期末复习：平面几何压轴综合2023-2024学年苏科版数学七年级下册

七年级下期期末平面几何压轴综合复习 限时练习 知识点回顾 1、“三线八角” 如何由线找角：一看线，二看型。 同位角是“F”型； 内错角是“Z”型； 同旁内角是“U”型。 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。 2、平行公理： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 简述：平行于同一条直线的两条直线平行。 补充定理： 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。 简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。 3、平行线的判定和性质： 判定定理 性质定理 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 4、图形平移的性质： 图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。 5、三角形三边之间的关系： 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。 若三角形的三边分别为a、b、c，则 6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。 注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。 ②高、角平分线、中线的应用。 7、三角形的内角和： 三角形的3个内角的和等于180°； 直角三角形的两个锐角互余； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8、多边形的内角和： n边形的内角和等于（n-2）•180°； 任意多边形的外角和等于360° 思维导图 模拟预测 1．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ） A． ①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3．如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 5．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 8、如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 9、在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ． 10、如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 11、．动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 12、已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 13、已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 14、如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系； (3)若直线的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系． 15、如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 16、在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 17、将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中， (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由： (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由． 18、已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 19、综合实践课上，老师提出如下问题： 如图①所示，已知，并且知道与的度数，就可以求出的度数． (1)问题提出：如果，．求的度数． 小米同学看过图形立即求出，请你帮小米同学完成证明过程． 证明：如图②所示，过点P作． (2)问题迁移：如图③所示，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设， ，则，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），则，，之间有何数量关系并说明理由． 20、已知直线，，分别在直线，上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分，则的度数为______； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于点，连接．若平分，问的度数是否会发生变化？若不发生变化，请直接写出的度数；若会发生变化，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下期期末平面几何压轴综合复习 限时练习 知识点回顾 1、“三线八角” 如何由线找角：一看线，二看型。 同位角是“F”型； 内错角是“Z”型； 同旁内角是“U”型。 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。 2、平行公理： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 简述：平行于同一条直线的两条直线平行。 补充定理： 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。 简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。 3、平行线的判定和性质： 判定定理 性质定理 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 4、图形平移的性质： 图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。 5、三角形三边之间的关系： 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。 若三角形的三边分别为a、b、c，则 6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。 注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。 ②高、角平分线、中线的应用。 7、三角形的内角和： 三角形的3个内角的和等于180°； 直角三角形的两个锐角互余； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8、多边形的内角和： n边形的内角和等于（n-2）•180°； 任意多边形的外角和等于360° 思维导图 模拟预测 1．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 2．如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④共3个， 故选：C 3．如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点M，交于点N，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，再证即可得∠PGD=2∠EGD，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，即可判断④正确； 【详解】∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设交于点M，交于点N，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 4．如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 5．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确， 平分， ， ，， ，故②正确； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故选：C． 6．如图，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，，， ∴ ， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵ ， ∴为定值，故④正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 7．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B 8、如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 【答案】5秒或95秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图②，旋转到与都在的右侧， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图③，旋转到与都在的左侧， ，， 要使， 则，即， 解得：， 此时， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为秒或秒时，． 故答案为：秒或秒． 9、在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点为正五边形的中心和顶点两种情况讨论． 【详解】解：依题意，当为正五边形的中心点时即满足题意， ． 当为正五边形的顶点时即满足题意， ∴ 故答案为：或． 10、如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为： 11、．动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质定理，解决问题的关键是添加辅助线，运用平行线的性质，让角与角产生关联从而解决问题． （1）利用平行线的性质，分别同得，的度数，相加即可； （2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可； （3）利用平行线的性质，按照前面方法写出数量关系即可． 【详解】（1）解：过点P做，， ， ， ，， ， 即， ，， ； 故答案为：． （2） 如图，过点P做， ，， ， ， （3） 过点P做，过点K做， 则， ，，，， ， ∵平分，垂直于，平分， ∴，，，， ， , ． 12、已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 【答案】(1)，60 (2)33或69 (3)t的值为9或18或54或63 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即，同时可求得； （2）分两种情况讨论：当在点C的左边时，当在点C的右边时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°． 【详解】（1）解：如图所示，与交于点O， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是：垂直， ∵， ∴． （2）解：如图，当在点C的左边时，延长交于点G， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在点C的右边时， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴根据旋转可知，旋转角为：， ∴； 综上分析可知：或时，使得； （3）解：由题意可知，， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， ∴此时； ②时， 则： ， ∴，即，如图， 则旋转的度数为：， 即当旋转时，中有两个角相等； 此时； ③当时， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， 此时； ④由③可知，如图，当时， ∵， 此时旋转， 即当旋转时，中有两个角相等， 此时； 综上所述：当t的值为9或18或54或63时，中有两个角相等． 13、已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2）过K作，则，推出，即，即可得证； （3）过M作，过K作，易得，设，，推出，求出x的值，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）知，，    过K作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 即． （3）解：如图，过M作，过K作，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 14、如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系； (3)若直线的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 (3)不成立，存在或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，准确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）依据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到； （2）分两种情况讨论：当点在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，；当点在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，； （3）分两种情况讨论：当点在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，；当在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，． 【详解】（1）解：如图1，∵， ， 是的外角，， ， ； （2）解：或，证明： ①如图， 当点在上时， ∵， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， 同理可得，， ， 又是的外角， ， ，即； ②如图，当点在上时， 同理可得，， 又中，， ，即； （3）解：（2）中的结论不成立．存在：或． ①如图，当点在上时，由，可得： ， ， ， 又是的外角， ， ， 即； ②如图，当在上时， 同理可得，， ， ， 又中，， ， ． 15、如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）过G作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可，注意分类思想的应用； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可． 本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）当点G在F下方时，设与交于点N， 根据平移，得， ∴； ∵，，， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，，， ∴； 综上所述，的度数为或． （3）当点N在D左侧时， 过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； 当点N在D右侧时， 过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴， ∴； ∴； 综上所述，或． 16、在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 17、将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中， (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由： (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、、． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，清晰的分类讨论是解题的关键． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ②∵，， ∴， ∴， （2）猜想：， 理由如下：∵， 又∵， ∴， 即； （3）存在，、、、、． 理由：当时，如图1所示： ∴， ∵， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴， ∴； 当时，如图4所示： ∴， ∴； 当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 18、已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 19、综合实践课上，老师提出如下问题： 如图①所示，已知，并且知道与的度数，就可以求出的度数． (1)问题提出：如果，．求的度数． 小米同学看过图形立即求出，请你帮小米同学完成证明过程． 证明：如图②所示，过点P作． (2)问题迁移：如图③所示，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设， ，则，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），则，，之间有何数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)点P在线段上时，；P在射线上时， 【分析】（1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （2）过P作交于G点，推出，根据平行线的性质得出， ，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在线段上，②点P在射线上上），根据平行线的性质得出， ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：过P作交于G点， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：当点P在线段上时，过P点作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在射线上时，过点P作交于点H， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 综上，点P在线段上时，；P在射线上时，． 20、已知直线，，分别在直线，上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分，则的度数为______； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于点，连接．若平分，问的度数是否会发生变化？若不发生变化，请直接写出的度数；若会发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不发生变化，的度数为． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据分别平分和，得到，由得到，于是得到，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设，．由已知可得，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设．即．根据的平分线相交于G，得到．所以．再因为，所以．再根据平分，利用等量代换即可得到结论，所以．再根据条件平分，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： （2）过点G作， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． （3）不发生变化： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数不发生变化 学科网（北京）股份有限公司 $$