精品解析：河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第三次月考（5月）数学试题

2023—2024学年高一下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 10.5 2. 为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知在软件的控制台中，输入“，）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为，则这4个整数的标准差为（ ） A. B. C. 40 D. 10 4. 如图所示，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台 B. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C. 若直线在平面外，则 D. 正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于 6. 已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 11 7. 已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 是内一点，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 若为实数，则 B. 若，则 C. 若在复平面内对应的点位于第一象限，则 D. 若，则 10. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 在四面体中，点的曲率小于 D. 二面角的大小为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 13. 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的侧面积为__________，该圆柱的内切球的体积为__________. 14. 为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示. （1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差； （2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数； （3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由. 16. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为. ①求的大小； ②在中，，求的周长. 17. 在中，. （1）求角的大小； （2）若在边上，，且，求的面积. 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 19. 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点. （1）证明：. （2）证明：平面平面. （3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年高一下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 10.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，按照法则求出中位数即可. 【详解】将数据从小到大排列：.故这组数据的中位数是. 故选：D 2. 为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案. 【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为. 故选：A. 3. 已知在软件的控制台中，输入“，）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为，则这4个整数的标准差为（ ） A. B. C. 40 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先求平均数，再由标准差的公式计算即可. 【详解】这4个整数的平均数为， 则这4个整数的标准差为. 故选：B. 4. 如图所示，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定好基底，由向量的加减法的运算性质解出即可. 【详解】. 故选：C 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台 B. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C. 若直线在平面外，则 D. 正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B选项，举反例即可得出A、B错误；对C选项，直线在平面外，包含两种情况：或直线与平面相交，故C错误；对D选项，用排除法也可以得出，D正确. 【详解】对A选项，正方体的上底面与下底面相似，但正方体不是棱台，A错误； 对B选项，如图所示的几何体所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，B错误； 对C选项，若直线在平面外，则或直线与平面相交，C错误； 对D选项，正六棱锥的侧面为等腰三角形，设其.中一个侧面为，其中， 因为，所以，D正确. 故选：D. 6. 已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：B. 7. 已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，可得点为的外心，四边形为菱形，则在上的投影向量为. 【详解】如图，依题意可得点为的外心， 因为，所以， 所以，则四边形为菱形， 设，则， 因为，所以在上的投影向量为. 故选：A. 8. 是内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，分别使用正弦定理，结合化简整理即可得解 【详解】因为， 所以， 设，因为，所以． 在中，由正弦定理可得， 则，即， 即， 解得． 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 若为实数，则 B. 若，则 C. 若在复平面内对应的点位于第一象限，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据复数的类型得到方程，求出；B选项，利用复数除法法则计算出，从而得到方程组，求出答案；C选项，由所在象限得到不等式组，求出；D选项，计算出，利用复数模长公式求出答案. 【详解】A选项，若为实数，则正确. B选项，若，则， 则解得错误. C选项，若在复平面内对应的点位于第一象限，则解得，错误. D选项，若，则， 解得，则正确. 故选：AD 10. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可. 【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C错误； 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确. 故选：ABD 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 在四面体中，点的曲率小于 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定性质判断A；利用曲率的定义计算判断BC；作出二面角的平面角并求得其大小判断D 【详解】对于A，取的中点，连接BG，FG，由D，E，F分别为的中点， 得，而平面，平面，则平面， 又，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，则平面，又， 平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正确； 对于B，在直三棱柱中，， 则点的曲率为，解得，由，得， 而，因此点的曲率为，B正确； 对于C，过作，交的延长线于，连接，由平面ABC， 平面ABC，得，，平面， 则平面，平面，因此，，， 又，则，， 在四面体中，点的曲率为，C错误； 对于D，由选项C知，为二面角的平面角，又， 则，所以，D正确． 故选：ABD . 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解出复数，再利用虚部的定义得到答案即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为2． 故答案为：2 13. 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的侧面积为__________，该圆柱的内切球的体积为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由圆柱的轴截面是面积为4的正方形，得到圆柱的底面半径和高，应用圆柱的面积公式求解即可；（2）依据圆柱的底面半径和高，得到内切球的半径，应用球的体积公式求解即可. 【详解】依题意圆柱的轴截面是面积为4的正方形，可得该圆柱的底面半径为1，高为2， 则该圆柱的侧面积为. 易得该圆柱的内切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为. 故答案为：，. 14. 为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据平均数，方差的定义可得，分析可得，分取11,12,13讨论求解. 【详解】依题意得， 化简得. 易知，得. 又因为， 所以这5个数的绝对值不超过4，所以，即， 当时，可得，无解； 当时，可得，由， ，得这四个平方数只能为，则，符合题意，此时； 当时，，无解. 综上，. 故答案为：0. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示. （1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差； （2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数； （3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）将数据从小到大排列，找出最大值及最小值，解出极差即可； （2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算出平均数即可； （3）通过折线图观察比较出第届亚运会中国队获得的金牌数与第届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况即可判断. 【小问1详解】 由题意知：第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为. 【小问2详解】 剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：. 【小问3详解】 可判断出，理由如下： 因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以. 16. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为. ①求的大小； ②在中，，求的周长. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据向量的平行公式即可得的值. （2）①先有向量垂直关系得，再由向量夹角公式得的大小；②在三角形中由余弦定理得边长，即可得到周长. 【小问1详解】 且，，. 【小问2详解】 ①因为， 所以， 即，解得. 由，得， ， 故， 因为，所以. ②由题意得， 由余弦定理得， 故的周长为. 17. 在中，. （1）求角的大小； （2）若在边上，，且，求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角； （2）由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由题意得， 即， 由正弦定理得， 由余弦定理得. 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 解得， 则或（舍去）， 得，则. 故. 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 【答案】（1）420；200 （2），选择方案二. 【解析】 【分析】（1）计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数； （2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率，从而得到，结合，求出，与35比较后得到结论. 【小问1详解】 一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为； 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为. 【小问2详解】 一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为 . 二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为 . 故. 因为，所以. 又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元， 所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二. 19. 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点. （1）证明：. （2）证明：平面平面. （3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积. 【答案】（1）证明：如图，连接，与交于点， 因为平面平面，所以， 又因为， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则， 因为平面，所以， 所以，即. （2）证明：延长交于点，连接， 由中位线性质可得，因为，所以， 因为平面平面， 所以平面， 所以为的中点，则， 因为平面平面，所以平面， 因为，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明； （2）证明出平面中的两条相交直线均平行于平面即可； （3）结合题意先求出，再求出的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设.因为，所以，则，. 设点到平面的距离为与平面所成的角为， 则， 因为， ， 所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大， 的体积 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式求最值，解出相等情况进而解出值，即解出的值，进而求出的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $