精品解析：2024年四川省达州市宣汉县中考一模考试数学试题

宣汉县2024年中考一模考试数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案写在相应的位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ） A. B. C D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，88，89，85，92，90．则这组数据的中位数为（ ） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的弦与直径相交，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 9. 如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若一次函数图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（ ） A. B. 3或 C. D. 或3 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 12. 在平面直角坐标系中，若一次函数经过第一、三、四象限，则k的取值范围是______. 13. 如图，，，则与的面积比为______． 14. 某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米． 15. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为______. 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.共90分） 16. （1）计算：； （2）化简，并从2，1，0，中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 17. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 18. 如图，在中，，于点D，，且，过C作． （1）求证：； （2）求证：． 19. 北京时间2024年1月23日，新疆阿克苏地区乌什县发生7.1级地震，相关部门第一时间赶赴现场参与救授工作如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1米.参考数据：，，，） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）已知直线交y轴于点C，点在x轴的正半轴上，若为等腰三角形，求n的值． 21. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），物价部门规定该玩具售价不得超过50元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润w是2100元，求a的值． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，与相切于点C． （1）求证：； （2）若，垂足为点E，交于点F，，，求长． 23. 阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______； （2）关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，顶点为P，与y轴交于点C，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点的直线交抛物线于M，N两点（N点在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点． 25. 过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接.将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接． （1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形中，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求线段扫过的面积； （3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉县2024年中考一模考试数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案写在相应的位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图．根据几何体的主视图是否为圆进行判断即可． 【详解】解：A．该圆柱的主视图是矩形，不符合题意； B．该三棱柱的主视图是三角形，不符合题意； C．圆的主视图是圆，符合题意； D．正方体的主视图是正方形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是合并同类项、幂的运算性质和完全平方公式，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方是解题关键．根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项错误； D．，故本选项错误． 故选：B． 4. 某校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，88，89，85，92，90．则这组数据的中位数为（ ） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，熟知中位数的定义是解题的关键：一组数据中处在最中间的那个数或处在最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数．根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：将选手的评分从低到高排列为：85，85，87，88，89，90，92，处在第4名的成绩为88， ∴中位数为88， 故选B． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．关键是根据全等三角形的性质得出，然后根据三角形的内角和定理解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为： ， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 7. 如图，的弦与直径相交，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，先证明，求解，再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D 8. 如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故选：C． 9. 如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得，， ， ， ，， ，且， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键． 10. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（ ） A. B. 3或 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案． 【详解】解：在函数中， 当时，， 当时，，解得：， 函数与x轴交于，与y轴交于点， 其轴点函数经过点， ，； ，即， 其轴点函数与x轴的另一交点为， ，即， ， ， ， ， ， 当时，， 当时， 或3， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法因式分解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，若一次函数经过第一、三、四象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数经过一、三、四象限，得出，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 即k的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明，根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14. 某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解． 【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米， ∴，代入解析式得， ∴， ∵， ∴， 设，代入解析式得， ， ∴，即点C到的距离为米， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴点Q在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.共90分） 16. （1）计算：； （2）化简，并从2，1，0，中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2），时，原式 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、求正切值，绝对值，二次根式，再运算加减，即可作答； （2）先通分括号内，再运算除法，再化简得出，然后把2代入，即可作答． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ，且， 当时，原式． 17. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 【答案】解：（1）200． （2）补全图形，如图所示： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】 【详解】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）． （2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可． （3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 18. 如图，在中，，于点D，，且，过C作． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 北京时间2024年1月23日，新疆阿克苏地区乌什县发生7.1级地震，相关部门第一时间赶赴现场参与救授工作如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1米.参考数据：，，，） 【答案】4米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作，交的延长线于点D，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图，过点C作，交延长线于点D， 在中，， ， （米）， 在中，， ， （米）， 米， ， 解得：， 答：该生命迹象所在位置C的深度约为4米． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）已知直线交y轴于点C，点在x轴的正半轴上，若为等腰三角形，求n的值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或1或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质，掌握反比例函数的图象与性质，是解答本题的关键． （1）将点代入反比例函数解析式可先求出，再求出点A的坐标，再运用待定系数法求和b的值即可； （2）需要分类讨论，，，，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴，即， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴①当时， ∴， ∴或（舍）， ②当时，， ∴或（舍）， ③当时，， ∴， 即：满足条件的n为或1或． 21. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），物价部门规定该玩具售价不得超过50元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润w是2100元，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意确定正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设关于的函数表达式为，用待定系数法求解即可； （2）题意可得，由于对称轴为直线，由二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 由题意可得： ， 对称轴为直线，抛物线的开口向下， ， ， 物价部门规定该玩具售价不得超过50元件， 时，取最大值2100， ， 解得：． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，与相切于点C． （1）求证：； （2）若，垂足为点E，交于点F，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，结合，于是得到结论； （2）根据已知条件得到，得到，推出，再进一步利用锐角三角函数与勾股定理可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线； ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵ ∴， ∵ ∴， ， ∴， 设 在中，， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 23. 阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______； （2）关于x一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】（1） （2）方程的“最值码”为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：“全整根方程”的“最值码”是 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； 【小问3详解】 解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，顶点为P，与y轴交于点C，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点的直线交抛物线于M，N两点（N点在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 令，则 ∴ ∵的面积为6． ∴， 解得： ∴， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：设，设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴，， ∴ 令， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴直线必过定点 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 25. 过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接.将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接． （1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形中，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求线段扫过的面积； （3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）扫过的面积为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和变换证明，即可证得结论； （2）如图2，过点P作于点H，连接，先证明，可得，，再证明：是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得的长，再根据扫过的面积为扇形的面积，利用扇形面积即可求出答案； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图1， ∵，， ， ， ， ， ∵将绕点A顺时针方向旋转至， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，过点P作于点H，连接， ∵四边形是菱形， ， 由旋转得：， ，即， ，， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 扫过的面积为扇形的面积， ， 扫过的面积为； 【小问3详解】 解：①当时，如图3，连接，，过点B作于点E， 设交于点F，过点F作于点G， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 平分，，， ， 在中，， ， ， ， ， ，， 在中， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4，过点P作于点G，于点H， 则，， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得； ③当时， 由②知：，，， ， ， 解得：或，均不符合题意； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形、矩形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，采用分类讨论的思想，作出辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $