m{ 的解是正整数,且关于 x 的不等式组 5x-4m>0, x+2≤8{ 有且仅有 2 个整数解,则 m 的值为 。 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 易错典例五 为帮助某市将 58 吨水果运往外地销售,某公司计划租用 A,B 两种车型的箱式货车共 9 辆,其中 A 型箱式货车至少要租 2 辆。 两种货车的运载量和运费如下表所示。 车型 A B 运载量 / (吨 /辆) 5 8 运费 / (元 /吨) 1 000 1 200 (1)请写出符合公司要求的租车方案,并说明理由; (2)若将这批水果一次性运送到水果批发市场,那么哪种租车方案的运费最少? 并求出最少运费。 【易错警示】应用不等式或不等式组解决有关的实际问题时,要注意一些关键词或实际问题中的含 义,否则就可能导致错解。 变式练习 1. 推动绿色发展,促进人与自然和谐共生,尊重自然、顺应自然、保护自然,是全面建设社会主义现 代化国家的内在要求。 为响应党的号召,某市政府欲购进一批风景树绿化荒山,已知购进 A 种 风景树 4 万棵、B 种风景树 3 万棵,共需要 380 万元;购进 A 种风景树 8 万棵、B 种风景树 5 万 棵,共需要 700 万元。 (1)问 A,B 两种风景树每棵的进价分别为多少元? (2)该市政府计划用不超过 5 460 万元购进 A,B 两种风景树共 100 万棵,其中要求 A 种风景树 的数量不多于 58 万棵,则共有几种购买方案? 2. 八年级(2)班王老师对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰。 她到商场购买了甲、乙两 种笔记本作为奖品,若购买甲种笔记本 15 个、乙种笔记本 20 个,共花费 1 020 元;若购买甲种笔 记本 10 个、乙种笔记本 25 个,共花费 1 030 元。 (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元; (2)王老师决定再次购买甲、乙两种笔记本共 35 个,并且要求此次购买甲、乙两种笔记本的总费 用不低于 1 016 元,不超过 1 020 元,问共有多少种购买方案? 请通过计算一一列举出来。 易错典例六 如图,已知一次函数 y1 = 4x+b 的图象与 x 轴、一次函数 y2 =x-2 的图象分别交于点 C,D,点 D 的坐标 为(-2,m)。 若在 x 轴上存在点 E,使得以点 C,D,E 为顶点的三角形是直角三角形,请写出点 E 的 坐标: 。 【易错警示】求一次函数的表达式或求点的坐标时,在情况不确定的情况下,要注意分类讨论。 变式练习 1. 在平面直角坐标系中,一次函数 y= kx+b(k≠0)的图象过点 A(0,4),B( -4,0)。 (1)这个一次函数的表达式为　 　 　 　 ; (2)已知点 C 在 x 轴上,且△ABC 的面积为 12,求点 C 的坐标。 2. 如图,已知直线 y= - 3 4 x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A,B,将△AOB 沿直线 CD 折叠,使点 A 与 点 B 重合。 折痕 CD 与 x 轴交于点 C,与 AB 交于点 D。 (1)点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)求 OC 的长度,并求出此时直线 BC 的表达式; (3)过点 B 作直线 BP 与 x 轴交于点 P,且使 OP= 1 2 OA,求△ABP 的面积。 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线 l1:y= k1x+b(k1≠0)经过点 A(4,0),B(0,2),与直线 l2:y = k2x (k2≠0)交于点 P(a,1)。 (1)求直线 l1,l2 的表达式; (2)C 为直线 l1 上一点,过点 C 作直线 m⊥x 轴于点 E,直线 m 交 l2 于点 D。 当 CD= 3ED 时,求 点 C 的坐标。 · 44·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·73　 · Q 的运动轨迹是以点 F 为圆心,1 为半径的弧。 ∵ 在 正方形 ABCD 中,AB = 4,∴ CD = BC = AB = 4。 ∵ M 是 CD 的中点,∴ CM = 1 2 CD = 2。 ∴ BM = BC2 +CM2 = 2 5 。 ∵ ∠MBF = 90°,BM=BF,MF2 = BM2+BF2 ,∴ MF = 2BM = 2 10。 ∵ MQ≥MF-QF,∴ MQ≥2 10 - 1。 ∴ MQ 的最小值为 2 10 -1。 专项突破六　 易错题专练 易错典例一 A　 【解析】 原式 = (a- 1 a ) 2 - (a+ 1 a ) 2 = a- 1 a - a+ 1 a 。 当-1<a<0 时,a- 1 a >0,a+ 1 a <0,∴ 原式= a- 1 a + a+ 1 a = 2a。 故选 A。 变式练习 1. B 2. C　 【解析】由题意,得 2-x≥0,解得 x≤2。 ∴ x-3<0。 原 式=2-x+ x-3 = 2-x-( x-3)= 2 -x-x+ 3 = 5 - 2x。 故 选 C。 3. A　 【解析】由数轴可得 0<b< 3,a<- 3。 ∴ 3 -b>0,a+ 3 <0. ∴ 原式= 3 -b-a- 3 -a= -2a-b。 故选 A。 4.解:由三角形的三边关系定理,得 3+5>c,5-3<c, 即 2<c<8。 ∴ c-2>0,c-8<0。 ∴ 原式= (c-2) 2 - 1 4 (c-8) 2 = | c-2 | - 1 2 | c-8 | = c-2- 1 2 (8-c)= 3 2 c-6。 5.解:∵ a= 2- 3 >0,a-1 = 1- 3 <0, ∴ 原式= (a +1)(a-1) a-1 - a-1 a2 -a - 1 a = a+1- 1 -a a(a-1) - 1 a = a+1+ 1 a - 1 a =a+1。 当 a= 2- 3时,原式= 2- 3 +1 = 3- 3 。 易错典例二 A　 【解析】当∠B 为锐角时,如图 1,在Rt△ABD 中,BD= AB2-AD2 = 132-122 = 5 ( cm ); 在 Rt △ADC 中, CD= AC2-AD2 = 202-122 =16(cm)。 ∴ BC =BD+DC = 5+16 = 21(cm)。 ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×21×12 = 126(cm2)。 图 1 　 　 　 图 2 当∠B 为钝角时,如图 2,∴ BC=CD-BD= 16-5 = 11(cm)。 ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×11×12 = 66( cm2)。 综上所述, △ABC 的面积为 126 cm2 或 66 cm2。 故选 A。 变式练习 1. D　 【解析】①当 6 和 8 均是直角边时,斜边为 62 +82 = 10,则这个直角三角形的周长为 6+8+10 = 24;②当 6 为 直角边,8 为斜边时,另一直角边为 82 -62 = 2 7 ,则这 个直角三角形的周长为 6+8+2 7 = 14+2 7 。 故选 D。 2. C　 【解析】当高 AD 在 BC 上时,如图 1。 ∵ AD⊥BC, ∴ 在 Rt △ABD 中,由勾股定理,得 BD = AB2 -AD2 = 72 -62 = 13 。 同理可得,DC= 2 7 。 ∴ BC=DC+BD= 2 7 + 13 。 当高 AD 在 CB 的延长线上时,如图 2。 BC =DC-BD= 2 7 - 13 。 综上所述,BC 的长是 2 7 + 13 或 2 7 - 13 。 故选 C。 图 1 　 　 　 　 图 2 3. D　 【解析】当腰为 4 时,则第三边也为腰,此时 0<6<4+ 4 = 8,故 4,4,6 可构成三角形,∴ 底边上的高为 42 -32 = 7 ,则三角形的面积为 1 2 ×6× 7 = 3 7 ;当腰为 6 时, 则第三边也为腰,此时 0<4<6+6 = 12,故 4,6,6 可构成 三角形,∴ 底边上的高为 62 -22 = 4 2 ,则三角形的面 积为 1 2 ×4×4 2 = 8 2 。 综上所述,三角形的面积为 3 7 或 8 2 。 故选 D。 易错典例三 解:(1)∵ ∠ABC= 90°,AB= 16 cm,BC= 12 cm, ∴ AC2 =AB2 +BC2 = 162 +122 = 400。 ∴ AC= 20 cm。 ∵ S△ABC = 1 2 AB·BC= 1 2 AC·BD, ∴ BD= 12 ×16 20 = 48 5 (cm)。 (2)当点 P 在线段 CA 上时,S△PBC = 1 2 PC·BD= 36, ∴ PC= 15 2 cm。 此时 t= 15 2 。 当点 P 在线段 AB 上时,S△PBC = 1 2 BP·CB= 36, ∴ BP= 6 cm。 此时 t= 20+16-6 = 30。 ∴ 当 t 为15 2 或 30 时,△PBC 的面积为 36 cm2。 变式练习 解:(1)∵ ∠ACB=90°,∴ △ABC 是直角三角形。 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC = AB2 -BC2 = 52 -42 = 3 ( cm)。 故答案为 3。 (2)点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上时,如图 1,作 AB 的 垂直平分线 DE,交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,连接 AE。 　 　 图 1 ∵ DE 是线段 AB 的垂直平分线, ∴ AD=BD= 1 2 AB,AE=BE。 ①当点 P 运动到点 D 时, ∵ AB= 5 cm,点 P 从点 A 出发,以每秒 1 cm 的速度运动, ∴ t1 = 5 2 。 ②当点 P 运动到点 E 时, 设 BE= x cm,则 EC= (4-x)cm。 ∵ AE=BE, ∴ AE= x cm。 在 Rt△AEC 中,由勾股定理,得 AE2 =AC2 +EC2, 即 32 +(4-x) 2 = x2。 解得 x= 25 8 ,即 BE= 25 8 cm。 ∴ AB+BE= 65 8 cm。 ∴ t2 = 65 8 。 综上所述,若点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上,此时 t 的 值为 5 2 或 65 8 。 　 　 图 2 (3)①当 AP=AC 时,如图 2 所示。 ∵ AC= 3 cm, ∴ AP= 3 cm。 ∴ t1 = 3。 ②当 AC=PC 时,如图 3 所示。 若点 P 运动到点 P1 时,AC =P1C,过点 C 作 CH⊥AB,交 AB 于点 H。 　 　 图 3 ∵ S△ABC = 1 2 BC · AC = 1 2 AB · CH, AB = 5 cm,BC= 4 cm,AC= 3 cm,∴ CH= 12 5 cm。 在 Rt △AHC 中, 由 勾 股 定 理, 得 AH = AC2 -CH2 = 9 5 cm。 又∵ AC=P1C,∴ AP1 = 2AH= 18 5 cm。 ∴ t2 = 18 5 。 若点 P 运动到点 P2 时,AC=P2C。 ∵ AC= 3 cm,∴ P2C= 3 cm。 ∴ BP2 =BC-P2C= 1 cm。 ∴ AB+BP2 = 5+1 = 6(cm)。 ∴ t3 = 6。 综上所述,△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形时,t 的值为 3 或18 5 或 6。 易错典例四 3≤a<4　 【解析】解不等式 x+a≥0,得 x≥-a。 解不等式 1-2x>0,得 x< 1 2 。 ∴ 不等式组的解集为-a≤x< 1 2 。 ∵ 此 不等式组恰有 4 个整数解,∴ 这 4 个整数解为-3,-2,-1, 0。 ∴ -4<-a≤-3。 ∴ 3≤a<4。 变式练习 1. A　 【解析】 x-a≥0,① 2x<4,②{ 解不等式①,得 x≥a。 解不等 式②,得 x<2。 ∴ 不等式组的解集为 a≤x<2。 ∵ 不等 式组 x-a≥0, 2x<4{ 只有三个整数解,∴ 这三个整数解为 -1,0,1。 ∴ -2<a≤-1。 故选 A。 2. 5　 【解析】由二元一次方程组 x+y=m, x-y= 21-4m,{ 得 x= 21 -3m 2 , y= 5m -21 2 。 ì î í ï ï ï ï ∵ 二元一次方程组的解是正整数, ∴ 21-3m 2 ≥1, 5m-21 2 ≥1。 ì î í ï ï ï ï 解得 23 5 ≤m≤19 3 。 ∴ m= 5 或 6。 当 m = 5 时,x= 3,y = 2;当 m = 6 时,x = 1. 5,不符合题意,舍去。 ∴ m= 5。 由不等式组 5x-4m>0, x+2≤8{ 得 4m 5 <x≤6。 ∵ 关于 x 的不等式组有且仅有 2 个整数解,∴ 这 2 个整 数解为 5,6。 ∴ 4≤4m 5 <5。 解得 5≤m<25 4 。 ∴ m 的值 是 5。 易错典例五 解:(1)设租用 A 型货车 x 辆,则 B 型货车(9-x)辆。 根据题意,得 5x+8(9-x)≥58, x≥2。{ 解得 2≤x≤4 2 3 。 ∵ x 和 9-x 是正整数, ∴ x 可取 2,3,4。 因此有 3 种方案: ①租用 A 型货车 2 辆、B 型货车 7 辆; ②租用 A 型货车 3 辆、B 型货车 6 辆; ③租用 A 型货车 4 辆、B 型货车 5 辆。 (2)租用 A 型货车 2 辆、B 型货车 7 辆时, 运费为 1 000×2+1 200×7 = 10 400(元); 租用 A 型货车 3 辆、B 型货车 6 辆时, 运费为 1 000×3+1 200×6 = 10 200(元); 租用 A 型货车 4 辆、B 型货车 5 辆时, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 运费为 1 000×4+1 200×5 = 10 000(元)。 ∵ 10 000<10 200<10 400, ∴ 租用 A 型货车 4 辆、B 型货车 5 辆时,运费最少,最少运 费是 10 000 元。 变式练习 1.解:(1)设 A 种风景树每棵的进价为 x 元,B 种风景树 每棵的进价为 y 元。 根据题意,得 4x+3y= 380, 8x+5y= 700。{ 解得 x= 50, y= 60。{ ∴ A 种风景树每棵的进价为 50 元,B 种风景树每棵的 进价为 60 元。 (2)设购进 A 种风景树 m 万棵,则 B 种风景树(100 - m)万棵。 根据题意,得 50m+60(100-m)≤5 460, m≤58。{ 解得 54≤m≤58。 ∵ m 是整数,∴ m 为 54,55,56,57,58。 ∴ 共有 5 种购买方案。 2.解:(1)设购买一个甲种笔记本需 x 元,一个乙种笔记 本需 y 元。 根据题意,得 15x+20y= 1 020, 10x+25y= 1 030。{ 解得 x= 28, y= 30。{ ∴ 购买一个甲种笔记本需 28 元,一个乙种笔记本需 30 元。 (2)设购买 a 个甲种笔记本,则购买(35-a)个乙种笔 记本。 根据题意,得 28a+30(35-a)≥1 016, 28a+30(35-a)≤1 020。{ 解得 15≤a≤17。 ∴ a 为整数,∴ a 可取 15,16,17。 故共有 3 种购买方案: ①购买 15 个甲种笔记本、20 个乙种笔记本; ②购买 16 个甲种笔记本、19 个乙种笔记本; ③购买 17 个甲种笔记本、18 个乙种笔记本。 易错典例六 ( -2,0)或( -18,0) 　 【解 析】∵ 点D(-2,m)在一次函 数 y2 =x-2 上,∴ m= -2-2 = -4。 ∴ 点 D 的 坐 标 为 (-2,-4)。 ∵ 点 D( - 2,- 4) 在一次函数 y1 = 4x + b 上, ∴ -4 = 4×(-2)+b。 解得 b = 4。 ∴ y = 4x+4。 当 y= 0 时,x = -1。 ∴ 点 C 的坐标为(-1,0)。 如图,当点 E 为直角顶 点时,过点 D 作 DE1 ⊥x 轴于点 E1。 ∵ 点 D( - 2,- 4), ∴ 点 E1(-2,0)。 当点 C 为直角顶点时,x 轴上不存在点 E;当点 D 为直角顶点时,过点 D 作 DE2⊥CD 交 x 轴于点 E2。 设点 E2( t,0)。 ∵ 点 C(-1,0),E1(- 2,0),∴ CE2 = -1-t,E1E2 = -2-t。 ∵ 点 D(-2,-4),∴ DE1 = 4,CE1 = -1- (-2)= 1。 在Rt△DE1E2 中,DE2 2 =DE1 2 +E1E2 2 = 42 +(-2- t)2 = t2 + 4t+ 20;在 Rt △CDE1 中,CD2 = CE1 2 +DE1 2 = 12 + 42 = 17;在 Rt△CDE2 中,CE22 =DE22 +CD2,∴ (-1-t)2 = t2 + 4t+20+17。 解得 t = -18。 ∴ 点 E2( -18,0)。 综上所述, 点 E 的坐标为(-2,0)或(-18,0)。 变式练习 1.解:(1)∵ 一次函数 y = kx+b( k≠0)的图象过点 A(0, 4),B( -4,0),∴ b= 4, -4k+b= 0。{ 解得 b= 4, k= 1。{ ∴ 一次函数的 表达式为 y= x+4。 故答案为 y= x+4。 (2)∵ 点 C 在 x 轴上,∴ 设点 C(c,0),则 BC= | -4-c | 。 ∵ △ABC 的面积为 12,点 A(0,4), ∴ 1 2 × | -4-c | ×4 = 12。 解得 c= 2 或-10。 ∴ 点 C 的坐标为(2,0)或( -10,0)。 2.解:(1)令 y= 0,则 x= 4;令 x = 0,则 y = 3。 故点 A 的坐 标为(4,0),点 B 的坐标为(0,3)。 故答案为(4,0);(0,3)。 (2)如图 1,连接 BC。 设 OC= x。 ∵ 点 A(4,0),B(0,3),∴ OA= 4,OB= 3。 ∵ △ABC 沿直线 CD 折叠,点 A 与点 B 重合, ∴ AC=BC= 4-x。 ∵ ∠BOA= 90°, 图 1 ∴ OB2 +OC2 =BC2, 即 32 +x2 = (4-x) 2。 解得 x= 7 8 。 ∴ OC= 7 8 。 ∴ 点 C 的坐标为( 7 8 ,0)。 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b(k,b≠0)。 将点 B(0,3),C( 7 8 ,0)代入,得 b= 3, 7 8 k+b= 0。 ì î í ïï ï 解得 k= -24 7 , b= 3。 ì î í ïï ï ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -24 7 x+3。 (3)如图 2,过点 B 作直线 BP 交 x 轴于点 P,使 OP = 1 2 OA。 ∵ 点 A 的坐标为(4,0),点 B 的坐标为(0,3), 图 2 ∴ OA= 4,OB= 3。 ∵ OP= 1 2 OA,∴ OP= 2。 ∴ 点 P 的坐标为(2,0), 点 P′的坐标为( -2,0)。 ∴ AP= 2,AP′= 6。 ∴ S△ABP = 1 2 AP·OB= 1 2 ×2×3 = 3, S△ABP′ = 1 2 AP′·OB= 1 2 ×6×3 = 9。 综上所述,△ABP 的面积为 3 或 9。 3.解:(1)∵ 直线 l1:y=k1x+b(k1≠0)经过点 A(4,0),B(0,2), ∴ b= 2, 0 = 4k1 +b。{ 解得 k1 = - 1 2 , b= 2。 ì î í ïï ï ∴ 直线 l1 的表达式为 y= - 1 2 x+2。 当 y= 1 时,- 1 2 x+2 = 1,解得 x= 2。 ∴ 点 P(2,1)。 ∴ 1 = 2k2。 解得 k2 = 1 2 。 ∴ 直线 l2 的表达式为 y= 1 2 x。 (2)设点 C( t,- 1 2 t+2),点 D( t, 1 2 t),点 E( t,0)。 ∴ CD= - 1 2 t+2- 1 2 t = -t+2 ,DE= 1 2 t 。 ∵ CD= 3ED,∴ -t+2 = 3× 1 2 t 。 解得 t= 4 5 或-4。 当 t= 4 5 时,- 1 2 t+2 = 8 5 ;当 t= -4 时,- 1 2 t+2 = 4。 ∴ 点 C 的坐标为( 4 5 , 8 5 )或( -4,4)。 期末学业水平测试 1. C 2. C　 【解析】由题图可知图中阴影部分的每一块关于平 行四边形的中心对称的图形都在平行四边形上,且都 是非阴影的部分,则阴影部分的面积为 1 2 S▱ABCD = 1 2 × 6×5 = 15。 故选 C。 3. B　 【解析】∵ 9>7>4,∴ 3> 7 >2。 故选 B。 4. A　 【解析】4 的算术平方根是 2,故①正确;5 是 125 的 立方根,故②错误;立方根等于它本身的数是 0 和±1, 故③错误;(-1) 2 的平方根是±1,故④错误。 ∴ 正确的 有 1 个。 故选 A。 5. A　 【解析】两个方程相减,得 x-y= k+1。 ∵ -1<x-y<0, ∴ -1<k+1<0。 解得-2<k<-1。 故选 A。 6. C　 【解析】∵ 16<19<25,∴ 4< 19 <5。 ∴ 9<5+ 19 < 10。 ∵ 4 5 = 80 ,∴ 8< 80 <9。 ∴ 10< 80 +2<11,即 10<4 5 +2<11。 ∵ 5+ 19 ≤x≤4 5 +2,∴ x 的值为 10。 故选 C。 7. C　 【解析】A. ∵ AD∥BC,AD=BC,∴ 由一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形,能判定四边形 ABCD 是平 行四边形。 故本选项不符合题意;B. ∵ AD∥BC,AB∥ DC,∴ 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能 判定四边形 ABCD 是平行四边形。 故本选项不符合题 意;C. AB=DC,但 AB 和 CD 不一定平行,因此不能判定四 边形 ABCD 是平行四边形,故本选项符合题意;D. ∵ AD∥ BC,∴ ∠ADB= ∠CBD。 又∵ ∠A= ∠C,BD=DB,∴ △ABD ≌△CDB(AAS)。 ∴ AD =CB。 能判定四边形 ABCD 是 平行四边形,故本选项不符合题意。 故选 C。 8. A　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC = BC = 4. 5。 由旋转的性质可得 BD = BE,AE = CD,∠DBE = 60°。 ∴ △BDE 是等边三角形。 ∴ DE = BD = 4。 故△ADE 的 周长为 AE+AD+DE=CD+AD+DE = AC+DE = 4. 5+4 = 8. 5。 故选 A。 9. A　 【解析】如图,设 AF 交 BC 于点 K。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ABK = 90°。 ∴ ∠KAB + ∠AKB = 90°。 ∵ 将 Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转,得到△CBG, ∴ ∠KAB = ∠BCG。 ∵ ∠AKB = ∠CKF, ∴ ∠BCG + ∠CKF= 90°。 ∴ ∠KFC = 90°。 ∴ AF⊥CG。 故①正确; ∵ 将 Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转,∴ ∠AEB = ∠CGB = 90°, BE = BG, ∠ABE = ∠CBG。 ∴ ∠ABE + ∠EBK= ∠CBG+∠EBK,即∠ABC = ∠EBG = 90°。 又∵ ∠BEF= 90°,∴ ∠BEF = ∠EBG = ∠CGB = 90°。 ∴ 四边 形 BEFG 是矩形。 又∵ BE = BG,∴ 四边形 BEFG 是正 方形。 故②正确; 如图,过点 D 作 DH⊥AE 于点 H。 ∵ DA=DE,DH⊥AE, ∴ AH= 1 2 AE,∠ADH+∠DAH = 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ AD = AB,∠DAB = 90°。 ∴ ∠DAH+ ∠EAB = 90°。 ∴ ∠ADH= ∠BAE。 又∵ AD = BA,∠AHD = ∠BEA = 90°,∴ △ADH≌△BAE(AAS)。 ∴ AH = BE = 1 2 AE。 ∵ 将 Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转,∴ AE = CG。 ∵ 四边形 BEFG 是正方形,∴ BE = GF。 ∴ GF = 1 2 CG。 ∴ CF=FG。 故③正确。 ∴ 正确的是①②③。 故选 A。 10. C　 【解析】如图,过点 A1 作 A1B⊥x 轴于点 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 74·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册