精品解析：2024年河南省驻马店市遂平县中考三模数学试题

2024年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后主视图不变，则移走的小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 如图，直线相交于点O，平分，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. x C. D. 5. 对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1012 6. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “清明时节雨纷纷”是随机事件 C. 要反映某市一周内每天最高气温的变化情况宜采用扇形统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 7. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如下是两位同学了解到的具体情况： 下面是两位同学分别列出来的两个方程： 小王：； 小李：； 其中的x表示的意义为（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 小王方程中的x表示篮球的数量，小李方程中的x表示篮球的单价 D. 小王方程中的x表示篮球的单价，小李方程中的x表示篮球的数量 9. 如图．在中，，，O为边的中点，连接，交于点D，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 5 10. 如图①，在菱形中，，点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动，在菱形内部沿某条直线运动到一点，再从该点沿直线运动到点，图②是点运动时的面积随路程变化的关系图象，则点从点运动到点的时间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ 12. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的最小整数值为______． 13. 色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_________． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形的周长为______． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融人社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式，有关人员开展了，两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： ．、两款机器人满意度评分条形统计图（如图）： ．款机器人评分在这一组的具体数据是：，，，，，； 根据以上信息、回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有______份，款机器人评分的中位数为______分； （2）对款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有人对款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对款机器人非常满意人数； （4）根据以上绘制的条形统计图，你能获得哪些信息（写出一条即可）？ 18. 如图，已知矩形，M，N为矩形边上不同的两点（不与顶点重合），连接，线段将矩形分为面积相等的两部分． （1）请用数学中常用工具：圆规无刻度直尺，找出一组符合条件的M点和N点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 19. 某工厂的A，B两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将A车间的机器停产一段时间进行升级，升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的关系如图所示． （1）求a值及A车间机器升级后y与x之间的函数解析式； （2）若A，B车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略） 20. 周末，小琳和几个同学相约到清明上河园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后去位于景点B南偏西方向的景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，人口A的正南方向，米，米．求景点A和景点D之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：，，） 21. 射水鱼（别名高射炮鱼）在水中看到水面上方的猎物A（猎物的大小忽略不计）后，便向猎物射水，当猎物被水射中后射水鱼对其进行捕杀．如图，喷射出的水柱在空中呈抛物线形状，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：）（水柱的竖直高度是指水柱与鱼嘴B所在水平面的距离），水柱与鱼嘴B的水平距离为x（单位：），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据： 0 10 20 30 40 50 60 … 0 18 32 42 48 50 48 … （1）请结合表中所给数据，求此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式； （2）若猎物A突然受到惊吓，退至处，试判断该射水鱼此次射水喷出的水柱能否精准捕杀到猎物A，并说明理由． 22. 陀螺（如图①）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要，如图②，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为，点C为接头，绳杆为，与相切于点B，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，，交于点D，连接． （1）求证：； （2）实践中发现，当与相切于点A，时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径，，求绳杆的长度． 23. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果． 【详解】解：， 的绝对值是3， 故选：A． 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后主视图不变，则移走的小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，减少一个小正方体的组合体的三视图的变化，根据三视图的定义，对比去掉小正方体前后主视图，即可得出答案．掌握简单组合体的三视图是解题关键． 【详解】解：原组合体的主视图如下， 若去掉小正方体①，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体②，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体③，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体④，主视图如下， 主视图不变化，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义即可得到． 详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 化简的结果是（ ） A. B. x C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的除法运算，根据除法运算法则转化乘法运算，约分即可． 【详解】解： 故选：A 5. 对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 6. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “清明时节雨纷纷”是随机事件 C. 要反映某市一周内每天最高气温的变化情况宜采用扇形统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查、随机事件、折线统计图、方差的性质，据此依次对各选项进行判断即可．掌握它们的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：A．神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择全面调查，故此选项不符合题意； B．“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项符合题意； C．要反映某市一周内每天最高气温的变化情况宜采用折线统计图，故此选项不符合题意； D．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 8. 小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如下是两位同学了解到的具体情况： 下面是两位同学分别列出来的两个方程： 小王：； 小李：； 其中的x表示的意义为（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 小王方程中的x表示篮球的数量，小李方程中的x表示篮球的单价 D. 小王方程中的x表示篮球的单价，小李方程中的x表示篮球的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题目主要考查根据实际问题列分式方程，根据两位同学所列方程中的0.7表示打折数来判断出x表示的意义即可 【详解】解：由0.7所处位置可得出，小王所列方程中，x表示篮球的数量，小李方程中的x表示籃球的单价， 所以，只有选项C中的x表示的意义正确， 故选：C 9. 如图．在中，，，O为边的中点，连接，交于点D，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，斜边上的中线，根据斜边上的中线的性质，得到，进而得到，同角的余角相等，得到，进而得到，设，，勾股定理求出的值，即可． 【详解】解：∵，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则：， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图①，在菱形中，，点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动，在菱形内部沿某条直线运动到一点，再从该点沿直线运动到点，图②是点运动时的面积随路程变化的关系图象，则点从点运动到点的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点从点出发沿某条直线运动，由图②知，第一段函数图像随着点的运动路程增大，的面积不变，即点在过点且与平行的线段上运动，第二段函数图像随着点的运动路程增大，的面积减小，如图，过点作交于点，两段函数图像中，点的运动路程相等，点先在上运动，再在上运动，分别求出运动的时间再相加即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵点是菱形对角线的交点，， ∴点是的中点，即，， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线，， 由图②知：，， ∵四边形为菱形， ∴，， 过点作于点， ∴， ∵当点在上运动时，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动， ∴点从点运动到点的时间为：． 故选：B． 【点睛】本题是动点函数的图象，考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，锐角三角函数等知识点．解题的关键是确定点运动的路径． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的最小整数值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数，由题意可得：双曲线在第一，三象限，反比例系数大于0，据此可列出不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴m的最小整数值为0． 故答案为：0． 13. 色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如解图， 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， ∴． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，求弧长，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而求出的长，即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴扇形的周长为． 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当时，分两种情况：①当点在下方；②当点在上方，解直角三角形求解即可 【详解】解：当时，分两种情况： ①当点在下方时，如图， 设与的交点为, ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得，； ②当点在上方时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或 故答案：或 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）计算乘方、算术平方根、负整数指数幂后，进行加减法计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开后合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融人社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式，有关人员开展了，两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： ．、两款机器人满意度评分条形统计图（如图）： ．款机器人评分在这一组的具体数据是：，，，，，； 根据以上信息、回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有______份，款机器人评分的中位数为______分； （2）对款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有人对款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对款机器人非常满意的人数； （4）根据以上绘制的条形统计图，你能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】（1）； （2）未超过，理由见解析 （3）人 （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出对款机器人评分抽取的样本容量，即可得出本次抽取的问卷数量，根据中位数的定义求解即可； （2）利用中位数与比较即可； （3）用乘以对款机器人非常满意的人数所占的比例即可； （4）比较满意度为满意的人数即可得出结论． 【小问1详解】 解：对款机器人评分抽取的样本容量为：， ∴本次抽取问卷共有（份）， ∵对款机器人评分的中位数为第和个数据的平均数， ∴将这组的评分按从小到大的顺序排列为：，，，，，， ∴第和个数据分别为，， ∴中位数为（分）， 故答案为：；； 【小问2详解】 由（1）得对款机器人评分的中位数为分， ∵分分， ∴对款机器人感到满意的人数未超过一半； 【小问3详解】 由条形统计图得，对款机器人评分为非常满意的有人， ∴（人）， 答：估计此次问卷调查活动中对款机器人非常满意的人数为人； 【小问4详解】 从满意度为满意的人数看，在被调查的人中，款机器人为人，款机器人为人，所以人们更喜欢使用款机器人（答案不唯一）． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体等知识，正确理解中位数的意义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． 18. 如图，已知矩形，M，N为矩形边上不同的两点（不与顶点重合），连接，线段将矩形分为面积相等的两部分． （1）请用数学中常用的工具：圆规无刻度直尺，找出一组符合条件的M点和N点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作图是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线分别与，交于点M，N，点M，N即为所求作的点（图①作法）, 一题多解：连接对角线，交于点O，过点O的直线分别与，交于点M，N，点M，N即为所求作的点（图②作法）． （2）利用矩形性质证明，利用全等三角形性质即可解题． 【小问1详解】 解：如解图①，点M，N即为所求； 一题多解： 如解图②，点M，N即为所求； 【小问2详解】 证明：如解图②， 四边形是矩形， ，， ． ， ， ． 19. 某工厂的A，B两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将A车间的机器停产一段时间进行升级，升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的关系如图所示． （1）求a的值及A车间机器升级后y与x之间的函数解析式； （2）若A，B车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略） 【答案】（1）200， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数关系式，解题的关键在于根据图象获取需要的信息求解． （1）观察图形可知A车间机器生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的函数为一次函数，接下来根据升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，列式求得值，再找出A车间所对函数图象上两点的坐标，即可利用待定系数法求出函数关系式； （2）观察图形可知B车间机器生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的函数为正比例函数，找出B车间所对函数图象上点的坐标，即可利用待定系数法求出函数关系式，分以下三种情况①当时，②当时，③当时，表示出A，B车间共生产的产品件数，让其等于300，即可列出关于x的方程，求出x的值，并判断是否符合题意，即可解题． 【小问1详解】 解：由题图可得，A车间机器原来每小时生产产品的数量为（件）， 生产效率提高为原来的2倍， A车间机器升级后每小时生产产品100件， ，解得， 设A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为， 将点，代入， 得，解得， A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为，将点代入，得，解得， B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为． 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得， 答：经过恰好能装满第1箱． 20. 周末，小琳和几个同学相约到清明上河园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后去位于景点B南偏西方向的景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，人口A的正南方向，米，米．求景点A和景点D之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】约647米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．过点B分别作的垂线，垂足分别是E，F，则四边形是矩形，可得，，由解三角形得，，从而得出，最后求解即可． 【详解】解：如解图，过点B分别作的垂线，垂足分别是E，F，则四边形是矩形， ，， 米，米， 由题意，得，， 在中，（米），（米）， （米）， （米）． 答：景点A和景点D之间的距离约为647米． 21. 射水鱼（别名高射炮鱼）在水中看到水面上方的猎物A（猎物的大小忽略不计）后，便向猎物射水，当猎物被水射中后射水鱼对其进行捕杀．如图，喷射出的水柱在空中呈抛物线形状，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：）（水柱的竖直高度是指水柱与鱼嘴B所在水平面的距离），水柱与鱼嘴B的水平距离为x（单位：），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据： 0 10 20 30 40 50 60 … 0 18 32 42 48 50 48 … （1）请结合表中所给数据，求此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式； （2）若猎物A突然受到惊吓，退至处，试判断该射水鱼此次射水喷出的水柱能否精准捕杀到猎物A，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，确定二次函数的解析式是解本题的关键． （1）由表格信息可得抛物线的顶点坐标，再设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）判断是否在抛物线上即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，当和时，y的值相同，则该抛物线的对称轴为直线， 由表格可知当时，， 设该抛物线的解析式为， 将代入，解得， 此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 不能． 理由如下： 当时，， 该射水鱼此次射水喷出的水柱不能精准捕杀到猎物A． 22. 陀螺（如图①）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要，如图②，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为，点C为接头，绳杆为，与相切于点B，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，，交于点D，连接． （1）求证：； （2）实践中发现，当与相切于点A，时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径，，求绳杆的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长度为． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，证明，，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，证明四边形为正方形，是等腰直角三角形；证明为等边三角形，可得，再证明，设，则，，在利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴四边形为正方形，是等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【解析】 【分析】对于（1），根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），结合已知可得，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得，可得结论； 对于（3），分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；②当时，设交于点I，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】（1）； 证明：∵， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 证明：由题意，得． 在中，∵是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）的长为或． 分两种情况讨论：①当时， ∵，， 根据勾股定理，得． ∵是的中点， ∴． 在中，，由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，设交于点I，点G与点C重合， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为的中点，则 ∴，，， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 综上所述的长为或. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，准确的画出图形是解题的关键，注意多种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$