期中能力提升测试-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·17　 · 期中能力提升测试 (考试范围:第 6~ 8 章)(时间:120 分钟　 满分:150 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 有一个数不小于 a,这个数在数轴上表示正确的是 (　 　 ) A 　 B C 　 D 2. 若 a>b,则下列不等式不一定成立的是 (　 　 ) A. a-2 024>b-2 024　 B. -2 024a<-2 024b C. a c > b c 　 D. a+c>b+c 3. 若 m= 30 -3,则 m 的范围是 (　 　 ) A. 1<m<2　 B. 2<m<3　 C. 3<m<4　 D. 4<m<5 4. 对于实数 2 3 ,- 4 ,0. 666, 1 7 ,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 2 3 是分数　 B. - 4是无理数　 C. 0. 666 是分数　 D. 1 7 是无理数 5. 下列说法,不正确的是 (　 　 ) A. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB = 90°,且 BC = 2AD,分别以 AB,BC,CD 为边向 外作正方形,它们的面积分别为 S1,S2,S3。 若 S2 = 64,S3 = 9,则 S1 的值为 (　 　 ) A. 16　 B. 12　 C. 9　 D. 7 第 6 题图 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 7. 一元一次不等式组 x-2>1, x<4{ 的解集为 (　 　 ) A. -1<x<4　 B. x<4　 C. x<3　 D. 3<x<4 8. 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上的一点,已知 AC= 5,AD= 6,BD= 10,CD=5,那么△ABC 的面积为 (　 　 ) A. 30　 B. 36　 C. 72　 D. 125 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,E 是 AD 上一点,且 DE= 2,CE 的垂直平分线交 CB 的延长线于点 F,交 CD 于点 H,连接 EF 交 AB 于点 G。 若 G 是 AB 的中点,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 6　 B. 7　 C. 8　 D. 9 10. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,AF 与 DE 交于点 G,BF 与 CE 交于点 H。 下列 说法:①四边形 AECF 是平行四边形;②四边形 EHFG 是平行四边形;③当 AB⊥BC 时,四边形 EHFG 是菱形;④当 AB=BC 时,四边形 EHFG 是矩形。 其中正确的有 (　 　 ) A. ①②　 B. ①②③　 C. ①②④　 D. ①②③④ 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 在实数-5,- 3 ,0,π,3 中,最大的数是　 　 　 　 。 12. 某官方授权网店的熊猫手办每个售价 200 元,熊猫毛绒公仔每个售价 40 元,小熙打算在该网店 购买熊猫手办和熊猫毛绒公仔共 10 个送同学,费用不超过 1 500 元。 若设购买熊猫手办 x 个, 则可列不等式为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 13. (数学文化)《算法统宗》记载古人丈量田地的诗:“昨日丈量地回,记得长步整三十。 广斜相并 五十步,不知几亩及分厘。”其大意是昨天丈量了田地回到家,记得矩形田地的长为 30 步,宽和 对角线之和为 50 步。 不知该田有几亩? 请我帮他算一算,该田有　 　 　 　 亩。 (1 亩 = 240 平 方步) 14. 若关于 x 的不等式组 9-2x>1, x-m≥1{ 有 4 个整数解,则 m 的取值范围是　 　 　 　 　 。 15. 在△ABC 中,∠ABC= 60°,AB= 8,AC= 2 13 ,则 BC 的长为　 　 　 　 。 16. 如图是一张矩形纸片 ABCD,已知 CD = 8 cm,AD = 6 cm,点 E,F 在 AB 上,AE = 1 cm,BF= 3 cm,现要剪下一张等腰三角形纸片( △EFP),使点 P 落在矩形 ABCD 的某一条边上,则剪下的等腰三角形 EFP 中,其中一条边 EP 最长为 　 　 　 　 cm。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 6 -2 + 2 -1 + 6 -3 。 18. (6 分)已知一个正方体的体积是 1 000 cm3,现在要在它的 8 个角上分别截去 8 个大小相同的 小正方体,使截去后余下的体积是 488 cm3,问截得的每个小正方体的棱长是多少? 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19. (6 分)解不等式组 x+3>1, x+2(x-1)≤1,{ 并把它的解集在数轴上表示出来。 20. (8 分)如图,已知 DE,EF 是△ABC 的两条中位线。 求证:四边形 BFED 是平行四边形。 21. (8 分)如图,已知 Rt△ABC 的周长为 32 cm,且斜边 AB= 14 cm,求△ABC 的面积。 22. (8 分)某中学 20 名同学去工厂进行暑假实践活动,每名同学每天可以加工甲种零件 5 个或乙 种零件 4 个,已知每加工一个甲种零件可获利 16 元,每加工一个乙种零件可获利 24 元。 若要 使车间每天获利不低于 1 800 元,则加工甲种零件的同学至多为多少名? 23. (10 分)如图,在△OAB 中,OA =OB,分别延长 AO,BO 到点 C,D,使得 OC = OA,OD = OB,连接 AD,CD,BC。 (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)以 OA,OB 为一组邻边作▱AOBE,连接 CE,若 CE⊥BD,求∠AOB 的度数。 24. (10 分)(核心素养·几何直观)如图,经过 A 村和 B 村(将 A,B 村看成直线 l 上的点)的笔直公 路 l 旁有一块山地正在开发,现需要在 C 处进行爆破。 已知 C 处与 A 村的距离为 900 米,C 处 与 B 村的距离为 1 200 米,且 AC⊥BC。 (1)求 A,B 两村之间的距离; (2)为了安全起见,爆破点 C 周围半径 750 米范围内不得进入,在进行爆破时,公路 AB 段是否 有危险而需要封锁? 如果需要,请计算需要封锁的路段长度;如果不需要,请说明理由。 25. (12 分) (核心素养·推理能力)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,∠CAE = ∠BAC,CE⊥AE,交 AD 于点 F,连接 DE,OF。 (1)求证:OF⊥AC; (2)连接 AE,CF,已知　 　 　 　 (从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边 形 AODE 的形状,并证明你的结论。 条件①:∠BAC= 2∠ACB;条件②:△ABO 是等边三角形。 (注:如果选择条件①条件②分别进行解答,按第一个解答计分) 26. (12 分)在边长为 a 的正方形 ABCD 中,E 是 BD 上一点,过点 E 作 EF⊥AE 交射线 CB 于点 F, 连接 CE。 (1)若点 F 在边 BC 上(如图), ①求证:CE=EF; ②若 BC= 2BF,求 DE 的长; (2)若点 F 在 CB 的延长线上,BC= 2BF,请求 DE 的长。 · 18·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 ∵ ∠BCM= ∠CBN = ∠N = 90°,∴ 四边形 BCMN 是矩 形。 ∴ BN=CM= 5 ,MN=BC = 5 。 ∴ EN=MN-EM = 5 - 5 2 = 5 2 ,AN=AB+BN= 5 + 5 = 2 5 。 在 Rt△AEN 中,AE= AN2+EN2 = (2 5)2+( 5 2 )2 = 85 2 。 17.解:原式= 4-3× 1 2 = 4- 3 2 = 5 2 。 18.解:去分母,得 3(x+2) >2(1+x)。 去括号,得 3x+6>2+2x。 移项,得 3x-2x>2-6。 合并同类项,得 x>-4。 解集在数轴上表示如图。 19.解:△ACD 是直角三角形。 理由如下, ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 4 m,BC= 3 m, ∴ AC= AB2 +BC2 = 42 +32 = 5(m)。 ∵ AD= 12 m,CD= 13 m,AC2 +AD2 = 52 +122 = 169, CD2 = 132 = 169, ∴ AC2 +AD2 =CD2。 ∴ △ACD 是直角三角形。 20.解:两方程相加,得 4x-4y= 5+k,即 4(x-y)= 5+k。 ∵ x>y,即 x-y>0,∴ 4(x-y) >0。 ∴ 5+k>0。 解得 k>-5。 21.解:∵ x+11 的平方根是±4, ∴ x+11 = ( ±4) 2 = 16。 ∴ x= 5。 ∵ 4x+y-6 的立方根是 3, ∴ 4x+y-6 = 32 = 27。 ∴ y= 13。 ∴ y2 -x2 = 132 -52 = 144。 ∵ ( ±12) 2 = 144, ∴ y2 -x2 的平方根是±12。 22.解:设该店老板购进这种品牌的立式空调 x 台,则购进 这种品牌的挂式空调(50-x)台。 根据题意,得 4 000x+1 800(50-x)≤120 000。 解得 x≤13 7 11 。 ∵ x 为整数, ∴ 该店老板最多可以购进这种品牌的立式空调 13 台。 23. (1)证明:∵ E 是 AD 的中点,∴ AE=DE。 ∵ AF∥BC,∴ ∠AFE= ∠DBE,∠FAE= ∠BDE。 ∴ △AFE≌△DBE(AAS)。 ∴ AF=DB。 ∵ AD 是边 BC 上的中线, ∴ CD=BD。 ∴ AF=CD。 (2)解:四边形 ADCF 是矩形。 证明如下, 如图,连接 DF。 由(1),得 AF=BD=CD,AF∥BC。 ∴ 四边形 ABDF 与四边形 ADCF 都是平行四边形。 ∴ AB=DF。 ∵ AB=AC,∴ AC=DF。 ∴ 四边形 ADCF 是矩形。 24.解:(1)∵ AB=AD= 8,∠A= 60°, ∴ △ABD 是等边三角形。 ∴ BD=AB=AD= 8,∠ADB= 60°。 ∵ ∠ADC= 150°,∴ ∠BDC= 150°-60° = 90°。 (2)∵ 四边形 ABCD 的周长为 32, ∴ AB+AD+BC+CD= 32。 ∴ BC+CD= 32-8-8 = 16,即 BC= 16-CD。 ∵ BD= 8,BD2 +CD2 =BC2,∴ BC= 10,CD= 6。 ∴ S△BCD = 1 2 ×6×8 = 24。 25. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD∥BC,AB=BC= 4。 ∵ CG∥AE,∴ 四边形 AECG 是平行四边形。 ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC= ∠AEB= 90°。 ∴ 平行四边形 AECG 是矩形。 (2)解:如图,连接 AC。 ∵ E 是 BC 的中点,AE⊥BC,∴ AB=AC。 ∵ AB=BC,∴ AB=AC=BC。 ∴ △ABC 为等边三角形。 ∴ ∠B= ∠BAC= 60°。 在等边三角形 ABC 中,∵ AE⊥BC, ∴ ∠CAE= 1 2 ∠BAC= 30°。 同理可得∠CAF= 30°。 ∴ ∠EAF= ∠CAE+∠CAF= 30°+30° = 60°。 ∴ AE∥CG。 ∴ ∠AHC= 180°-∠EAF= 180°-60° = 120°。 (3)解:由(2),得 AC=AB=BC= 4。 ∵ ∠CAE= 30°,AE⊥BC,∴ CE= 1 2 AC= 2。 ∴ AE= AC2 -CE2 = 42 -22 = 2 3 。 ∴ S菱形ABCD =BC·AE= 4×2 3 = 8 3 。 26.解:(1)∵ ∠C= 90°,∴ ∠CFE+∠CEF= 90°。 ∴ ∠DFE+∠BEF= 360°-90° = 270°。 ∵ FA 平分∠DFE,EA 平分∠BEF, ∴ ∠AFE= 1 2 ∠DFE,∠AEF= 1 2 ∠BEF。 ∴ ∠AEF + ∠AFE = 1 2 ( ∠BEF + ∠DFE) = 1 2 × 270° = 135°。 ∴ ∠EAF= 180°-(∠AEF+∠AFE)= 45°。 故答案为 45°。 (2) ①证明:如图 1,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G,则 ∠AGE= ∠AGF= 90°。 ∵ AB⊥CE,AD⊥CF,∴ ∠B= ∠D= 90° = ∠C。 ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ∵ ∠BEF 与∠DFE 的平分线交于点 A, ∴ AB=AG,AD=AG。 ∴ AB=AD。 ∴ 四边形 ABCD 是正方形。 ②设 DF= x。 ∵ BE=CE= 3,∴ BC= 6。 由①,得四边形 ABCD 是正方形,∴ BC=CD= 6。 在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中, AB=AG, AE=AE,{ ∴ Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)。 ∴ BE=GE= 3。 同理可得 GF=DF= x。 ∴ CF=CD-DF= 6-x,EF=GF+GE= x+3。 在 Rt△CEF 中,CE2 +CF2 = EF2,即 32 +(6-x) 2 = ( x+ 3) 2。 解得 x= 2。 ∴ DF 的长为 2。 图 1 　 图 2 (3)如图 2,把△PQH 沿 PQ 翻折得△PQD,把△PRH 沿 PR 翻折得△PRM,延长 DQ,MR 交于点 G。 由(1) (2),得四边形 PMGD 是正方形,RM+QD =QR, RM=RH,QD=QH= 2。 ∴ MG=DG=PM=PH= 5。 ∴ QG=DG-QD= 3。 设 RM=RH=a,则 RG= 5-a,QR=a+2。 在 Rt△GQR 中,由勾股定理, 得 RG2 +QG2 =QR2,即(5-a) 2 +32 = (2+a) 2。 解得 a= 15 7 ,即 RH= 15 7 。 故答案为15 7 。 期中能力提升测试 1. D　 2. C 3. B　 【解析】∵ 5< 30 <6,∴ 2< 30 -3<3。 故选 B。 4. C　 【解析】A. 2 3 是无理数,不是分数,故本选项不符合 题意;B. - 4 = - 2 是有理数,故本选项不符合题意; C. 0. 666 是分数,故本选项符合题意;D. 1 7 是有理数, 故本选项不符合题意。 故选 C。 5. D 6. D　 【解析】如图,过点 A 作 AH∥CD 交 BC 于点 H,则∠AHB= ∠DCB。 ∵ S2 = 64,∴ BC= 8。 ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 AHCD 是平行四边形。 ∴ CH=BH=AD= 4,AH=CD= 3。 ∵ ∠ABC + ∠DCB = 90°, ∴ ∠ABC + ∠AHB = 90°。 ∴ ∠BAH= 90°。 ∴ AB2 =BH2 -AH2 = 7。 ∴ S1 = 7。 故选 D。 7. D　 【解析】解不等式 x-2>1,得 x>3。 ∴ 不等式组的解 集为 3<x<4。 故选 D。 8. B　 【解析】如图,过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,过点 A 作 AF⊥CD 于点 F。 ∵ AC = CD = 5, ∴ AE = DE = 1 2 AD = 3。 ∴ CE = CD2 -DE2 = 52 -32 = 4。 ∵ S△ACD = 1 2 AD·CE= 1 2 CD· AF,∴ AF = AD·CE CD = 24 5 。 ∴ △ABC 的面积为 1 2 (BD+ CD)·AF= 1 2 ×(10+5)×24 5 = 36。 故选 B。 9. A　 【解析】如图,过点 E 作 EP⊥BC 于点 P。 在 矩 形 ABCD 中, ∠A = ∠ABC= ∠BCD = ∠D = 90°,AB = CD = 6,∴ 四边形 ABPE 和四边形 CDEP 是矩形。 ∴ CD= EP = 6。 ∵ DE = 2,∴ CP = 2。 ∵ G 是 AB 的中点, ∴ AG = BG = 3。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠AEG = ∠BFG。 ∵ ∠AGE = ∠BGF,∴ △AEG≌△BFG(AAS)。 ∴ AE=BF。 ∵ FH 垂直平分 CE,∴ CF =EF。 令 BC = x, 则 BP= x-2。 ∴ AE=BF=BP = x-2。 ∴ FP = 2x-4,EF = CF= 2x-2。 在 Rt△EFP 中,EP2 +FP2 =EF2,∴ 62 +(2x- 4) 2 =(2x-2) 2。 解得 x= 6,即 BC 的长为 6。 故选 A。 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB=CD。 ∵ E,F 分别是 AB,CD 的中点,∴ AE = 1 2 AB, CF= 1 2 CD。 ∴ AE = CF。 又 ∵ AB∥CD,即 AE∥CF, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故 ①正确;如图,连接 EF。 由题意,得 AD= EF = BC,AD∥EF∥BC。 ∴ 四边 形 ADFE,EFCB 都是平行四边形且 两者全等。 ∴ CE = AF。 又∵ 平行四边形的对角线互 相平分,∴ EH= 1 2 CE,FG= 1 2 AF。 ∴ EH=FG。 由①可 知,四边形 AECF 是平行四边形,∴ EH∥FG。 ∴ 四边 形 EHFG 是平行四边形。 故②正确;∵ AB⊥BC,平行 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ∴ 四边形 EBCF 是矩形。 ∴ CE = BF。 又∵ 矩形的对 角线互相平分,∴ EH=FH。 结合②四边形 EHFG 是平 行四边形,∴ 平行四边形 EHFG 是菱形。 故③正确;如 图,连接 GH。 由①②可得 EF =BC,GH = 1 2 AB。 ∵ AB =BC,∴ EF≠GH。 ∴ 平行四边形 EHFG 不是矩形。 故④不正确。 综上所述,正确的有①②③。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 60·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·61　 · 11. π　 12. 200x+40(10-x)≤1 500 13. 2　 【解析】设该矩形田地的宽为 x 步,则对角线为(50- x)步。 由勾股定理,得 302 +x2 = (50 -x) 2。 解得 x = 16。 故该矩形田地的面积为 30 × 16 = 480(平方步) = 2(亩)。 14. -2<m≤-1　 【解析】 9-2x>1,① x-m≥1。 ②{ 解不等式①,得 x< 4。 解不等式②,得 x≥1+m。 ∴ 原不等式组的解集为 1+m≤x<4。 ∵ 关于 x 的不等式组 9-2x>1, x-m≥1{ 有 4 个整 数解,∴ 原不等式组的整数解为 0,1,2,3。 ∴ -1<1+m≤0。 解得-2<m≤-1。 15. 6 或 2　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 如图 1,当点 D 在 BC 上时,∵ ∠ABC = 60°,∠ADB = 90°, ∴ ∠BAD= 30°。 ∴ BD = 1 2 AB = 4。 ∴ AD = AB2 -BD2 = 82 -42 = 4 3 。 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 CD = AC2 -AD2 = (2 13 ) 2 -(4 3 ) 2 = 2。 ∴ BC = BD+ CD= 4+2 = 6。 图 1 　 　 　 图 2 如图 2,当点 D 在 BC 的延长线上时,同理可得 BC = BD-CD= 4-2 = 2。 ∴ BC 的长为 6 或 2。 16. 2 14 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,CD= 8 cm,AD = 6 cm,∴ AB=CD= 8 cm,∠A = ∠B = ∠D = 90°。 ∵ 点 E,F 在 AB 上,AE= 1 cm,BF= 3 cm,∴ EF=AB-AE-BF = 8-1-3 = 4(cm),BE = AB-AE = 8-1 = 7(cm)。 如图 1,点 P 在边 AD 上,∵ ∠PEF > ∠A,∴ ∠PEF > 90°。 ∴ EP=EF = 4 cm。 如图 2,点 P 在边 CD 上,作 PG⊥ AB 于点 G,则 ∠AGP = 90°。 ∴ ∠A = ∠D = ∠AGP = 90°。 ∴ 四边形 AGPD 是矩形。 ∴ PG = AD = 6 cm。 ∴ EP≥6 cm。 ∴ EP >EF。 ∴ EP = FP。 ∴ EG = FG = 1 2 EF= 1 2 ×4 = 2(cm)。 ∴ EP = PG2 +EG2 = 62 +22 = 2 10 ( cm);如图 3,点 P 在边 BC 上,∵ ∠PFE>∠B, ∴ ∠PFE>90°。 ∴ PF=EF= 4 cm。 ∴ PB= PF2-BF2 = 42 -32 = 7 (cm)。 ∴ EP = EB2 +PB2 = 72 +( 7 ) 2 = 2 14 (cm)。 ∵ 2 14 cm>2 10 cm>4 cm,∴ 边 EP 最长是 2 14 cm。 图 1 　 图 2 　 图 3 17.解:原式= 6 -2+ 2 -1+3- 6 = 2 。 18.解:设截得的每个小正方体的棱长是 x cm。 根据题意,得 1 000-8x3 = 488。 解得 x= 4。 所以截得的每个小正方体的棱长是 4 cm。 19.解:解不等式 x+3>1,得 x>-2。 解不等式 x+2(x-1)≤1,得 x≤1。 所以原不等式组的解集为-2<x≤1, 在数轴上表示如图。 20.证明:∵ DE,EF 是△ABC 的两条中位线, ∴ DE∥BC,EF∥AB。 ∴ 四边形 BFED 是平行四边形。 21.解:∵ Rt△ABC 的周长为 32 cm, ∴ AC+BC+AB= 32 cm。 ∵ AB= 14 cm,∴ AC+BC= 18 cm。 ∵ AC2 +BC2 =AB2, ∴ (AC+BC) 2 -2AC·BC= 142,即 182 -2AC·BC= 142。 ∴ 2AC·BC= 128。 ∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 32 cm2。 22.解:设加工甲种零件的同学 x 名,则加工乙种零件的同 学(20-x)名。 根据题意,得 16×5x+24×4(20-x)≥1 800。 解得 x≤15 2 。 经检验,不等式的正整数解符合题意。 ∴ x 的最大值为 7。 ∴ 加工甲种零件的同学至多为 7 名。 23. (1)证明:∵ OC=OA,OD=OB, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ OA= 1 2 AC,OB= 1 2 BD。 ∵ OA=OB,∴ AC=BD。 ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形。 (2)解:如图,连接 OE,设 CE 与 BD 交于点 F。 ∵ CE⊥BD,∴ ∠CFD= 90°。 ∵ 四边形 AOBE 是平行四边形, ∴ AE∥OB。 ∴ ∠OAE+∠AOB= 180°。 ∴ ∠AEC= ∠CFD= 90°, 即△AEC 是直角三角形。 ∵ OE 是 Rt△AEC 的边 AC 上的中线,∴ OE=OA。 ∵ 四边形 AOBE 是平行四边形,∴ OB=AE。 ∵ OA=OB,∴ AE=OA=OE。 ∴ △AEO 是等边三角形。 ∴ ∠OAE= 60°。 ∵ ∠OAE+∠AOB= 180°,∴ ∠AOB= 120°。 24.解:(1)在 Rt△ABC 中,AC= 900 米,BC= 1 200 米, ∴ AB= AC2 +BC2 = 9002 +1 2002 = 1 500(米)。 ∴ A,B 两村之间的距离为 1 500 米。 (2)公路 AB 段有危险而需要封锁。 如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,以点 C 为圆心,750 米 为半径画弧,交 AB 于点 E,F,连接 CE,CF。 ∴ CE=CF。 在 Rt△CDE 与 Rt△CDF 中, CE=CF,CD=CD, ∴ Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)。 ∴ DE=DF。 ∵ S△ABC = 1 2 AB·CD= 1 2 AC·BC, ∴ CD=AC·BC AB = 900×1 200 1 500 = 720(米)。 由于 720 米 < 750 米,故有危险,因此 AB 段公路需 要封锁。 ∵ CE=CF= 750 米,∴ DE= 7502 -7202 = 210(米)。 ∴ DF= 210 米。 ∴ EF= 420 米。 ∴ 需要封锁的路段长度为 420 米。 25. (1)证明:∵ CE⊥AE,∴ ∠AEC= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC= 90° = ∠AEC,OA=OC,AD∥BC。 ∵ ∠EAC= ∠BAC,AC=AC, ∴ △AEC≌△ABC(AAS)。 ∴ ∠ACE= ∠ACB。 ∵ AD∥BC,∴ ∠CAF= ∠ACB。 ∴ ∠CAF= ∠ACE。 ∴ AF=CF。 ∵ OA=OC,∴ OF⊥AC。 (2)解:条件① 四边形 AODE 是菱形。 证明如下, ∵ ∠BAC= 2∠ACB,∠ABC= 90°,∴ ∠ACB= 30°。 ∴ ∠CAD= 30°,∠BAC= 60°。 ∴ ∠CAE= 60°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ OA=OD=OB,AC=BD, ∴ ∠CAD= ∠ADO= 30°,△ABO 为等边三角形。 ∴ ∠DAE= ∠CAE-∠CAD= 30° = ∠ADO。 ∴ AE∥OD。 由(1),得△AEC≌△ABC,∴ AE=AB。 ∵ △ABO 为等边三角形, ∴ AB=AO= 1 2 AC。 ∵ AE=AB= 1 2 AC= 1 2 DB=OD, ∴ 四边形 AODE 是平行四边形。 又∵ OA=OD,∴ 平行四边形 AODE 是菱形。 26. (1)①证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=CB,∠ABE= ∠CBE。 ∵ BE=BE, ∴ △ABE≌△CBE。 ∴ ∠BAE= ∠BCE。 又∵ ∠ABC= ∠AEF= 90°, ∴ ∠BAE+∠BFE= 180°。 ∵ ∠BFE+∠CFE= 180°, ∴ ∠BAE= ∠CFE。 ∴ ∠BCE= ∠CFE。 ∴ CE=EF。 ②解:如图1,过点E作MN⊥BC,垂足为N,交 AD于点M。 ∵ CE=EF,∴ N 是 CF 的中点。 ∵ BC= 2BF=a,∴ CN= a 4 。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠ADC= ∠BCD= 90°,∠MDE= 45°, ∵ MN⊥BC,∴ ∠MNC= 90°。 ∴ ∠ADC= ∠BCD= ∠MNC= 90°。 ∴ 四边形 CDMN 是矩形,△DME 是等腰直角三角形。 ∴ CN=DM=EM。 ∴ DE = DM2 +EM2 = 2 DM = 2 CN = 2 4 a。 图 1 　 图 2 (2)解:如图 2,过点 E 作 MN⊥BC,垂足为 N,交 AD 于 点 M。 由(1)①,得 CE=EF。 ∴ FN=CN。 ∵ BC= 2BF=a,∴ BF= 1 2 a。 ∴ FC= 3 2 a。 ∴ CN= 3 4 a。 由(1)②,得 CN=DM=EM, ∴ DE= DM2 +EM2 = 2DM= 2CN= 3 2 4 a。 第 9 章考点梳理与复习 1. C　 2. A 3. A 　 【解析 】 ∵ 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 1, k, 4, ∴ 1+4>k, 4-1<k。{ 解得 3<k<5。 ∴ 2k-5>0,k-6<0。 ∴ 原式 = 2k-5- (k-6) 2 = 2k-5-[-(k-6)] = 3k-11。 故选 A。 4. x>-1　 【解析】使代数式 x -3 x+1 有意义的 x 的取值范围 为 x+1>0,解得 x>-1。 5.解:若要使 b= a 2 -4 + 4-a2 a-2 -4 有意义, 则 a2 -4≥0, 4-a2≥0, a-2≠0, ì î í ïï ï 解得 a= -2。 此时 b= -4,则 ab 的平方根是± ab = ± ( -2) ×( -4) = ±2 2 。 6.解:(1) 4+ 1 6 = 5 1 6 (2) n+ 1 n+2 = (n+1) 1 n+2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋