精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷

嘉陵一中高2023级高一下期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算与乘法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，，所以的虚部为1. 故选：C 2. 已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出直线与直线在同一平面内，且无公共点，即可判断出位置关系. 【详解】因为平面平面，所以平面与平面无公共点， 直线平面，直线平面， 直线平面，直线平面， 所以直线与直线在同一平面内，且无公共点，故直线. 故选：A. 3. 已知向量，且，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：C. 4. 一个水平放置平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】在直观图中过点，作于点，由， 得，，则，， 将直观图还原为平面图如下： 则，，，所以. 故选：D 5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合圆台的体积公式求出圆台的高，进而求出母线，再求出侧面积. 【详解】令圆台的高为，依题意，，解得， 于是圆台的母线， 所以圆台的侧面积. 故选：D 6. 已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得. 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（     ） （参考数据：，，，） A. 40米 B. 44米 C. 48米 D. 52米 【答案】A 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求，再在中求. 【详解】在中，，， 则， 由正弦定理，得， 在中，， 所以该铁塔的高度约为40米. 故选：A 8. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，得，将异面直线与所成角转化为或其补角，结合余弦定理求出的余弦值即可得到答案． 【详解】取的中点，连接，如图所示，根据三角形的中位线定理可得，所以异面直线与所成的角即或其补角． ，， 在中，，，，所以， 所以，所以． 在中，，， 可得． 在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（     ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直线与平面平行、垂直判定定理与性质定理可以判断. 【详解】对于A，由，，得，又，因此，A正确； 对于B，由，得存在过的平面与相交，令交线为（不与重合），则， 由，得存在过的平面与相交，令交线为（不与重合），则，于是， 显然，则，而，因此，，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，由，，得，而，则，D正确. 故选：ABD 10. 在中，角所对的边分别是，若，，且满足条件的三角形有且仅有两个，则a的取值可能为（     ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程，求出方程有两个不等的正根a的取值范围即可. 【详解】在中，由余弦定理，得， 即，依题意，上述关于的一元二次方程有两个不等的正根， 因此，解得， 所以a取值可能为10，11，BC正确，AD错误. 故选：BC 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存在，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到并判断D. 【详解】对于A，当时，是的中点，而是的中点，则， 而平面，平面，于是平面，A正确； 对于B，当，即点与重合时，由平面，平面， 则，又平面，则平面， 而平面，于是，又，则，同理， 又平面，因此平面，B错误； 对于C，显然，而平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，直线与直线和分别交于点，则，， 而有，， 当时，有，， 则，， 从而，， 当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合， ，亦成立， 则，，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与共线，则实数______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线坐标表示列式计算即得. 【详解】由向量，得， 由与共线，得，所以. 故答案为： 13. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件得球心到平面ABC的距离，再结合直角三角形ABC的外接圆半径求得外接球半径，进而由外接球体积和表面积公式即可计算得解. 【详解】显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球， 则外接球球心到平面ABC的距离为， 由，，，得三角形ABC的外接圆半径， 因此外接球半径，而外接球体积，表面积， 所以阳马的外接球的体积与表面积之比. 故答案为： 14. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意及余弦定理可得的关系，由余弦定理可得，再由为锐角三角形可得，即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 可得，在锐角中，由余弦定理可得： ， 因为，即，即， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数及所对应的点，再列出不等式求解即得. （2）利用复数除法运算求出复数，再由纯虚数的意义求出，进而求出模. 【小问1详解】 由，得， 由复数对应的点在第二象限，得，解得， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得，则 所以. 16. 如图，四棱锥中，，，E为PB的中点． （1）求证：平面PAD； （2）过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，交点为PA的中点和AB的中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中点构造三角形中位线从而得出平行关系，再根据题目中给出的相等关系，得出平行四边形，从而可以证明平面DF，再根据线面平行的判定方法即可得出结论； （2）取中点后，证明四边形CDHB为平行四边形，从而利用平行四边形证明，再利用中位线定理证明，从而利用面面平行的判定定理即可得出结论。 【小问1详解】 如图，取PA的中点F，连接EF，DF， 因为E为PB的中点，所以，， 又，， 所以，，因此四边形CDFE为平行四边形， 所以，又平面PAD，平面PAD， 因此平面PAD． 【小问2详解】 存在，交点为PA的中点F和AB的中点H， 连接FH，DH，下面证明平面平面DFH． 由（1）得，又平面DFH，平面DFH， 因此平面DFH， 因为F为PA的中点，H为AB的中点，所以， 又平面DFH，平面DFH，因此平面DFH， 又，因此平面平面DFH． 17. 在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． （1）求角； （2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， ，故， ，即， 又，则． 【小问2详解】 由（1）可知，，又外接圆的半径为； 由正弦定理可知， 所以， 因为是的平分线，故， 又， 由， 可得，即．① 由余弦定理可知，，即．② 由①②可知． 所以， 又，则， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，平面，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． （1）证明：； （2）连接AC交BD于点O，连接OP.求证：平面； （3）若H为PC的中点，PA与平面所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质推理即得. （2）利用菱形及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定、性质推理即得. （3）由（2）的结论，证明平面，由锥体的体积公式可得和，计算得解. 【小问1详解】 由平面，且平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 由，且O为AC中点，得，由（1）知，又， 则，由底面为菱形，得，而平面PAC， 因此平面，又平面，则， 又，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，平面ABCD，而，四边形为菱形，，则，， 平面，则平面， 又PA与平面所成角为60°，即，，则， 因此四棱锥的体积， 又H为PC中点，且，即， 在中，记，显然点G在MN上，且点G为重心，， 又，则，由（2）知平面，于是平面， 又， 从而，， 所以. 19. 如图，点分别是矩形的边上的两点，，. （1）若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； （2）若，求的范围； （3）若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得夹角余弦值即可； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系， 则，，，， 所以， ，， . 【小问2详解】 由，， 故，则， 所以 ， 由，故. 【小问3详解】 同（1）问建立相同直角坐标系， 则可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉陵一中高2023级高一下期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（     ） A. B. C. D. 2. 已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 3 已知向量，且，若，则（     ） A. B. C. D. 4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A. B. C. D. 5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（     ） A. B. C. D. 6. 已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（     ） （参考数据：，，，） A. 40米 B. 44米 C. 48米 D. 52米 8. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（     ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 10. 在中，角所对的边分别是，若，，且满足条件的三角形有且仅有两个，则a的取值可能为（     ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存在，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与共线，则实数______. 13. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是__________. 14. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围； （2）若是纯虚数，求. 16. 如图，四棱锥中，，，E为PB的中点． （1）求证：平面PAD； （2）过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 17. 在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． （1）求角； （2）若角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面菱形，，，，平面，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． （1）证明：； （2）连接AC交BD于点O，连接OP.求证：平面； （3）若H为PC的中点，PA与平面所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 19. 如图，点分别是矩形的边上的两点，，. （1）若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； （2）若，求的范围； （3）若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$