精品解析：广东省江门市新会第一中学等2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

2023-2024 学年度第二学期 5月联考 高一数学试卷 注意事项 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁， 考试结束后， 将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 2. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得. 故选：C 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义依次判断选项即可得到答案； 【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确； 故选：C. 4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D. 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为. 故选：B. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积． 【详解】作出原来的平面图形，如图，，， 在题设等腰梯形中，，因此， 所以． 故选：D． 7. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可. 【详解】由题意，设， 由图象知：， 所以， 所以， 因为点在图象上， 所以， 则， 解得， 所以函数为， 即， 故选：D 8. 如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A. B. 若互为共轭复数，则 C. 若，则 D. 若复数为纯虚数，则实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：令 则 所以，故A正确； 对于选项B：令，，所以，故B正确； 对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：， ，，所以C错误； 对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用球的截面小圆性质计算判断A；利用球及圆柱的体积公式计算判断B；利用棱台的体积公式计算判断C；求出圆锥的体积判断D. 【详解】对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误； 对于B，设容器内水面下降的高度为，则，解得，B正确； 对于C，正四棱台的高，体积为，C正确； 对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高， 体积为，D正确. 故选：BCD 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知. 【详解】对于A，因为，，设点为的中点， 所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确； 对于B，当时，， 因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量， 所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确； 对于D，当时，， 而由正弦定理有，即有， 结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 13. 已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的高，上底面半径，下底面半径， 所以圆台的体积 . 故答案为： 14. 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为_______； （2）设，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将其化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象即得； （2）利用三角函数新定义化简所求函数式，再设进行换元，分类讨论并运用基本不等式求解即得. 【详解】（1），因，故其最大值为； （2） 设，则，其中且，则 ， 当时，有，但是等号不成立，无最小值； 当时，，但是等号不成立，无最小值； 当时，有，当且仅当时等号成立. 即时，，即的最小值为． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数新定义和求三角函数型函数的最值问题，属于难题. 求解的关键在于化简到时，要联想到与的关系，通过设进行整体换元，将其化成二次函数或者可运用基本不等式，以及双勾函数或单调函数的单调性求解的最值问题. 四、解答题: 本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求; （2）若向量，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由数量积的坐标运算解出，然后用模长的公式； （2）用向量平行的坐标判定解出，再使用数量积的坐标运算公式判定夹角余弦值. 【小问1详解】 由，，有，而，故. 所以，解得，这表明，所以. 【小问2详解】 由，知，而，，故，解得，从而. 所以. 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】（1）证明：在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）证明：在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 设函数. （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可得，代入即可得结果； （2）化简整理可得，即可得最小正周期； （3）化简整理可得，以为整体，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， ， 则， 所以该函数的最小正周期. 【小问3详解】 由题意可得： ， 因为，则， 所以当，即时，函数取得最大值. 18. 如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，二倍角公式展开结合正弦定理可得.进而得到；又由，即得解； （2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由，则，利用即得解. 【详解】（1）根据题意，， 由正弦定理，有. 又，， ∴； 又由， 解得，即 （2）根据题意，因为平分， 所以， 故， 变形可得， 由（1），又，则， 所以. 19. 正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；②利用费马点的意义，结合三角形面积公式及数量积的定义计算即得. （2）利用三角恒等变换求出角，借助费马点，利用余弦定理、勾股定理建立关系，再利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 ①在中，由正弦定理及，得， 即，由余弦定理得， 又，所以. ②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：， 设，由得： ，整理得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 即，又，，则， 于是，整理得，即， 又，有，则，， 由点为的费马点，得， 设，，，， 由，得， 由余弦定理得， ， ， 相加得得， 整理得，于是，当且仅当，即时取等号， 又，因此，而，解得， 所以实数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024 学年度第二学期 5月联考 高一数学试卷 注意事项 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁， 考试结束后， 将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A. B. 若互为共轭复数，则 C. 若，则 D. 若复数为纯虚数，则实数 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________． 13. 已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______． 14. 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为_______； （2）设，则的最小值为________． 四、解答题: 本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求; （2）若向量，，求与的夹角的余弦值． 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 17. 设函数. （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在上的最大值. 18. 如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 19. 正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $