精品解析：陕西省咸阳市永寿县2023-2024学年九年级下学期5月期中数学试题

永寿县2023-2024学年度第二学期质量调研监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，在试卷上填写姓名和准考证号． 3．请在试卷上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷交回． 第一部分（选择题共24分） 一､选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，a，b，c，d均为直线，且，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 5. 把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图，为的直径，为上的点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 或 第二部分（非选择题共96分） 二､填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 10. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______． 11. 如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______． 13. 如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 __． 三､解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： ． 16. 解方程：． 17. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．保留作图痕迹，不写作法 18. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：． 19. 3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数． 20. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 21. 数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量教学楼的高度 测量方案示意图 测得数据 ，， 说明 图上所有点均在同一平面内 参考数据 ，，， ，， 请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数） 22. 能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验（汽车为满电状态），发现汽车剩余电量是汽车行驶路程的一次函数，试验数据记录如下． 汽车行驶路程 汽车剩余电量 （1）根据表中的数据，求与之间的函数表达式； （2）当汽车剩余电量为时，若以的速度匀速行驶，该汽车最多已经行驶了多长时间？ 23. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图①，某公园在一个扇形草坪上的圆心处，垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动旋转喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小西发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度米与喷出的水与柱子的水平距离米之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小西测出连喷头在内高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小西以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与之间的函数关系式． 【解决问题】 （1）求水流所在抛物线的函数表达式； （2）当喷头从草坪最边缘开始旋转时，这个草坪刚好被水流覆盖，求这个草坪的面积． 26. 【问题提出】 （1）如图①，四边形内接于，若，则的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在锐角中，是边上的高，是的中线，．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，现有一块四边形梯田米，米，米，为上的一个取水点，且米，为两条灌溉水渠，为方便观察梯田灌溉情况，工作人员计划在水渠上找一点，沿修一条小路，并要求．工作人员按照如下方法操作： ①以点，为圆心，适当长为半径画弧交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③连接交于点． 按照上述方法操作，找到的点位置是否符合要求？若符合要求，请求出此时小路的长；若不符合要求，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿县2023-2024学年度第二学期质量调研监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，在试卷上填写姓名和准考证号． 3．请在试卷上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷交回． 第一部分（选择题共24分） 一､选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，即可得出答案． 【详解】解：的算术平方根是：． 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 如图，a，b，c，d均为直线，且，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直的性质，以及平行线性质，利用垂直的性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，以及单项式乘以单项式，正确的计算是解题的关键．根据相关运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴； 故选D． 5. 把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数平移规律及函数图像上点满足函数解析式，解题的关键是得到平移后的函数； 根据函数平移规律上加下减，左加右减求出新函数，逐个选项代入判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，平移后函数为：， 当时，，故A不符合题意， 当时，，故B符合题意，D符合题意， 当时，，故C不符合题意， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，为的直径，为上的点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线y＝﹣x2+4x+2m，得到顶点坐标为（2，2m+4），根据两条抛物线关于x轴对称，得到另一条抛物线顶点坐标为（2，﹣2m﹣4），根据两顶点相距6个单位长度，得到关于m的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m， ∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4）， ∴关于x轴对称的抛物线的顶点 ∵它们的顶点相距6个单位长度． ∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6， ∴4m+8＝±6， 当4m+8＝6时，m＝， 当4m+8＝﹣6时，m＝， ∴m的值是或． 故选：D． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，轴对称，坐标系内线段的表示，根据题意得到关于m的绝对值方程是解题关键． 第二部分（非选择题共96分） 二､填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查实数的估值，根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ 10. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______． 【答案】84° 【解析】 【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°， 故答案为：84°． 【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 11. 如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，黄金分割，依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】∵ ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，在轴上，， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，，证明点D、O、M、B在一条直线上，证明是的中位线，得到，当最小时，最小，即当时，最小，求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D、O、M、B在一条直线上， ∵点E是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 即当时，最小， ∵， ∴M点与O点重合时，最小， ∵正方形的边长为4， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴点H在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点H也在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 三､解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，化简绝对值，乘方运算，先计算乘法运算，0次幂，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式组： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；先分别解两个不等式得到和，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．先去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．保留作图痕迹，不写作法 【答案】如图，点为所求． 【解析】 【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质，分别作和的平分线，交点即为点． 【详解】解：分别作和的平分线，相交于点， 则点到边，，的距离均相等， 即点为所求． 18. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：． 【答案】证明：在中，， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，根据等腰三角形性质和三角形外角性质得到，证明，利用全等三角形的性质即可解题． 【详解】略 19. 3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数． 【答案】应调往甲处人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应调往甲处人，调往乙处人，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：设应调往甲处人，调往乙处人，根据题意列方程得 ， 解得， 答：应调往甲处人． 20. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 21. 数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量教学楼的高度 测量方案示意图 测得数据 ，， 说明 图上所有点均在同一平面内 参考数据 ，，， ，， 请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数） 【答案】教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键． 【详解】根据题意得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：教学楼的高度约为． 22. 能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验（汽车为满电状态），发现汽车剩余电量是汽车行驶路程的一次函数，试验数据记录如下． 汽车行驶路程 汽车剩余电量 （1）根据表中的数据，求与之间的函数表达式； （2）当汽车剩余电量为时，若以的速度匀速行驶，该汽车最多已经行驶了多长时间？ 【答案】（1）与之间的函数表达式为 （2）该汽车最多已经行驶了 【解析】 【分析】本题看出来一次函数的应用； （1）根据表格数据，待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意，把代入中，得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设，将代入， 得，解得． 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意，把代入中， 得，解得． 汽车行驶的时间为， 该汽车最多已经行驶了． 23. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 【答案】（1），， 补全条形图如下： （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体， （1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，再求出等级的人数即可补全条形图，根据总人数和等级的人数即可求出的值； （2）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （3）用乘以等级所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 故等级的人数为， ∵， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5， 成绩出现次数最多的是，因此众数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， 答：估计成绩能达到等级的学生人数有人 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可； （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，可得，用勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质，可得，可证明，通过三角形相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 25. 如图①，某公园在一个扇形草坪上的圆心处，垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动旋转喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小西发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度米与喷出的水与柱子的水平距离米之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小西测出连喷头在内高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小西以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与之间的函数关系式． 【解决问题】 （1）求水流所在抛物线的函数表达式； （2）当喷头从草坪最边缘开始旋转时，这个草坪刚好被水流覆盖，求这个草坪的面积． 【答案】（1）水流所在抛物线的函数表达式为 （2）这个草坪的面积（平方米） 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积计算、二次函数的实际应用． （1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得； （2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解： 水流的最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的表达式为，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 令，则， 解得（舍去）． 这个草坪的面积（平方米）． 26. 【问题提出】 （1）如图①，四边形内接于，若，则的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在锐角中，是边上的高，是的中线，．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，现有一块四边形梯田米，米，米，为上的一个取水点，且米，为两条灌溉水渠，为方便观察梯田灌溉情况，工作人员计划在水渠上找一点，沿修一条小路，并要求．工作人员按照如下方法操作： ①以点，为圆心，适当长为半径画弧交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③连接交于点． 按照上述方法操作，找到的点位置是否符合要求？若符合要求，请求出此时小路的长；若不符合要求，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点位置符合要求，此时小路的长为米 【解析】 【分析】此题主要考查了圆与四边形综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质及中位线的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． （1）由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数； （2）由为边上的高，可得．从而得出．再由，可得，得出，再由勾股定理得出，从而得出，最后求解即可； （3）过点作于点，取的中点，连接，先证明，可得是等要要直角三角形，．再求解即可． 【详解】解：（1）四边形内接于， ，而， ， ． 故答案为：； （2）为边上的高， ． ． ． 又， ． ． 在中，． ． 在中，． （3）点位置符合要求，理由如下： 如图③，过点作于点，取的中点，连接， ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 米． ． 在和中，， ． ． ． 是等要要直角三角形，． 由题可知点是的平分线与的交点， 点为的中点，和都是直角三角形． ． 在和中，， ． ． 点分别为的中点， 为的中位线． 米，． ． 为等腰直角三角形． 米． 综上所述，找到的点位置符合要求，此时小路的长为米． 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