精品解析：湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷

衡阳市一中2024年上学期高二年级期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：罗政 范晓农 审题人：王小波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数和指数不等式解集合A、B，结合并集的概念与运算即可求解即可. 【详解】由，得，故， 由得，得，故， 所以. 故选：D. 2. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式在R上有解， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是. 故选：A. 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果. 【详解】解法一： 由题意得当时，， 因为函数，在上都单调递减， 所以函数在上单调递减，排除C，D； 因为，所以排除A， 故选：B. 解法二：当时，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确. 故选：B． 4. 设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性、单调性，由此即可列出不等式组求解. 【详解】显然的定义域关于原点对称，对于定义域内任意一个，都有，所以是偶函数， 当时，单调递减，所以当时，单调递增， 对于有，解得， 即不等式的解集是. 故选：B. 5. 已知，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断的单调性，从而得到，再利用对数函数的单调性判断出，从而得解. 【详解】因为， ，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因，所以，即，即，所以； 又，所以，即. 综上，. 故选：. 6. 衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（    ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出． 【详解】由题意可设比例系数为，所以， ，， 当时，， 故选：D． 7. 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以的周期为6. 又因为为奇函数， 所以，即，即， 令，则，即 所以， 故选：C. 8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分离参数得出关于的方程有三个不同的实数根，通过数形结合即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 函数的最大值为 B. 关于的不等式的解集是，则 C. 若正实数，满足，则的最小值为 D. 若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，利用韦达定理判断B，利用对勾函数的性质判断C，利用对数型复合函数的单调性判断D. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 即函数的最大值为，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是， 可得，为关于的方程的解，所以，即，故B正确； 对于C：因为正实数，满足， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 又在上单调递减，当时， 所以，即当且仅当时取等号，故C错误； 对于D：若函数在区间单调递减， ，解得，故D不正确． 故选：AB ． 10. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得，则可得，即可求得结果. 【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称， 又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：由的图象关于点对称，，， 则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误； 对于D：因为当时，，所以，， 因为图象既关于点对称，又关于直线对称， 所以，， 又因为函数是奇函数，所以， 又，则， 则，则， 所以的一个周期为， 所以，所以， 所以 ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的单调递减区间为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】借助复合函数的单调性“同增异减”的性质，即可求解. 【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数, 因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间， 易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为， 故答案为：. 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性进行比大小，再代入解析式中即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解. 【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意； 当a为正奇数时，则当时，恒成立， 因此只需研究时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 令，，则， 令，得，即， 当时，，则上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在上取得最小值， 要使时，恒成立，则， 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1， 综上所述，a的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题求解参数的关键：一是对参数a分为正偶数和正奇数两部分讨论；二是当a是正奇数时，需要分离参数构造新函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求解最值即可. 四、解答题:本题共5小题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的取值集合． 【答案】（1） （2）最大值为0， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的性质求的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求的最大值及取得最大值时x的取值集合． 【小问1详解】 ． 所以的最小正周期． 【小问2详解】 ，则函数最大值为0． 当取得最大值时，，即． 所以的最大值为0，取得最大值时的取值集合为 16. 记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解， （2）代入化简可得恒成立．利用作差法求解的单调性，即可求解最值得解. 【小问1详解】 设公差为，则，解得， 故 【小问2详解】 由，可得， 即恒成立． 设，则， 当时，则， 当，即时，则， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为． 17. 如图，在三棱锥中，E为BC的中点，O为DE的中点，，，都是正三角形． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面ABD和平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式及二面角与向量夹角的关系，结合同角三角函数的平方关系即可求解. 【小问1详解】 因为是正三角形，O为的中点， 所以． 因为，都是正三角形，E为的中点， 所以，， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 小问2详解】 以O为坐标原点，直线为x轴，过点O且与平行的直线为y轴，直线为z轴建立的空间直角坐标系如图所示: 设，则，，，， 所以，，． 设平面ABD法向量为，则 ,即，取，得， 所以． 设平面ABC的法向量为， 则，即，取，得， 所以． 设二面角的平面角为，则 ， 所以二面角的正弦值． 18. 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由椭圆上的点到焦点的最大距离为计算即可得； （2）设出直线，的方程，分别联立曲线可得，两点坐标，结合两点坐标可得直线方程，即可得其所过定点. 【小问1详解】 ∵长轴长为4，∴，椭圆上的点到点的最大距离为， ∴，∴.∴，∴椭圆的方程为：； 【小问2详解】 由（1）得，， 直线，的方程分别为，， 由得， ∴，可得，∴， 由得， ∴，可得，∴， ∴， 直线的方程为：， 即， 可得直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于设出两直线方程，从而联立曲线，表示出，两点坐标后可得直线方程，即可得其所过定点. 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：函数的图象位于直线的下方； （3）若函数在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）要证明，只需要证明，即证，构造，利用导数求出函数的最大值即可得证； （3）对分情况讨论，在时，，结合即可求解，在时，求导，结合零点存在性定理可得存在使得，进而结合导数即可求解. 【小问1详解】 ，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 要证明，只需要证明，即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方； 【小问3详解】 ， 当时，， 故当时，在区间上恒成立，符合题意； 当时，， 令，则在区间上恒成立， 所以在单调递减，且， ①当时，此时在区问上恒成立， 所以在区间单调递减， 所以在上恒成立，符合题意， ②当时，此时，由于且， 所以， 所以，故存在使得， 故当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 故时，取极大值也是最大值，故， 由，可得， 令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去， 综上可知，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳市一中2024年上学期高二年级期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：罗政 范晓农 审题人：王小波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设定义在上函数，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 6. 衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（    ） A 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 函数的最大值为 B. 关于的不等式的解集是，则 C. 若正实数，满足，则的最小值为 D. 若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 10. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的单调递减区间为_______ 13. 已知函数，则______． 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 四、解答题:本题共5小题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的取值集合． 16. 记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，E为BC的中点，O为DE的中点，，，都是正三角形． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：函数的图象位于直线的下方； （3）若函数在区间上无零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$