精品解析：江苏省宿迁市宿城区新区教学共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

2023－2024学年度第二学期期中学情调研试卷 八年级数学 答题注意事项 1.本卷满分150分，答题时间120分钟． 2.答案全部写在答题卡上，写在本卷上无效． 3.答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解某县初二28000名学生的数学学习情况，全县组织了一次数学检测，从中抽取500名考生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这500名考生是总体的一个样本 B. 28000名考生的全体是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 500名学生是样本容量 3. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 日行千里 D. 守株待兔 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 5. 如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 6. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 7. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　） A 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A. ① ③ B. ① ② ③ C. ① ③ ⑤ D. ① ② ③ ⑤ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一个班有40名学生，在期末体育考核中，成绩为优秀的有18人，在扇形统计图中，代表体育成绩优秀的扇形圆心角的度数是_________． 10. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 ________（精确到0.1）． 11. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为__________． 12. 如图，矩形的对角线，交于点，若、分别为，的中点，若，则的长为________． 13. 如图，在中，点D､E分别是边､的中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为_______． 14. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 15. 如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 16. 已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 _____． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，交于点，连接．若的周长为10cm，则平行四边形的周长为__________cm． 18. 如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 20. 为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？ 21. 在一只不透明口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 22. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：． 23. 如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 24. 如图，中，，点E、F分别是、的中点，．证明：是的平分线． 25. 如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接、相交于点． （1）当时，__________； （2）判断与的关系，并证明． 26. 如图，矩形，延长至点E，使，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点G．当，时，求的长． 27. 已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点． （1）求证：四边形平行四边形； （2）①当与满足条件　 　时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是　 　． ②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论． 28. 在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． （1）求证：平分． （2）试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期中学情调研试卷 八年级数学 答题注意事项 1.本卷满分150分，答题时间120分钟． 2.答案全部写在答题卡上，写在本卷上无效． 3.答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 为了了解某县初二28000名学生数学学习情况，全县组织了一次数学检测，从中抽取500名考生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这500名考生是总体的一个样本 B. 28000名考生的全体是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 500名学生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：A．这500名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意； B．28000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意； C．每位学生的数学成绩是个体，故本选项符合题意； D．500是样本容量，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位． 3. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 日行千里 D. 守株待兔 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C、日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意； D、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C、由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于基础题． 5. 如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求出，再结合图形，根据旋转的性质确定出旋转后与重合的过程，然后得出答案即可． 【详解】解：中，， ． 经过旋转后与重合， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余以及等腰三角形的性质，准确识图是解题的关键． 6. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形即可判断． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　） A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积． 【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20 故本题选择D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题． 8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A. ① ③ B. ① ② ③ C. ① ③ ⑤ D. ① ② ③ ⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得 【详解】① 解：过点P作于G，连接PC 易证 又PE⊥BC，PF⊥ CD， ∴ 四边形PECF是矩形 ∴ 故 ① 正确； ② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图 由① 知： 故② 正确； ③ 解：由①② 知： 故③正确； ④解：∵四边形PECF是矩形 ∴ PF=EC 在中 故④错误； ⑤ 解：过点P作于G，连接PC 易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形 ∴ 故⑤ 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一个班有40名学生，在期末体育考核中，成绩为优秀的有18人，在扇形统计图中，代表体育成绩优秀的扇形圆心角的度数是_________． 【答案】162 【解析】 【分析】先求出体育优秀的占总体的百分比，再乘以360°即可． 【详解】在扇形统计图中，代表体育优秀扇形的圆心角是360． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比． 10. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 ________（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】解：观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， 0.801≈0.8， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 11. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】连结AE，CF，EF交AC于G，由的垂直平分线，可得AE=CE，AF=CF，AG=CG，由四边形是矩形，可得∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，可证△AFG≌△CEG（AAS），可证四边形AFCE为菱形，可得AE=，由勾股定理AB=，可求BC，利用勾股定理AC=即可． 【详解】解：连结AE，CF，EF交AC于G， ∵的垂直平分线， ∴AE=CE，AF=CF，AG=CG， ∵四边形是矩形， ∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC， ∴∠FAG=∠ECG， 在△AFG和△CEG中， ， ∴△AFG≌△CEG（AAS）， ∴AF=CE， ∴AF=CF=AE=CE， ∴四边形AFCE为菱形， ∴AE= 在Rt△ABE中， AB=， ∵BC=BE+CE=BE+AF=， 在Rt△ABC中， AC=， ∴的长为10． 故答案为10． 【点睛】本题考查垂直平分线性质，矩形性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理应用，掌握垂直平分线性质，矩形性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理应用是解题关键． 12. 如图，矩形的对角线，交于点，若、分别为，的中点，若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，进而根据三角形中位线可进行求解问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵、分别为，的中点， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质及三角形中位线是解题的关键． 13. 如图，在中，点D､E分别是边､中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先利用中点的定义和中位线定理得到DE∥BC，DE=BC=3，AD=BD=2，利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，推出BD=DF=2，根据DE-DF可得EF． 【详解】解：∵点D和点E分别为AB和AC中点， ∴DE∥BC，DE=BC=3，AD=BD=2， ∴∠DFB=∠CBF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBF=∠CBF， ∴∠DFB=∠DBF， ∴BD=DF=2， ∴EF=DE-DF=3-2=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 【答案】##24平方厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图所示： 设菱形中，对角线， ∵四边形是菱形，对角线， ∴， ， ， ∴菱形的面积为∶．        故答案为：． 15. 如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由矩形的性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 16. 已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 _____． 【答案】（3，0）或（﹣3，0）或（7，4） 【解析】 【分析】根据坐标与图形的性质和平行四边形的对边平行且相等,根据坐标与图形，平移求解即可． 【详解】根据题意画出草图得： O（0，0）、A（2，2）、B（5，2） ①以为边：由到，向右平移2个单位，向上平移2个单位,将点（5，2），按照同样的方式平移可得 （7，4）， 由到，向左平移2个单位，向下平移2个单位,将点（5，2），按照同样的方式平移可得（3，0） ②以为对角线：由到，向左平移3个单位，将O（0，0）按照同样的方式平移可得（﹣3，0） 则点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）， 故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断和性质，解题的关键是利用已知条件正确画图再数形结合． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，交于点，连接．若的周长为10cm，则平行四边形的周长为__________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，线段垂直平分线的性质等知识．根据平行四边形的性质得到，，进而得到是线段的垂直平分线，，进而求出，从而求出平行四边形的周长为． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10cm， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：10 18. 如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】延长到，使，连接，则，，当、F、E在同一直线上时，最小，最小值为．根据P、Q分别是、的中点，得到，，的最小值为． 【详解】解：∵ ∴ 延长到，使，连接， 则，， 当、F、E在同一直线上时， 最小，最小值为． 在中， 即最小为10， ∵P、Q分别是、的中点， 最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称-最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【小问1详解】 解：即为所求； 【小问2详解】 即为所求； ； 【小问3详解】 若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为， 则的坐标为． 20. 为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？ 【答案】（1）60名，18°；（2）见解析；（3）540人 【解析】 【分析】（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D不了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数， （2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中“C一般了解”的占，因此估计总体1800名学生的是“一般了解”的人数． 【详解】解：（1）24÷40%=60（名）， 360°×=18°； （2）60×25%=15（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）1800×=540人， 答：该校1500名学生中选择“一般了解”的有540人． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 22. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得，从而可证，于是得证四边形是平行四边形，所以． 【详解】解：∵在平行四边形中，且， 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定；掌握相关性质和判定定理是解题的关键． 23. 如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形． 24. 如图，中，，点E、F分别是、的中点，．证明：是的平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，，可得 ，证明，可得，，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴ ， 在中，中， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：是的平分线． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，平行线的性质角平分线的定义，灵活运用以上知识解题是解本题的关键． 25. 如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接、相交于点． （1）当时，__________； （2）判断与的关系，并证明． 【答案】（1）35 （2），，见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质， （1）证明，得到即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：35； 【小问2详解】 ，，理由如下： 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，矩形，延长至点E，使，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点G．当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的判定和性质以及菱形的判定解答； （2）利用勾股定理先得出和的长；再证明，利用全等三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵AB＝1，DE＝CD＝1，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟记菱形的判定和勾股定理是解题关键． 27. 已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①当与满足条件　 　时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是　 　． ②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）①AB=CD；一组邻边相等的平行四边形是菱形；②AB⊥CD，见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答． 【小问1详解】 证明：∵E，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①∵F，G分别是中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，， ∴四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故答案为：；一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定是解题的关键． 28. 在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． （1）求证：平分． （2）试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，得到，．再证明是等腰直角三角形，求得，据此即可证明平分； （2）利用勾股定理即可得到结论； （3）证明，以及，，，即可证明四边形为正方形． 【小问1详解】 证明：如图，延长至点，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：． 证明如下：由（1）知，是等腰直角三角形， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 在与中， ∴． 同理可得，，， ∴，即． 又∵， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$