精品解析：广西壮族自治区南宁市横州市2024年八年级下学期期中数学试题

2024年春季学期期中质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2 3. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一菱形的边长是4，则该菱形的周长是（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5. 下列选项中计算正确的是（　　） A. B. C. D. ÷ 6. 下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（ ） A. ，，1 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. ，， 7. 学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ） A. 平行四边形，正方形 B. 正方形，菱形 C. 正方形，矩形 D. 矩形，菱形 8. 在中，已知，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 10. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 11. 如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 12. 如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. D. 8 第II卷 二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 化简的结果为 __． 14. “对顶角相等”的逆命题________．（填“成立”或“不成立”）． 15. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 16. 小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是________． 17. 在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为________米． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，，则________． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，． （1）请分别写出点A，点B的坐标； （2）求出该菱形的周长． 22. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）四边形的面积________； （2）四边形的周长________； （3）与有什么关系？请说明理由． 24. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ （2）请你写出弦图（图2）的另一种证法： 26. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期期中质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，熟悉掌握此概念是解题的关键． 根据二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：为二次根式，故符合题意； B：，故不符合题意； C：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意； D：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意； 故选：A． 4. 一菱形的边长是4，则该菱形的周长是（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，根据菱形四条边长相等求周长即可． 【详解】解：∵菱形的边长为4， ∴菱形的周长， 故选：B． 5. 下列选项中计算正确的是（　　） A. B. C. D. ÷ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，二次根式的乘法，二次根式的除法运算，根据以上运算的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； 不能合并，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 6. 下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（ ） A. ，，1 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，1的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ） A. 平行四边形，正方形 B. 正方形，菱形 C. 正方形，矩形 D. 矩形，菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊的平行四边形，正确理解矩形，菱形，正方形之间的关系是解题的关键． 根据特殊的平行四边形的概念判断即可． 【详解】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形， ∴是正方形，是菱形， 故选：B 8. 在中，已知，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟悉掌握此定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：C． 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 选项A不符合题意； 四边形是菱形， ，但与不一定相等， 选项B符合题意，选项D不符合题意； 四边形是正方形，是对角线， ， 选项C不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解决问题的关键． 10. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 利用积的乘方运算法则进行化简运算即可． 【详解】解： 原式 故选：D． 11. 如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理．根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，， ∴，，， ∴； 故选D． 12. 如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．延长到点，使，连接，先证和全等，得到，，再证和全等，得到，最后得到的周长即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 的周长是 ， 故选：B． 第II卷 二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 化简的结果为 __． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. “对顶角相等”的逆命题________．（填“成立”或“不成立”）． 【答案】不成立 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，熟悉理解逆命题是解题的关键． 根据逆命题的概念写出逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：对顶角相等的逆命题为：相等的两个角为对顶角； ∵两个角相等但是不一定能成为对顶角， ∴此逆命题为假命题； 故答案为：不成立． 15. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟悉掌握对边相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，且含有2根3的木棒， ∴第四根木棒的长是5， 故答案为：5． 17. 在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为________米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数式间的变化规律是解题的关键． 分别对式子进行通分运算求出，的值，代入运算即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先根据完全平方公式去括号，然后计算二次根式除法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 21. 如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，． （1）请分别写出点A，点B的坐标； （2）求出该菱形的周长． 【答案】（1）， （2）20 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理， （1）首先根据菱形的性质得到，，，然后根据对称的性质求解即可； （2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称， ∵点C、点D的坐标分别是，， ∴点，点； 【小问2详解】 ∵点C、点D的坐标分别是，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 22. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）四边形的面积________； （2）四边形的周长________； （3）与有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）12 （2） （3）相等，且垂直 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【小问1详解】 四边形的面积； 故答案为：12； 【小问2详解】 四边形的周长为 ； 故答案为：； 【小问3详解】 相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键． 24. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ∴点O是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在中，由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键． 25. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ （2）请你写出弦图（图2）的另一种证法： 【答案】（1）；；； （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据面积列式即可； （2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形①的面积， 正方形②的面积， 又∵正方形①与正方形②的边长相等， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积， ∴ ∴ 26. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线的定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等知识点，熟读题意合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据中位线定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可； （3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵是的中位线， ∴ 【小问2详解】 解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且 【小问3详解】 延长到点，使，连接，，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $