专项突破二 用勾股定理及其逆定理解决实际问题-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·35　 · 专项突破二　 用勾股定理及其逆定理解决实际问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、判断是否构成直角 1. 图 1 是某品牌婴儿车,图 2 是其简化结构示意图。 根据安全标准需满足 BC⊥CD,现测得 AB = CD= 6 dm,BC= 3 dm,AD= 9 dm,其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接(即∠ABD = 90°),通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准。 图 1 　 　 图 2 2. 如图,某港口 P 位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固 定方向航行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里,它们离开港口 2 小时 后分别位于 Q,R 处,且相距 40 海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿 哪个方向航行吗? 3. 某区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地边角地、闲置地,在摸排中发现,在某住宅建成区 一处闲置地,城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”。 如图,四边形 ABCD 为该住宅建 成区一处闲置地,经过测量得知∠C= 90°,AB= 20 m,AD= 15 m,BC= 7 m,CD= 24 m。 (1)连接 BD,试求 BD 的长; (2)该块闲置用地相关政府部门计划投入 24 万元进行打造,经测算,每平方米打造的费用为 1 000 元,请你计算说明将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用是否够用? 二、求垂直距离 4. 已知钓鱼杆 AC 的长为 10 m,露在水上的鱼线 BC 长为 6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼 竿 AC 转动到 AC′的位置,此时露在水面上的鱼线 B′C′的长度为 8 m,则 BB′的长为 (　 　 ) A. 4 m B. 3 m C. 2 m D. 1 m 5. 某路段限速标志规定:小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 70 km / h。 如图,一辆小汽车在该 笔直路段 l 上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪 A 的正前方 30 m 的点 C 处,2 s 后 小汽车行驶到点 B 处,测得此时小汽车与车速检测仪 A 间的距离为 50 m。 (1)求 BC 的长; (2)这辆小汽车超速了吗? 并说明理由。 6. 某商场准备开展元旦促销活动,现采用移动车进行广播宣传。 如图,移动广播车 P 在笔直的公 路 MN 上以 200 米 /分的速度沿 PN 方向行驶,小丽的家在公路的一侧,到公路的距离 AB= 300 米。 假如移动广播车 P 周围 500 米以内能听到广播宣传,小丽在家能够听到广播宣传吗? 若能,请 求出她总共能听到多长时间的广播宣传? 若不能,请说明理由。 7. 如图,某小区有两个喷泉 A,B,两个喷泉的距离长为 125 m。 现要为喷泉铺设供水管道 AM,BM, 供水点 M 在小路 AC 上,供水点 M 到 AB 的距离 MN 的长为 60 m,BM 的长为 75 m。 (1)求供水点 M 到喷泉 A,B 需要铺设的管道总长; (2)求喷泉 B 到小路 AC 的最短距离。 三、求两地(两点)的距离 8. 如图,某公园的一块草坪旁边有一条直角小路,公园管理处为了方便群众,沿 AC 修了一条近路, 已知 AB= 4 米,BC= 3 米,则这条近路 AC 长 (　 　 ) A. 2 米 B. 3 米 C. 4 米 D. 5 米 9. 一部电视机屏幕的长为 58 厘米,宽为 46 厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误差忽略 不计) (　 　 ) A. 34 英寸(87 厘米)　 B. 29 英寸(74 厘米)　 C. 25 英寸(64 厘米)　 D. 21 英寸(54 厘米) 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 如图,两艘航母护卫舰从同一港口 O 同时出发,1 号舰沿东偏南 60°方向以 9 节(1 节= 1 海里 /时) 的速度航行,2 号舰沿南偏西 60°方向以 12 节的速度航行,离开港口 2 小时后它们分别到达 A, B 两点,此时两舰的距离为 (　 　 ) A. 9 海里　 B. 12 海里　 C. 15 海里　 D. 30 海里 11. 如图,某人到岛上去探宝,从 A 处登陆后先往东走 4 km,又往北走 1. 5 km,遇到障碍后又往西走 2 km,再折回向北走到 4. 5 km 处往东一拐,仅走 0. 5 km 就找到宝藏。 问登陆点 A 与宝藏埋藏 点 B 之间的距离为多少? 12. 长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所。 某校八年级(1)班 的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度 CE,他们进行了如下操作: ①测得水平距离 BD 的长为 15 米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米; ③牵线放风筝的小明的身高为 1. 6 米。 (1)求风筝的垂直高度 CE; (2)如果小明想让风筝沿 CD 方向下降 12 米,则他应该往回收线多少米? 四、“梯子的滑动”问题 13. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0. 7 米, 顶端距离地面 2. 4 米。 若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,则 小巷的宽度为 (　 　 ) A. 0. 7 米　 B. 1. 5 米　 C. 2. 2 米　 D. 2. 4 米 14. 如图,某火车站内部墙面 MN 上有破损处(看作点 A),现维修师傅需借助梯子 DE 完成维修工 作。 梯子的长度为 5 m,将其斜靠在这面墙上,测得梯子底部 E 离墙角 N 处 3 m,维修师傅爬到 梯子顶部使用仪器测量,此时梯子顶部 D 距离墙面破损处 1 m。 (1)该火车站墙面破损处 A 距离地面有多高? (2)若维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为 4. 8 m,则梯子底部需向墙角方向移动多少米? 五、最短路径问题 15. 如图,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图,该 U 型池可以看成是长方体去掉一个 “半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是直径为40 π m 的半圆,其边缘 AB=CD= 20 m,点 E 在 CD 上,CE= 5 m,一滑板爱好者从点 A 滑到点 E,则他滑行的最短距离为多少米? 16. 如图,两个一样的长方体礼品盒,其底面是边长为 15 cm 的正方形,高为 20 cm。 现有彩带若干 (足够用),数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒(假设彩带完 美贴合长方体礼品盒)。 (1)如图 1,小明从底面点 A 开始均匀缠绕长方体侧面,刚好缠绕 2 周到达点 B,求所用彩带的 长度; (2)如图 2,小刚沿着长方体的表面从点 C 缠绕到点 D,点 D 与点 E 的距离为 5 cm,请问小刚所 需要的彩带最短为多少? (注:以上两问均要求画出平面展开示意图,再解答) 图 1 　 图 2 · 36·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 ∴ ∠BDC= ∠BDO+∠ODC= 60°+90° = 150°。 (2)当 OA2 +2OB2 =OC2 时,∠ODC= 90°。 证明:∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ ∠OBD= ∠ABC= 90°,OB=DB,DC=OA。 ∴ △OBD 为等腰直角三角形。 ∴ OD= OB2 +DB2 = 2OB。 ∵ 当 DC2 +OD2 =OC2 时,∠ODC= 90°, ∴ 当OA,OB,OC满足OA2+2OB2 =OC2 时,∠ODC=90°。 专项突破一　 特殊四边形的性质与判定 1. (6,4)或( -6,4)或(0,-4) 【解析】 ∵ 点 A ( - 3, 0),B (3,0),C(0,4),∴ OA = OB = 3,OC= 4,AB=OA+OB = 6。 如图,分三种情况:①当 AB∥ CD,AC∥BD 时,点 D 的坐标 为(6,4);②当 AB∥CD′,AD′∥BC 时,点 D′的坐标为 (-6,4);③当 AD″∥BC,AC∥BD″时,点 D″的坐标为(0,-4)。 综上所述,点 D 的坐标为(6,4)或(-6,4)或(0,-4)。 2. (1)证明:∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ DE∥BC,即 DF∥BC。 ∵ CF∥AB,∴ 四边形 BCFD 是平行四边形。 (2)解:∵ AB=BC,E 是边 AC 的中点, ∴ BE⊥AC,AC= 2AE。 ∵ D 是边 AB 的中点,∴ AB= 2BD= 4。 在 Rt△ABE 中,AE= AB2 -BE2 = 42 -32 = 7 , ∴ AC= 2AE= 2 7 。 3.解:(1)如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,设 AC 交 PE 于点 N。 ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°, ∴ ∠C= 45° = ∠B。 ∴ AB=AC。 ∴ BM=CM。 ∴ AM= 1 2 BC= 5。 ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN= ∠C= 45°。 ∵ PE⊥BC,∴ PE∥AM。 ∴ 四边形 AMEP 为平行四边 形。 ∴ PE=AM= 5,PE⊥AD。 ∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形。 由题意,得 PA= t,QC= 2t。 ∴ PN=PA= t,CE=EN= 5-t。 ∵ CE=QC-QE= 2t-2, ∴ 5-t= 2t-2。 解得 t= 7 3 。 ∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 。 (2)存在。 若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 PA =BE, 分两种情况:①当点 E 在线段 BC 上时,BE=BC-CE,即 t= 10-2t+2,解得 t= 4。 ②当点 E 在线段 CB 的延长线上时,BE =CE-BC,即 t = 2t-2-10,解得 t= 12。 ∴ 存在 t= 4 或 12,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形。 4. A 　 【解析】 如 图, 连 接 AD。 ∵ ∠BAC= 90°,且 AB = 6,AC = 8,∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 10。 ∵ DM ⊥ AB, DN ⊥ AC, ∴ ∠DMA= ∠DNA = ∠BAC = 90°。 ∴ 四边形 DMAN 是 矩形。 ∴ MN=AD。 ∴ 当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,即 MN 的值最小。 此时,S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 BC·AD。 ∴ AD= AB·AC BC = 6×8 10 = 4. 8。 ∴ MN 的最小值为 4. 8。 故选 A。 5. (1)证明:∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 DOCE 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠COD= 90°。 ∴ 四边形 DOCE 是矩形。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OC= 1 2 AC= 3,OD= 1 2 BD= 4。 ∴ CD= OC2 +OD2 = 32 +42 = 5。 由(1),得四边形 DOCE 是矩形。 ∴ OE=CD= 5。 ∴ EF= 1 2 OE= 5 2 。 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC。 ∴ ∠ABE= ∠CDF。 ∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点, ∴ BE= 1 2 OB,DF= 1 2 OD。 ∴ BE=DF。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, BE=DF, ì î í ïï ïï ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 (2)解:当 AC= 2AB 时,四边形 EGCF 是矩形。 理由如下, ∵ AC= 2OA,AC= 2AB,∴ AB=OA。 ∵ E 是 OB 的中点, ∴ AE⊥OB,即 AG⊥OB。 ∴ ∠OEG= 90°。 同理可得 CF⊥OD,∴ AG∥CF。 ∴ EG∥CF。 ∵ EG=AE,OA=OC, ∴ OE 是△ACG 的中位线。 ∴ OE∥CG。 ∴ EF∥CG。 ∴ 四边形 EGCF 是平行四边形。 ∵ ∠OEG= 90°,∴ 平行四边形 EGCF 是矩形。 7. 2　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA=OC,OB =OD = 1 2 BD,BD⊥AC。 ∴ BD= 2OB= 8。 ∵ S菱形ABCD = 1 2 AC· BD= 16,∴ AC= 4。 ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC = 90°。 ∴ OE = 1 2 AC= 2。 8.证明:(1)∵ △ABC≌△ABD,∴ ∠ABC= ∠ABD。 ∵ CE∥BD,∴ ∠CEB= ∠DBE。 ∴ ∠CEB= ∠CBE。 (2)∵ △ABC≌△ABD,∴ BC=BD。 ∵ ∠CEB= ∠CBE,∴ CE=CB。 ∴ CE=BD。 ∵ CE∥BD,∴ 四边形 BCED 是平行四边形。 ∵ BC=BD,∴ 平行四边形 BCED 是菱形。 9. (1)证明:∵ EF 是 AC 的垂直平分线, ∴ OA=OC,∠AOE= ∠COF= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠EAO= ∠FCO。 在△AEO 和△CFO 中, ∠EAO= ∠FCO, OA=OC, ∠AOE= ∠COF, ì î í ïï ïï ∴ △AEO≌△CFO(ASA)。 ∴ OE=OF。 又∵ OA=OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 又∵ EF⊥AC,∴ 四边形 AECF 是菱形。 (2)解:设 AF= x。 ∵ EF 是 AC 的垂直平分线,BC= 16, ∴ AF=CF= x,BF= 16-x。 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AB2 +BF2 =AF2, 即 82 +(16-x) 2 = x2。 解得 x= 10。 ∴ AF= 10。 ∴ 菱形 AECF 的周长为 4×10 = 40。 10. B　 【解析】设 AC = a,BC = b。 ∵ 四边形 ACDE 是正方 形,∴ CD=AC=a。 ∵ 四边形 BCFG 是正方形,∴ FG = BC= b,GF⊥CD。 ∵ AB = 9 2 ,∴ a+b = 9 2 。 ∵ △CDG 的 面积为 7 4 ,∴ 1 2 ab = 7 4 ,即 2ab = 7。 ∴ (a+b) 2 = 81 4 ,即 a2 +2ab+b2 = 81 4 。 ∴ a2 +b2 = 81 4 -7 = 53 4 。 ∴ 正方形 ACDE 与正方形 BCFG 的面积和为53 4 。 故选 B。 11.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠B= 90°。 ∵ EF⊥AB,EG⊥BC, ∴ ∠BFE= 90°,∠BGE= 90°。 ∴ ∠B= ∠BFE= ∠BGE= 90°。 ∴ 四边形 BFEG 是矩形。 (2)∵ 正方形 ABCD 的周长为 40 cm, ∴ AB= 40÷4 = 10(cm)。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∠EAF= 45°。 ∴ △AEF 是等腰直角三角形。 ∴ AF=EF。 ∵ AF= 5 cm,AB= 10 cm, ∴ EF=AF= 5 cm,BF=AB-AF= 5 cm。 ∴ EF=BF= 5 cm。 ∵ 四边形 BFEG 是矩形, ∴ 四边形 BFEG 是正方形。 12.证明:(1)∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,即∠ADC= 90°。 ∵ AD 是∠BAC 的平分线,AE 是∠BAC 的邻补角的平 分线,∴ ∠DAC= 1 2 ∠CAB,∠CAE= 1 2 ∠FAC。 ∵ ∠CAB+∠FAC= 180°, ∴ ∠DAC+∠CAE= 90°,即∠DAE= 90°。 又∵ CE⊥AE,∴ ∠ADC= ∠AEC= ∠DAE= 90°。 ∴ 四边形 ADCE 是矩形。 (2)如图,连接 DE 交 AC 于点 O。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形, ∴ AC=DE,OE=OD,OA=OC。 ∴ OC=OD。 ∴ ∠OCD= ∠ODC。 ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB。 ∴ ∠B= ∠OCD= ∠ODC。 ∵ ∠AOE= ∠COD= 2∠B, ∴ 2∠B+∠OCD+∠ODC= 180°。 ∴ 4∠B= 180°。 ∴ ∠B= 45°。 ∴ ∠CAD= ∠ACD= 45°。 ∴ AD=CD。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形,∴ 矩形 ADCE 是正方形。 专项突破二　 用勾股定理及其逆定理解决实际问题 1.解:在 Rt△ABD 中,BD2 =AD2 -AB2 = 92 -62 = 45。 在 Rt△BCD 中,BC2 +CD2 = 32 +62 = 45。 ∴ BC2 +CD2 =BD2。 ∴ ∠BCD= 90°。 ∴ BC⊥CD。 故该婴儿车符合安全标准。 2.解:由题意可得 RP= 12×2 = 24(海里), PQ= 16×2 = 32(海里),QR= 40 海里。 ∵ 322 +242 = 402, ∴ △RPQ 是直角三角形。 ∴ ∠RPQ= 90°。 ∵ “远航”号沿东北方向航行,即沿北偏东 45°方向航 行,∴ ∠SPQ= 45°。 ∴ ∠RPS= 45°。 ∴ “海天”号沿北偏西 45°(或西北)方向航行。 3.解:(1)∵ ∠C= 90°,BC= 7 m,CD= 24 m, ∴ BD= BC2 +CD2 = 72 +242 = 25(m)。 ∴ BD 的长为 25 m。 (2)∵ AB= 20 m,AD= 15 m,BD= 25 m, ∴ AB2 +AD2 = 202 +152 = 252 =BD2。 ∴ ∠A= 90°。 ∴ S四边形ABCD =S△ABD+S△BDC = 1 2 ×15×20+ 1 2 ×7+24=234(m2)。 234×1 000 = 234 000(元)。 ∵ 234 000<240 000, ∴ 将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用够用。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 68·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·69　 · 4. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,AC = 10 m,BC = 6 m,∴ AB = AC2 -BC2 = 102 -62 = 8(m)。 在 Rt△AB′C′中,AC′ = 10 m,B′C′= 8 m,∴ AB′= AC′2 -B′C′2 = 6 m。 ∴ BB′= AB-AB′= 8-6 = 2(m)。 故选 C。 5.解:(1)根据题意,得∠ACB= 90°,AC= 30 m,AB= 50 m, ∴ BC= AB2 -AC2 = 502 -302 = 40(m)。 ∴ BC 的长为 40 m。 (2)这辆小汽车超速了。 理由如下: ∵ 该小汽车的速度为 40 ÷ 2 = 20 ( m / s) = 72 km / h > 70 km / h, ∴ 这辆小汽车超速了。 6.解:∵ 小丽的家到公路的距离 AB= 300 米<500 米, ∴ 小丽在家能够听到广播宣传。 如图,假设当移动广播车行驶到点 P 开始小丽听到广 播,行驶到点 Q 小丽听不到广播, 则 AP=AQ= 500 米,AB= 300 米。 ∴ BP=BQ= 5002 -3002 = 400(米)。 ∴ PQ= 800 米。 ∵ 移动广播车的行驶速度为 200 米 /分, ∴ 她能听到广播宣传的时间为 800÷200 = 4(分)。 ∴ 她总共能听到 4 分钟的广播宣传。 7.解:(1)由题意,得 AB = 125 m。 在 Rt△MNB 中,BN = BM2 -MN2 = 752 -602 = 45(m), ∴ AN=AB-BN= 125-45 = 80(m)。 在 Rt△AMN 中,AM= AN2 +MN2 = 802 +602 = 100(m), ∴ 供水点 M 到喷泉 A,B 需要铺设的管道总长为 100+ 75 = 175(m)。 (2)∵ AB= 125 m,AM= 100 m,BM= 75 m, ∴ AB2 =BM2 +AM2。 ∴ △ABM 是直角三角形。 ∴ BM⊥AC。 ∴ 喷泉 B 到小路 AC 的最短距离是 BM= 75 m。 8. D　 【解析】∵ AB = 4 m,BC = 3 m,∠ABC = 90°,∴ AC2 = AB2 +BC2。 ∴ AC= 42 +32 = 5(米)。 故选 D。 9. B　 【解析】电视机的对角线长即为电视机的大小规格。 由题意,得这部电视机的大小规格为 582 +462 ≈74(厘 米)。 故选 B。 10. D　 【解析】如图,由题意,得 OA = 2× 9 = 18 (海里),OB = 2 × 12 = 24 (海 里), ∠AOE = 60°, ∠BOC = 60°, ∠COE = 90°, ∴ ∠AOC = ∠COE - ∠AOE = 30°。 ∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC= 90°。 在 Rt △AOB 中, AB = OA2 +OB2 = 182 +242 = 30(海里),∴ 此时两舰的距离为 30 海里。 故选 D。 11. 解:如图,过点 B 作 BC⊥AD 于点 C,则 AC = 4-2+0. 5 = 2. 5(km), BC= 4. 5+1. 5 = 6(km)。 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB2 =AC2 +BC2 = 2. 52 +62 = 6. 52。 ∴ AB= 6. 5 km。 ∴ 登陆点 A 与宝藏埋藏点 B 之间的距离为 6. 5 km。 12.解:(1)在 Rt△CDB 中,由勾股定理,得 CD2 =BC2 -BD2 = 252 -152 = 400, ∴ CD= 20 米。 ∴ CE=CD+DE= 20+1. 6 = 21. 6(米)。 ∴ 风筝的垂直高度 CE 为 21. 6 米。 (2)如图,在 CD 上取一点 M,使 CM = 12 米,连接 BM。 ∴ DM=CD-CM= 20-12 = 8(米)。 ∴ BM= DM2 +BD2 = 82 +152 = 17(米)。 ∴ BC-BM= 25-17 = 8(米)。 ∴ 他应该往回收线 8 米。 13. C　 【解析】如图,标注各点。 由题意, 得∠ACB = ∠EDB = 90°,BC = 0. 7 米, AC= 2. 5 米,DE= 2 米。 在 Rt△ABC 中, AB= AC2+BC2 = 2. 42+0. 72 = 2. 5(米)。 ∵ AB=BE,∴ BE=2.5 米。 ∴ BD= BE2-DE2 = 2.52-22 = 1.5(米)。 ∴ CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(米),即小巷的宽 度为 2. 2 米。 故选 C。 14.解:(1)由题意,得 AD = 1 m,∠DNE = 90°,DE = 5 m, NE= 3 m。 ∴ DN= DE2 -NE2 = 52 -32 = 4(m)。 ∴ AN=AD+DN= 1+4 = 5(m)。 ∴ 该火车站墙面破损处 A 距离地面有 5 m 高。 (2)梯子顶部到地面的距离为 4. 8 m 时,梯子底部与 墙角的距离为 52 -4. 82 = 1. 4(m)。 3-1. 4 = 1. 6(m)。 ∴ 梯子底部需向墙角方向移动 1. 6 m。 15.解:如图是 U 型池的表面展开图, AD= π·40 π ÷2 = 20(m), AB=CD= 20 m。 ∵ CE= 5 m, ∴ DE=CD-CE= 20-5 = 15(m)。 在 Rt△ADE 中,AE= AD2 +DE2 = 202 +152 = 25(m)。 ∴ 他滑行的最短距离为 25 m。 16.解:(1)如图 1,将长方体的侧面沿 AB 展开,取 A′B′的 中点 M,取 AB 的中点 N,连接 AM,NB′,则 AM+NB′ = 2AM 为所求的彩带长。 ∵ AM2 =AA′2 +A′M2,AA′= 4×15 = 60(cm), A′M= 1 2 ×20 = 10(cm), ∴ AM= 602 +102 = 10 37 (cm)。 ∴ AM+NB′= 2AM= 20 37 cm。 ∴ 所用彩带的长度为 20 37 cm。 图 1 (2)当上面的面与前面的面展成一个平面时,如图 2, 此时 CD= 152 +252 = 5 34 (cm); 当右边的面与前面的面展成一个平面时,如图 3,此时 CD= 202 +202 = 20 2 (cm); 当上面的面与左边的面展成一个平面时,如图 4,此时 CD= 352 +52 = 25 2 (cm)。 ∵ 25 2 >5 34 >20 2 , ∴ 小刚所需要的彩带最短为 20 2 cm。 图 2 　 　 　 图 3 　 　 　 图 4 专项突破三　 一次函数与方程、不等式的实际应用 1.解:(1)由表中的数据可知甲公司收取的费用 y(元)与 粉刷面积 x(m2)成正比例。 设函数表达式为 y甲 = kx。 把点(100,2 000)代入,得 2 000 = 100k。 解得 k= 20。 ∴ y甲 = 20x(x≥100)。 (2)根据题意,得 y乙 = 2 000+10x(x≥100)。 (3)画出函数的图象如图。 把 x= 600 代入 y甲 = 20x,得 y甲 = 20×600 = 12 000(元)。 把 x= 600 代入 y乙 = 2 000+10x,得 y乙 = 2 000+10×600 = 8 000(元)。 ∵ y甲>y乙,∴ 若该小区粉刷面积约为 600 m2,则选择乙 装饰公司施工更合算。 2.解:(1)描出各点,并连接,如图所示。 (2)由图象可知该图象是一次函数,设该函数的表达式 为 y= kx+b(k,b≠0)。 ∵ 点(1,6),(2,10)在该函数图象上, ∴ 6 = k+b, 10 = 2k+b。{ 解得 k= 4, b= 2。{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 4x+2。 (3)当 y= 12 时,4x+2 = 12,解得 x= 2. 5。 8. 5+2. 5 = 11,即当圆柱形容器液面高度达到 12 厘米时 是上午 11 点。 3.解:(1)由函数图象可知 A,B 两点之间的距离为 1 200 米, 小海等红灯的时间为 7-5 = 2(分)。 故答案为 1 200,2。 (2)由题意,得小丹的速度为1 200 15 = 80(米 /分),∴ 当 小海等红灯时,此时小丹前进了 80×2 = 160(米)。 故答 案为 160。 (3)由题意,得小海的速度为1 200 5 = 240(米 /分), 所以小海经过路口 A 后 s 与 t 的表达式为 s = 240( t-7) = 240t-1 680。 (4)当小海经过十字路口 A 前,两人距离路口 A 距离相 等时, 则 80t= 1 200-240t,解得 t= 15 4 。 当小海经过十字路口 A 后,两人距离路口 A 距离相 等时, 则 80t= 240t-1 680,解得 t= 21 2 。 综上所述,当两人距离路口 A 距离相等时,运动时间为 15 4 或 21 2 分钟。 4.解:(1)由图象可得点 P(20,8),交点 P 表示的实际意 义是当骑行时间为 20 min 时,A,B 两种品牌的共享电 动车收费都为 8 元。 (2)设 y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = k1x(k1≠0)。 将点(20,8)代入,得 20k1 = 8,解得 k1 = 0. 4。 ∴ y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = 0. 4x(x>0)。 由图象可知,当 0<x≤10 时,y2 = 6。 当 x> 10 时,设 y2 关于 x 的函数表达式为 y2 = k2x+b (k2≠0)。 将点(10,6),(20,8)代入,得 6 = 10k2 +b, 8 = 20k2 +b。 { 解得 k2 = 0. 2, b= 4。{ ∴ 当 x>10 时,y2 关于 x 的函数表达式为 y2 = 0. 2x+4。 ∴ y2 = 6(0<x≤10), 0. 2x+4(x>10)。{ (3) ① 小明 从 家 骑 行 到 工 厂 所 需 时 间 为 9 000 300 = 30(min),骑行 A 品牌共享电动车所需费用为 0. 4×30 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋