精品解析：山东省日照市五莲县第一中学2024届高三第三次模拟考试数学试题

2024届高三年级第三次模似考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得 . 故选：C. 2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】由题意，点在圆外，则有， ，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则m，n平行、相交、异面均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】在A中，或；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，平行、相交、异面均有可能. 【详解】由是两条不同直线，是三个不同平面，得： 在A中，若，则或，故A错误； 在B中，若，则与相交或平行，故B错误； 在C中，若，则与相交或平行，故C错误； 在D中，若，则平行、相交、异面均有可能，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题. 4. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案. 【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法， 若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中， 则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况， 则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为. 故选：B 5. 已知抛物线的焦点为，准线为为 上一点， 垂直于点为等边三角形，过 的中点作直线 ，交 轴于 点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与 轴交于点 ，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求. 【详解】设直线与 轴交于点 ，连接， 因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为， 则，因为是等边三角形， 的中点为， 则轴，所以准线为，为矩形，则， 故是边长为4的等边三角形， 易知，则. 因为 ，所以直线的斜率为, 直线的方程为. 故选：B 6. 若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于 的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到，再根据条件得到，即可求出结果. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的， 得到函数的图象， 因为，所以， 由，可得， 所以，得到， 所以， 故选：D. 7. 已知正实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原问题可转化为直线与椭圆在在第一象限有交点，利用数形结合及直线与椭圆相切即可求解. 【详解】 原问题可转化为直线与椭圆在在第一象限有交点， 当直线与椭圆交于上顶点时，， 数形结合可得，； 联立，化简得， 令，解得（负值舍去）， 所以. 故选：C. 8. 如图，圆和圆外切于点 ，， 分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量 （单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随 的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项. 【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数， 所以A错误，B正确； 因为模型二的拟合效果好，预报更准确，根据已知：， ，所以，将代入经验回归方程， 有，所以C错误，D正确. 故选：BD 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理得到或，即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出，即可判断；对于C：由余弦定理求出，即可判断；对于D：利用三角公式判断出或，即可得到答案. 【详解】对于A：因为，由正弦定理得：， 所以. 因为， 为的内角，所以或， 所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.错误； 对于B：由余弦函数的有界性可知：若. 因为，所以或. 当时，有且，所以， 所以是等边三角形. 当时，有且，不符合题意. 所以一定是等边三角形.正确； 对于C：因为，由余弦定理得：， 所以，所以，则一定是等腰三角形.正确； 对于D：在中，，所以 . 所以， 所以，即，所以或. 所以一定是钝角三角形，正确. 故选：BCD 11. 已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的余弦值为 B. 若点 满足，则的最小值为 C. 在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为 D. 点在内，且，则点轨迹的长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】于A，建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合法向量夹角余弦公式即可验算；对于B，可得，故只需求出 到面的距离验算即可；对于C，用大正四面体内切球半径与小四面体外接球半径（含参）比较大小，得出参数（体积）范围即可判断；对于D，用几何法得出点的轨迹不是一个完整的圆即可判断. 【详解】将正四面体补全为正方体，并如图建系，， , 设面的一个法向量，面的一个法向量， 所以，，取，解得， 所以面的一个法向量，面的一个法向量， 设平面与平面夹角为时，A对. ，则共面，正四面体棱长为3，则正方体棱长为， 所以，，B对. 大正四面体内切球半径，小正四面体棱长为 ，此外接球半径， ，C对. 分别在 上取使，延长 至使， ，取的中点在以为球心， 为半径的球面上，且在内，作在平面上的射影， 为图中，显然不是一个完整的圆， 的轨迹长度不为，D错. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到四点共面，转换为验算点面距离即可顺利得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则集合 的元素个数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当 时，，2，4，分别为,均不能满足， 当 时，时可满足， 时，， 时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合 的元素有2个， 故答案为：2 13. 在平面四边形 中，，，，，则四边形 的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出 、，最后根据计算可得. 【详解】连接 ，依题意，设，，则， 又， 即，即， 即，显然，则，即， 又，所以，整理得， 即，解得，所以， 所以 . 故答案为： 14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足 ， 均垂直于y轴．若四边形 为菱形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令得，四边形 为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求 的值. 【详解】函数，， 若，恒成立，在上单调递增，不合题意， 时，，得， 则，， 四边形 为菱形，则 ， ，故，， ，则，， 由，化简得，令，则， 即，解得 ，故，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形 为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求 的值. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数. （1）求的分布列及期望； （2）证明：是等差数列. 【答案】（1） 2 3 期望为2.5 （2） ， 当共有个服务区时，设事件“这辆车停靠在第 个服务区”为，则， 由于停靠在第 个服务区后，后续过程可视为从第 个服务区出发， 总停靠次数为，若不停靠，则第 个服务区对过程无影响，总停靠次数为， 故， 因此，所以为等差数列. 【解析】 【分析】（1）的可能取值为2，3，易求得分布列，可求得数学期望； （2），根据题意可得，计算可得结论； 【小问1详解】 由题意可得的可能取值为2，3， 时，当且仅当不进入第2个服务区，， ， 故分布列为 2 3 期望为. 【小问2详解】 略 16. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面 ， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面 ，再由线面平行的性质定理，即可得出答案． （2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面，，所以平面，平面，故, 又因为平面，平面， 所以， 又，平面 ，所以平面 由于，则,故, 故为等腰直角三角形，所以, 如图以 为坐标原点，所在的直线分别为 ，，轴建系， 设，则， 故 由于，所以，故， 设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,， 因为，， 所以，即 令，则， 因为，， 所以，即 令，则， 设成的角为 ，由图可知 为钝角， 所以，故， 17. 设函数，. （1）求曲线平行于直线的切线； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2） 函数在，上单调递增， 在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设，利用导数分析其单调性，对函数求导，可得，进而结合正、余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 设平行于直线的切线与曲线相切与点， 则，即，即切点为 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 设，则， 所以函数在和上单调递减， 由， 则， 而，， 令，则或， 即或或，； 令，则， 综上所述，函数在，上单调递增， 在上单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，对函数求导，提取结合函数的单调性及正、余弦函数的性质求解即可. 18. 已知双曲线 的渐近线为，左顶点为. （1）求双曲线 的方程； （2）直线交 轴于点 ，过 点的直线交双曲线 于 ， ，直线 ， 分别交于 ， ，若 ，， ， 均在圆 上， ①求 的横坐标； ②求圆 面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②且 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出得双曲线方程； （2）①设，由四点共圆可得，根据斜率公式转化为点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出；②求出 点坐标得出，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在 轴上， 可设双曲线的方程为（，）， 从而渐近线方程为：，由题条件知：. 因为双曲线的左顶点为， 所以，， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图， ①，设直线的方程为：， 将代入方程：，得， 当且时， 设，，则，. 设直线的倾斜角为，不妨设，则， 由于 ，， ， 四点共圆知：， 所以直线的倾斜角为，. 直线 的方程为：， 令 ，则，从而， 所以，又， 得：， 又，代入上式得： ， ， ， 化简得：，解得：（舍）或. 故点 的坐标为. ②直线的方程为，由①知：， 所以. 直线方程；，所以， 若 ， 在 轴上方时， 在 的上方，即时，； 若 ， 在 轴下方时，即时，， 所以或. 又直线与渐近线不平行，所以. 所以，或且. 因为， 设圆 的半径为 ，面积为，则， 所以 ， 当且仅当即时，上述不等式取等号， 或且. 所以且，从而且. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题. 19. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，. （1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值； （2）设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列； （3）证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 【答案】（1），； （2）证明：充分性：因为是公差为的等差数列，且，则， 因此，， 必要性：因为，则，又因为，所以， 于是， 因此，，即是公差为的等差数列， 所以(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列. （3）证明：因为，(n=1,2,3…)，则，，即对任意，， 假设中存在大于2的项， 设m为满足的最小正整数，则，并且对任意， 又因为，则有，且， 于是， 因此，与矛盾， 从而对于任意，都有，即非负整数数列的各项只能为1或2， 因为对任意，，于是，， 假定是无穷数列中最后一个1，则，而，于是，矛盾， 所以数列有无穷多项为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数列，结合给定的定义计算作答. （2）利用充要条件的定义，结合等差数列定义和已知推理判断作答. （3）根据给定的定义，利用反证法推导中的项不能超过2，并且1不可能为有限个作答. 【小问1详解】 依题意，，则，，则，，则，，则， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级第三次模似考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则m，n平行、相交、异面均有可能 4. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为为 上一点， 垂直于点为等边三角形，过 的中点作直线 ，交 轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于 的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数 满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量 （单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随 的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是钝角三角形 11. 已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的余弦值为 B. 若点满足，则的最小值为 C. 在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为 D. 点在内，且，则点轨迹的长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则集合的元素个数为__________． 13. 在平面四边形 中，，，，，则四边形 的面积为__________． 14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足 ， 均垂直于y轴．若四边形 为菱形，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数. （1）求的分布列及期望； （2）证明：是等差数列. 16. 在五面体中， 平面，平面． （1）求证：； （2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 17. 设函数，. （1）求曲线平行于直线的切线； （2）讨论的单调性. 18. 已知双曲线 的渐近线为，左顶点为. （1）求双曲线 的方程； （2）直线交 轴于点 ，过 点的直线交双曲线 于， ，直线 ， 分别交于 ， ，若，， ， 均在圆上， ①求 的横坐标； ②求圆面积的取值范围. 19. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，. （1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值； （2）设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列； （3）证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $