江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（创新部）

江西省宜丰中学2023-2024（下）创新高二6月月考数学试卷 一、单选题（40分） 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知在上为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 6．已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．-1 二、多选题（18分） 9．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 11．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数 三、填空题（15分） 12．计算：= . 13．已知函数，若，则的取值范围是 . 14．若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 四、解答题（77分） 15．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. (1)求的值； (2)已知，求函数的最大值和最小值. 16．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列{}为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n． 17．医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． (1)求k的值； (2)患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） (3)患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 18．设函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)在(1)条件下，若对任意，有恒成立，求m的最大值． 19．已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有三个不同的零点（）. ①求实数的取值范围； ②求证：. 江西省宜丰中学2023-2024（下）创新高二6月月考数学参考答案 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C【详解】设等差数列的公差为，因为，且是与的等比中项，可得，即，解得，所以，又由，可得. 7．D【详解】可画函数图象如下所示 若关于的方程有四个不同的实数解，且，当时解得或, ，，， ，关于直线对称，则，，令函数，则函数在上单调递增，故当时，故当时，所以，即故选： 8．C【详解】由在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，又由，可得，则，可得在点的切线为，即，令，所以，令，所以，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为.故选：C. 9．ACD 10．BCD【详解】由题意，，对于选项A，易知且，故选项A错误，对于选项B，因为，则，故选项B正确，对于选项C，因为，所以，故选项C正确，对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增，因为， ，所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得，即也是的零点，则，，故，故选项D正确，故选：BCD. 11．AD【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称，所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又，则，，，即是周期为4的偶函数，故C选项错误；由关于直线对称，，关于对称，，则，，所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，同理，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；由于关于对称，，，则，所以，故A选项正确； ，故B选项错误；故选：AD. 12．/1.5 13．【详解】因为函数，定义域为，且， 则， 即，即为奇函数，当时，，均单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以是奇函数且在上单调递增，由，可得，则，解得， 即的取值范围为.故答案为： 14．2【详解】原不等式等价于在时恒成立，令，则上式化为， 构造函数，则，令， 所以在上单调递增，而在，故使得，故在上单调递减，在上单调递增，即， 所以，又，故的最大整数值为2.故答案为：2 15．【详解】（1）由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上. ∴，即解得. （2）由得，令，则，. ∴当，即，时，，当，即，时，. 16．【详解】（1）因为，故，所以，所以，而,故，所以，所以{}是以首项为1，公比为的等比数列． （2）由（1）知，所以，     故． 因为随着n的增大而增大，n = 100满足题意，n = 101不合题意，所以满足条件的最大整数n = 100． 17．【详解】（1）依题意，，解得，所以k的值为. （2）血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为． 由，得，两边取对数得：，解得， 所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持. （3）设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间， 则 ，由，得，即，两边取对数得：，解得，又，所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持． 18．【详解】（1）当时，，则，，令，得，令，得.故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，无极大值. （2）当时，，则，当时，， 令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，解得或0，若即时，令，或，所以函数在上单调递减，在、上单调递增；若即时，，所以函数在R上单调递减；若即时，令，或，所以函数在上单调递减，在、上单调递增. （3）对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可.. 易知均在上单调递增，故在上单调递增且. 当时，单调递减；当时，单调递增..故，即的最大值为. 19．【详解】（1）解：当时，，所以.则当时，，即切线的斜率为2，又由，则，所以曲线在处的切线方程为. （2）①解：由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解.即关于的方程在上有三个不同的解.令.所以.显然，当时，，证明如下：令.当时，，函数在单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以当时，取最小值.所以，当时，.令，可得或.将变化情况列表如下 1 0 0 极小值 极大值 又当时，，当.所以，实数的取值范围为. ②由①可知，当时，.令，则，即.不妨设，则.又，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.显然，当时，；当时，. 所以.所以 . 即. 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$