精品解析：重庆市第四十九中学校、江津第二中学校等九校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

重庆高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ） A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种 2. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ） A B. 6 C. D. 8 3. 在校运动会中，班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为，且甲跑第一棒、第二棒时，班赢得短跑接力赛的概率分别为，则班赢得短跑接力赛的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在立体图形中，与某顶点相连的边的数量，称为该顶点的度数.从五棱锥的6个顶点中任取3个顶点，则度数为5的顶点被取到的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ） A. 16000种 B. 14400种 C. 2880种 D. 2400种 7. 已知，则（ ） A. B. 14 C. D. 7 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（ ） A B. C. D. 10. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ） A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s C. 该物体在第1s时动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则________. 13. 曲线上点到直线的距离的最小值为________. 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：曲线过点的切线只有一条. 18. 在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. （1）求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； （2）求这n个点能确定的直线的条数； （3）若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 19 已知函数 （1）当时，求的零点； （2）若恰有两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同选择情况共有（ ） A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理直接求解即可. 【详解】由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有种，故A正确. 故选：A 2. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】观测值减去预测值称为残差；进而利用残差的定义即可求解. 【详解】样本点的观测值为，预测值为， 则残差为，解得. 故选：C. 3. 在校运动会中，班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为，且甲跑第一棒、第二棒时，班赢得短跑接力赛的概率分别为，则班赢得短跑接力赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. 【详解】用，分别表示甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒， 用表示班赢得短跑接力赛，由题意得， ，，， 所以由全概率公式得，故B正确. 故选：B 4. 在立体图形中，与某顶点相连的边的数量，称为该顶点的度数.从五棱锥的6个顶点中任取3个顶点，则度数为5的顶点被取到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，在五棱锥的6个顶点中，1个顶点的度数为5，其他5个顶点的度数均为3，进而利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知，在五棱锥的6个顶点中，1个顶点的度数为5，其他5个顶点的度数均为3， 所以度数为5顶点被取到的概率为. 故选：C. 5. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合判断即可． 【详解】当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 因为， 所以的值域为. 故选：D. 6. 重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ） A. 16000种 B. 14400种 C. 2880种 D. 2400种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法结合排列的知识求解即可. 【详解】先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑，再和其他4个文化符号排列，共有种. 故选:B. 7. 已知，则（ ） A. B. 14 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据所求式子中的各项系数与题干中展开式中指数相同，联想到幂函数求导公式，因此对题干中展开式两边同时求导，再结合二项式定理中求各项系数和的方法，取值求解. 【详解】等式两边同时求导可得，令，得， 故选：A. 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用单调性构建不等式，分离参数构造函数，并求出函数的最小值即得. 【详解】函数在上单调递减，则恒成立， 令，，函数，则， 当时，，当时，，在上递减，在上递增， 则，所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性利用原则即可求解. 【详解】由题意得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ） A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J 【答案】AD 【解析】 【分析】借助导数定义计算可得瞬时速度的最小值，借助所给动能公式计算即可得其动能. 【详解】由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合分布列的性质计算判断AB；求出期望、方差的函数关系推理判断CD. 【详解】对于AB，由，得，A错误，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D， ， 当时，取得最大值，且最大值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则________. 【答案】15 【解析】 【分析】在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，由此可得. 【详解】因为在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 曲线上的点到直线的距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义找出曲线与直线平行的切线的切点，结合点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】假设是曲线上的一个动点， 当曲线在处的切线与直线平行时，所求的距离最小，设此时， 由题意得，由，得，则， 所以所求距离的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实际的问题情景，结合二项分布计算出所求的概率. 【详解】质点从原点0出发，经过最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可， 则所求的概率为； 第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为，，后续的4次移动中全部向右移动即可， 则所求的概率为. 故所求的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）学生性别与是否喜欢运动有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较即可得解； （2）由古典概型概率计算公式结合组合数计算即可得解. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别与是否喜欢运动无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关. 【小问2详解】 由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为， 则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为. 16. 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）恰有一次获得A等级分:“笔试A等级且面试非A等级”与“面试A等级且笔试非A等级”两种情况，然后利用相互独立事件概率乘法公式计算每一种情况的发生的概率，再利用互斥事件概率加法公式求解. （2）根据题意求出的所有可能取值，然后利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式求出每一个取值对应随机事件的概率，列出分布列，用期望公式求出期望. 【小问1详解】 甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为. 【小问2详解】 由题意得的可能取值为2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 5 6 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：曲线过点的切线只有一条. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，可得斜率，即可求直线方程， （2）设切点，求导可得切线斜率，结合两点斜率公式可得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解方程只有唯一的实根，进而可求解. 【小问1详解】 解：当时，，得， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点，由题意得， 则，化简得. 令函数，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以. 由，得，所以曲线过点的切线只有一条. 18. 在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. （1）求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； （2）求这n个点能确定的直线的条数； （3）若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【答案】（1）120 （2）63 （3）518 【解析】 【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【小问1详解】 点的横、纵坐标均有4种可能，则， 所以所求线段的条数为. 【小问2详解】 如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 【小问3详解】 从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为. 19. 已知函数 （1）当时，求的零点； （2）若恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）有且仅有一个零点 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，即可求解； （2）当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知最多只有一个极值点；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知，和，，即可求解. 【小问1详解】 当时，等价于. 令，则， 所以在上单调递增. 因为，所以有且仅有一个零点. 【小问2详解】 由，得. 令，则. 若，则在上恒成立，故在上单调递增， 最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，从而. 显然，当时，，则，. 令，则， 设，则， 由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即恒成立，故单调递增. 当时，，即， 则. 因为，所以，. 当时，，当时，， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则恰有两个极值点. 故当恰有两个极值点时，取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(极值点)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$