精品解析：广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题分) 1. 已知，则的实部是（ ） A. B. i C. 0 D. 1 2. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ） A. 转动后点距离地面 B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C. 第和第点距离地面的高度相同 D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 7. 已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误是（ ） A. B. C. 若，则 D. 二、多选题（分，部分对得部分的分数) 9. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大 10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ） 参考公式： A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为170 D. 估计该学校学生身高的方差为236 11. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题分) 12. 若，则__________. 13. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数______. 14. 已知复数满足，则的最大值是__________. 四、解答题 15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. （3）若，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求的值． 18. 已知． （1）求函数图象的对称轴方程； （2）设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 19. 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）已知，点是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值: ②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图: 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题分) 1. 已知，则的实部是（ ） A. B. i C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得. 【详解】因为，所以z的实部是0. 故选：C． 2. 如图，在中，为边中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得. 【详解】为的中点，， ． 故选：D. 3. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理以及诱导公式即可求解. 【详解】由及正弦定理，得，因为， 所以． 反之亦成立，所以“”是“”的充要条件． 故选：A. 5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可， 故选：A. 6. 如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ） A. 转动后点距离地面 B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C. 第和第点距离地面的高度相同 D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【答案】D 【解析】 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为： ， 由题意得：， ，则 ， 所以 ， 选项A，转到后，点距离地面的高度为： ，故A不正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍， 故B不正确； 选项C，因为 ， ， 所以 ， 即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确； 选项D，令， 则 ，由， 解得 ， 所以， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为， 故D正确； 故选：D. 7. 已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：且向量方向不反向，结合向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可知：且向量方向不反向， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C. 【详解】对于A，设， 则，而， 故，故A正确； 对于B，， 则 ， 又， 所以，故B正确； 对于C，令，则，所以， 但是，故C错误； 对于D，，又， 所以，故D正确. 故选：C 二、多选题（分，部分对得部分的分数) 9. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据的中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的形式可求样本均值，从而可判断A，根据方差的性质可判断C的正误，根据极差和中位数的计算方法可判断BD的正误. 【详解】对于A，因为方差，故，所以这组样本数据的总和等于，故A正确. 对于C，数据，，…，的方差为，故其标准差为，故C正确. 对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错误. 对于D，新样本数据的极差为， 故新的样本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误. 故选：AC. 10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ） 参考公式： A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高平均值为170 D. 估计该学校学生身高的方差为236 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项. 【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确； 对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确； 对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误； 对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确. 故选：ABD 11. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用辅助角公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：；故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题分) 12. 若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角正切公式计算即得. 【详解】由，得， 显然，否则，矛盾， 所以. 故答案为：3 13. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知复数满足，则的最大值是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， 最大的距离为， 即的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】（1） （2）79.3 （3）7次 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. 【小问3详解】 由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. （3）若，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）借助共线向量定理表示出，再利用模的坐标表示求解即得. （2）利用垂直关系的向量表示，结合数量的运算律求出夹角的余弦即得. （3）利用投影向量的意义求出向量在向量上的投影向量. 【小问1详解】 由，，令， 由，得， 解得，所以或. 【小问2详解】 由，得，由，得，则， 而，则，又， 所以与的夹角. 【小问3详解】 向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由同角公式求出，再利用三角形面积公式求解即得. （2）利用余弦定理、正弦定理直接求解. （3）由（2）的结论并求出，再利用二倍角公式、差角的余弦公式计算得解. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理有，，则， 由（1）知，，由正弦定理，得. 【小问3详解】 由（2）知，，而，则是锐角，， 又，， 所以． 18. 已知． （1）求函数图象的对称轴方程； （2）设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围. 【小问1详解】 由于， 故 ， 由，得 故函数图象的对称轴方程为； 【小问2详解】 由，得，而, 故， 由于，则， 则， 则 ， 而， 则，即， 故周长的取值范围为. 19. 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）已知，点是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值: ②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图: 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； （2）①根据判断出，设，，在和中，由正弦定理得的表达式，从而由得解. ②假设存在实常数，由和差化积，积化和差化简整理得到：，故而,进而得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为是直角三角形内角，故，， 则，所以， 即，又， 所以； 【小问2详解】 ①因为，所以（否则时会推出）， 又，，所以，. 如图，设，， 则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有 成立， 则存在实常数，对于所有满足题意的， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的成立， 故有, 因为，从而，即， 因为为的内角，所以， 从而，. 【点睛】关键点点睛：选取题干中合适的和差化积积化和差公式，将条件转化成，类似关于的一元一次方程有无数解的条件是来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$