4.2023年市中区学业水平第一次模拟试题-2023年山东省济南市中考一模数学试题

— 19 — — 20 — — 21 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -3 的绝对值是 (　 　 ) A. -3 B. 3 C. ± 3 D. 3 2. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形,则它的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 　 3. 在今年的全国两会报道中,央视新闻频道首次把央视新闻新媒体平台作为报道主战场,重点打造“V 观两会”微视频和“云直播”,以独特的优势引领媒体两会报道工作. 截至 3 月 15 日,央视新闻新媒 体各平台两会报道阅读总量突破 3 900 000 000,请将数据 3 900 000 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 3. 9×109 B. 0. 39×109 C. 3. 9×1010 D. 0. 39×1010 4. 如图,将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上. 若∠2 = 40°,则∠1 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2 +2a2 = 3a4 B. a3·a2 =a6 C. (2a2) 3 = 8a6 D. (a-b) 2 =a2 -b2 6. 下列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 7. 实数 a,b 在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. a>b B. -a<b C. | a | < | b | D. a+b<0 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 8. 如图,一只松鼠先经过第一道门(A,B 或 C),再经过第二道门(D 或 E)出去,则松鼠走出笼子的路线 是“先经过 A 门,再经过 E 门”的概率是 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 5 C. 1 3 D. 1 2 9. 如图,在△ABC 中,AB=BC,以点 B 为圆心,适当长为半径画弧交 BA 于点 M,交 BC 于点 N,分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧相交于点 D,射线 BD 交 AC 于点 E,F 是 BC 的中点, 连接 EF. 若 BE=AC= 4,则△CEF 的周长为 (　 　 ) A. 8 B. 2 3 +2 C. 2 5 +6 D. 2 5 +2 10. 已知二次函数 y= -x2+x+m2(m>0)与一次函数 y= -x+1 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,当 x1≤ x≤x2 时,至少存在一个 x,使得-x2 +x+m2≥ 1 3 成立,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. 0<m≤ 1 5 B. 1 5 ≤m≤ 1 4 C. 1 4 ≤m≤ 1 3 D. m≥ 1 3 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:a2 -ab= . 12. 如图是由全等的小正方形组成的图案,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率 是 . 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 代数式 2 x-4 与代数式 3 x-8 的值相等,则 x= . 14. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,对角线 AC 的中点为 O,分别以点 A,C 为圆心,以 AO 的长为半 径画弧,分别与正方形的边相交,则图中阴影部分的面积为 (结果保留 π) . 15. 在一条笔直的公路上有 A,B,C 三地,C 地位于 A,B 两地之间,甲、乙两车分别从 A,B 两地出发,沿 这条公路匀速行驶至 C 地停止. 从甲车出发至甲车到达 C 地的过程,甲、乙两车各自与 C 地的距离 y(km)与甲车行驶时间 t( h) 之间的函数关系如图所示. 当甲车出发 h 时,两车相距 350 km. 16. 如图,点 O 是正方形 ABCD 的中心,AB= 3 2 . 在 Rt△BEF 中,∠BEF= 90°,EF 过点 D. BE,BF 分别 交 AD,CD 于点 G,M,连接 OE,OM,EM. 若 BG=DF,tan∠ABG= 1 3 ,则 BM 的长为 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 1 2( ) -1 -4cos 45°+ π 3( ) 0 - 9 . 18. (6 分)解不等式组: 3(x-1) <2, 5x+3 2 >x, ì î í ï ï ï ï 并写出所有整数解. 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上的两点,且 AF=CE,连接 DE,BF. 求证:DE∥BF. 20. (8 分)某校举行了冬奥会知识竞赛,在全校随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩 得分用 x 表示,共分成四组),并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图. 其中“60≤x< 70”“70≤x<80”这两组数据如下: 61,74,68,62,73,70,72,78,69,74,79,68,74. 　 　 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 60≤x<70 a 2 70≤x<80 b 3 80≤x<90 12 4 90≤x<100 d 　 　 竞赛成绩扇形统计图 　 　 请根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a= ; (2)统计图中第 4 组对应的圆心角为 度; (3)“70≤x<80”这组数据的众数是 ,中位数是 ; (4)若学生竞赛成绩达到 90 分及以上获奖,请你估计全校 1 200 名学生中获奖的人数. 4 2023 年市中区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 22 — — 23 — — 24 — 21. (8 分)2022 年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮. 图 1、图 2 分别是一 名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图,已知运动员的小腿 ED 与斜坡 AB 垂直, 大腿 EF 与斜坡 AB 平行,G 为头部,假设 G,E,D 三点共线且头部到斜坡的距离 GD 的长为 1. 05 m, 上身与大腿的夹角∠GFE= 53°,膝盖与滑雪板后端的距离 EM 的长为 0. 9 m,∠EMD= 30°. (1)求此滑雪运动员的小腿 ED 的长度; (2)求此滑雪运动员的身高. (滑雪运动员的身高由 GF,EF,DE 三条线段构成;参考数据:sin 53°≈ 4 5 ,cos 53°≈ 3 5 ,tan 53°≈ 4 3 ) 图 1 　 　 图 2 22. (8 分)如图,BC 是☉O 的直径,CE 是☉O 的弦,过点 E 作☉O 的切线,交 CB 的延长线于点 G,过点 B 作 BF⊥EG 于点 F,交 CE 的延长线于点 A. (1)求证:∠ABG= 2∠C; (2)若 FG= 3 3 ,BG= 6,求☉O 的半径. 23. (10 分)某校艺术节,计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计,并进行义卖后将所获利润全 部捐给山区困难孩子. 已知该学校从批发市场花 4 800 元购买了红、蓝两种颜色的文化衫 220 件,每 件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表: 批发价 /元 零售价 /元 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫各几件? (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫 300 件,其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数 量的 2 倍,请设计一个方案:学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润,最大利润是多少? 24. (10 分)已知在等腰直角三角形 ABC 中,∠B= 90°,点 A(0,2),B(1,0) . (1)如图 1,请直接写出点 C 的坐标: ,若点 C 在反比例函数 y = k1 x ( x>0)的图象上,则 k1 = ; (2)如图 2,若将△ABC 沿 x 轴向右平移得到△A′B′C′,平移距离为 m,当点 A′,C′都在反比例函数 y= k2 x (x>0)的图象上时,求 k2,m; (3)如图 3,在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在点 P,使得△B′C′P 的面积是△A′B′C′面积的一半. 若存在,请求出点 P;若不存在,请说明理由. 图 1 　 图 2 　 图 3 25. (12 分)(1)①如图 1,等腰三角形 ABC(BC 为底)与等腰三角形 ADE(DE 为底),∠BAC= ∠DAE,则 BD 与 CE 的数量关系为 ; ②如图 2,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD= 4,则 sin∠DAC= ; (2)如图 3,在(1)②的条件下,点 E 在线段 CD 上运动,将 AE 绕点 A 顺时针旋转得到 AF,使∠EAF = ∠DAC,连接 CF. 当 AE= 3 2时,求 CF 的长度; (3)如图 4,在矩形 ABCD 中,若 AB= 2 3 ,AD= 6,点 E 在线段 CD 上运动,将 AE 绕点 A 顺时针旋转得 到 AF,旋转角等于∠BAC,连接 CF,AE 的中点为 G,CF 的中点为 H.若 GH= 13 ,直接写出 DE 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 26. (12 分)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y= -x2 +bx+c 经过 A( -1,0),B(3,0)两点. P 是抛物线上一点,且在直线 BC 的上方. (1)求抛物线的表达式; (2)如图 2,E 是 OC 的中点,作 PQ∥y 轴交 BC 于点 Q. 若四边形 CPQE 是平行四边形,求点 P 的横 坐标; (3)如图 3,连接 AC,AP,AP 交 BC 于点 M,作 PH∥AC 交 BC 于点 H. 记△PHM,△PMC,△CAM 的面 积分别为 S1,S2,S3 . 判断 S1 S2 + S2 S3 是否存在最大值. 若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 ∴ 点 P1 的坐标为 13 2 ,0( ) ; ②当点 P 在 y 轴上时,设点 P2 的坐标为(0,b),过 点 B 作 BN⊥y 轴于点 N. 易证△BON∽△P2OB, ∴ OB OP2 =ON OB ,即 13 b = 3 13 . ∴ b= 13 3 . ∴ 点 P2 的坐标为 0, 13 3( ) . 综上所述,点 P 的坐标为 13 2 ,0( ) 或 0,133( ) . 26.解:(1)AF ∶ BE= 1 ∶ 2 . 理由:当 α= 180°时,点 E 在线段 BC 上,且 BD=DE =CE. ∵ ∠C= ∠C,∠A= ∠EFC, ∴ △ABC∽△FEC. ∴ FC AC =EC BC = 1 3 . ∴ AF AC =BE BC = 2 3 . ∴ AF BE = AC BC = 2 2 , 即 AF ∶ BE= 1 ∶ 2 . (2)①AF ∶ BE= 1 ∶ 2仍然成立. 理由:在△ABC 中,∵ ∠BAC= 90°,AB=AC, ∴ AC BC = 1 2 ,∠ACB= 45°. 在△FEC 中,∵ ∠EFC= 90°,FE=FC, ∴ CF CE = 1 2 ,∠FCE= ∠FEC= 45°. ∴ CF CE = AC BC ,∠FCE= ∠ACB. ∴ ∠FCE-∠ACE= ∠ACB-∠ACE. ∴ ∠FCA= ∠ECB. ∴ △FCA∽△ECB. ∴ AF BE =CF CE = 2 2 . ②四边形 AECF 是平行四边形. 理由:如图,过点 D 作 DM⊥BF 于点 M. ∵ ∠FEC = ∠CBE+∠BCE = 45°,∠BCE+∠ACE = ∠ACB= 45°, ∴ ∠CBE= ∠ACE. ∴ 由(2)①,知△FCA∽△ECB,∴ ∠CBE = ∠CAF. ∴ ∠ACE= ∠CAF. ∴ AF∥CE. ∵ ∠BFC= ∠BMD= 90°, ∴ DM∥CF. ∴ BM FM =BD CD = 1 2 . ∵ BD=DE,∴ BM=EM. ∴ BE= 2EF. ∵ 由已知,得 EF=CF= 2 2 CE,∴ BE= 2CE. 由(1),知 BE= 2AF,∴ AF=CE. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 27.解:(1)由题意知抛物线 y = ax2 +bx+3 的图象过点 A(-1,0),B(3,0), 代入,得 a -b+3 = 0, 9a+3b+3 = 0,{ 解得 a= -1, b= 2.{ ∴ y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4. ∴ 点 C 的坐标为(1,4) . (2)如图,过点 C 作 CM⊥ AB 于点 M. 设点 D( t,0),则 DM = t-1, CD=AD= t+1. 在 Rt△CMD 中, 42 +( t-1) 2 = ( t+1) 2 , 解得 t= 4, ∴ D(4,0) . 如图,过点 P 作 PN⊥AB 于点 N,则 PN∥CM, ∴ △DPN∽△DCM. ∴ PN CM = DN DM . 设点 P 的坐标为(n,-n2 +2n+3), ∴ -n2 +2n+3 4 = 4-n 3 . 解得 n= 7 3 或 n= 1(舍去) . ∴ 点 P 的坐标为 7 3 , 20 9( ) . (3)∵ 点 P 7 3 , 20 9( ) ,C(1,4),A(-1,0), ∴ PC= 20 9 ,AC= 2 5 . ∵ AD=CD, ∴ ∠CAD= ∠ACD. ∵ ∠CEF= ∠CAB+∠AFE,∠PEF= ∠CAB, ∴ ∠CEP= ∠AFE. ∴ △EPC∽△FEA. ∴ PC EA =CE AF . ∴ PC·AF=AE·CE. ∴ 20 9 (m+1)= AE·(2 5 -AE) . ∴ m=- 9 20 AE2+9 5 10 AE-1=- 9 20 (AE- 5)2+ 5 4 . 当 AE= 5时,m 取得最大值,最大值为 5 4 . ∵ 0<AE<2 5 ,∴ -1<m≤ 5 4 . 4 2023 年市中区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A C C B D A D D 1. B　 【解析】-3 的绝对值是 3. 故选 B. 2. C　 【解析】从正面看,得到的主视图为 . 故选 C. 3. A　 【解析】3 900 000 000 = 3. 9×109 . 故选 A. 4. C　 【解析】如图,∵ ∠2 = 40°,∴ ∠3 = ∠2 = 40°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— ∴ ∠1 = 90°-40° = 50°. 故选 C. 5. C　 【解析】A. a2 +2a2 = 3a2,故本选项不符合题意; B. a3·a2 =a3+2 =a5,故本选项不符合题意; C. (2a2) 3 = 8a6,故本选项符合题意;D. (a-b) 2 = a2 - 2ab+b2,故本选项不符合题意. 故选 C. 6. B　 【解析】A 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 故本选项不符合题意;B 既是轴对称图形,又是中心 对称图形,故本选项符合题意;C 是轴对称图形,但 不是中心对称图形,故本选项不符合题意;D 是中 心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项不符合 题意. 故选 B. 7. D　 【解析】∵ -2<a<-1,0<b<1,∴ 1<-a<2, |a | > | b |, a+b<0. ∴ a<b. 故 A 选项不符合题意;∵ 1<-a< 2, ∴ -a>b,故 B 选项不符合题意; | a | > | b | ,故 C 选项 不符合题意;a+b<0,故 D 选项符合题意. 故选 D. 8. A　 【解析】画树状图如图. 共有 6 种等可能的结果,其中松鼠走出笼子的路线 是“先经过 A 门,再经过 E 门”的结果只有 1 种,所 以松鼠走出笼子的路线是“先经过 A 门,再经过 E 门”的概率是 1 6 . 故选 A. 9. D　 【解析】由题意,得 BE 是∠ABC 的平分线. ∵ AB =BC,BE=AC= 4,∴ BE⊥AC,AE =CE = 1 2 AC = 2. 由 勾股定理,得 AB=BC= 42 +22 = 2 5 . ∵ F 是 BC 的 中点,∴ EF= 1 2 AB = 5,CF = 1 2 BC = 5 . ∴ △CEF 的 周长为 5 + 5 +2 = 2 5 +2. 故选 D. 10. D　 【解析】令-x2 +x+m2 = -x+1,得 x2 -2x+1-m2 = 0. ∵ Δ=(-2) 2 -4(1-m2)= 4m2 >0,∴ x1 = 1-m,x2 = 1+m. ∵ 二次函数 y= -x2 +x+m2 的对称轴为直线 x = 1 2 ,∴ ①当 1-m≥ 1 2 ,即 m≤ 1 2 时,当 x = 1-m 时,y= -(1-m) 2 +(1-m)+m2 ≥ 1 3 ,解得 m≥ 1 3 ,即 1 3 ≤m≤ 1 2 ;②当 1-m< 1 2 <1+m,即 m> 1 2 时,当 x = 1 2 时,y = - 1 4 + 1 2 +m2 ≥ 1 3 ,解得 m≥ 3 6 ,∴ m> 1 2 ;③当 1+m≤ 1 2 ,即 m≤- 1 2 时,与 m>0 相矛盾, 舍去. 综上所述,m≥ 1 3 . 故选 D. 11. a(a-b) 　 【解析】提出公因式 a,得原式=a(a-b). 12. 5 9 　 【解析】设阴影部分的面积是 5x,则整个图形 的面积是 9x,则这个点取在阴影部分的概率是5x 9x = 5 9 . 13. - 4　 【解析】由题意,得 2 x-4 = 3 x-8 . 方程两边同乘 (x-4)(x-8),得 2(x-8)= 3(x-4) . 解得 x = -4. 经 检验,x= -4 是分式方程的根. 14. 4-π　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC= 2,∠BAD= ∠BCD = 90°. 由勾股定理,得 AC = AB2 +BC2 = 2 2 . ∴ OA = OC = 1 2 AC = 2 . ∴ 图中 阴影部分的面积= 22 -90π ×( 2) 2 360 ×2 = 4-π. 15. 3 2 　 【解析】由题意,得 AC = BC = 240 km,甲车的 速度为 240 ÷ 4 = 60( km / h),乙车的速度为 240 ÷ (4-1)= 80(km / h) . 设甲车出发 x h 时,两车相距 350 km. 由题意,得 60x+80(x-1)+350 = 240×2. 解 得 x= 3 2 . 16. 2 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=AB =CD= 3 2,∠A = ∠ADC = 90°. ∵ tan∠ABG = AG AB = 1 3 ,∴ AG= 2 . 如图,过点 F 作 FH⊥ CD 于点 H. ∵ ∠BEF = 90°,∠ADC= 90°, ∴ ∠EGD+∠EDG= ∠HDF+∠EDG = 90°. ∴ ∠EGD = ∠HDF. 又∵ ∠EGD= ∠AGB,∴ ∠HDF= ∠AGB. 在△DFH 和△GBA 中, ∠DHF= ∠GAB, ∠HDF= ∠AGB, DF=GB, { ∴ △DFH≌△GBA(AAS) . ∴ DH =GA = 2,FH =BA = 3 2 . ∵ BA=BC,∴ FH=BC= 3 2 . 在△HMF 和△CMB 中, ∠HMF= ∠CMB, ∠FHM= ∠BCM, FH=BC, { ∴ △HMF≌△CMB(AAS) . ∴ FM=BM,HM=CM = 1 2 CH. ∴ HM = 1 2 (CD-DH) = 1 2 ×(3 2 - 2 )= 2 . 在 Rt△HMF 中,由勾股定 理,得 FM= FH2 +HM2 = 2 5 . ∴ BM= 2 5 . 17.解:原式= 2-4× 2 2 +1-3 = 2-2 2 +1-3 = -2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— 18.解: 3(x-1)<2,① 5x+3 2 >x,②{ 解不等式①,得 x< 5 3 . 解不等式②,得 x>-1. ∴ 原不等式组的解集是-1<x< 5 3 . ∴ 不等式组的所有整数解为 0,1. 19.证明:在▱ABCD 中,AB=CD,AB∥CD, ∴ ∠BAF= ∠DCE. 在△ABF 和△CDE 中, AB=CD, ∠BAF= ∠DCE, AF=CE, { ∴ △ABF≌△CDE(SAS) . ∴ ∠BFA= ∠DEC. ∴ DE∥BF. 20.解:(1)5 (2)抽取的总数为 12÷30%= 40,4 组的人数为 40- 12-13 = 15,∴ 统计图中第 4 组对应的圆心角为 360°×15 40 = 135°. 故答案为 135. (3)“70≤x< 80” 这组数据重新排列如下:70,72, 73,74,74,74,78,79. ∴ “70≤x< 80” 这组数据的众数是 74,中位数是 74+74 2 = 74. 故答案为 74;74. (4)1 200×15 40 = 450(人) . 答:估计全校 1 200 名学生中获奖的人数为 450. 21.解:(1)在 Rt△DEM 中,EM = 0. 9 m,∠EMD = 30°, ∴ DE= 1 2 EM= 0. 45 m. 答:此滑雪运动员的小腿 ED 的长度为 0. 45 m. (2)由(1),得 DE= 0. 45 m. ∴ GE=GD-ED = 1. 05- 0. 45 = 0. 6(m) . ∵ EF∥AB,∴ ∠GEF= ∠EDB= 90°. 在 Rt△GEF 中,∠GFE= 53°,GE= 0. 6 m,tan∠GFE = tan 53° =GE EF = 0. 6 EF ≈ 4 3 ,解得 EF= 0. 45; sin∠GFE= sin 53° =GE GF = 0. 6 GF ≈ 4 5 ,解得 GF= 0. 75. ∴ GF+EF+DE= 0. 75+0. 45+0. 45 = 1. 65(m) . 答:此滑雪运动员的身高为 1. 65 m. 22. (1)证明:如图,连接 OE. ∵ EG 是☉O 的切线, ∴ OE⊥EG. ∵ BF⊥GE,∴ OE∥AB. ∴ ∠A= ∠OEC. ∵ OE=OC,∴ ∠OEC= ∠C. ∴ ∠A= ∠C. ∵ ∠ABG= ∠A+∠C,∴ ∠ABG= 2∠C. (2)解:∵ BF⊥EG, ∴ ∠BFG=90°. ∵ 在 Rt△GFB 中,FG=3 3,BG=6, ∴ BF= BG2-FG2 =3. ∵ BF∥OE,∴ △BGF∽△OGE. ∴ BF OE =BG OG . ∴ 3 OE = 6 6+OE . ∴ OE= 6. ∴ ☉O 的半径为 6. 23.解:(1)设学校购进红色文化衫 x 件、蓝色文化衫 y 件. 根据题意,得 x +y= 220, 25x+20y= 4 800,{ 解得 x= 80, y= 140.{ 答:学校购进红色文化衫 80 件、 蓝色文化衫 140 件. (2)设学校购进红色文化衫 a 件,则购进蓝色文化 衫(300-a)件,获得的利润为 w 元. ∴ w= (45-25)a+(35-20)(300-a)= 5a+4 500. 根据题意,得 a≤2(300-a) . 解得 a≤200. ∵ k>0,0≤a≤200,∴ w 随 a 的增大而增大. 当 a = 200 时,w 取得最大值,最大值为 5 × 200 + 4 500 = 5 500. 答:学校购进红色文化衫 200 件时获得最大利润, 最大利润是 5 500 元. 24.解:(1)∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∴ BA=BC,∠ABC= 90°. 如图 1,过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H. ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠ABO+∠CBH= 90°. ∵ ∠CBH+∠BCH= 90°,∴ ∠ABO= ∠BCH. ∵ ∠AOB= ∠BHC= 90°,AB=BC, ∴ △AOB≌△BHC(AAS) . ∴ BH=AO= 2,CH=BO= 1. ∴ 点 C(3,1) . 将点 C 的坐标代入反比例函数 y = k1 x ,得 k1 = 3× 1 = 3. 故答案为(3,1);3. 图 1 　 图 2 (2)设点 A′(m,2),C′(3+m,1) . ∴ k2 = 2m= 3+m. ∴ m= 3,则点 A′(3,2) . 将点 A′的坐标代入反比例函数 y = k2 x ,得 k2 = 2×3 = 6. (3)存在. 由(2),得 m= 3,∴ 点 A′(3,2),C′(6,1),B′(4,0) . 设 A′B′的中点为 D,则点 D 7 2 ,1( ) . 由点 B′,C′的坐标,得直线 B′C′的表达式为 y= 1 2 x-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 如图 2,延长 C′B′交 y 轴于点 H,则点 H(0,-2) . 作 DP∥B′C′交 y 轴于点 P,则 DP 的表达式为 y = 1 2 x- 7 2( ) +1,则点 P 0,- 3 4( ) ,点 P 即为所求. DP 关于直线 B′C′的对称直线与 y 轴的交点 P′也 为所求. 由中点坐标公式,得点 P′ 0,- 13 4( ) . 综上所述,点 P 的坐标为 0,- 3 4( ) 或 0,- 13 4( ) . 25.解:(1)①∵ △ABC 与△ADE 是等腰三角形, ∴ AB=AC,AD=AE. ∵ ∠BAC= ∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD, 即 ∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAE, AD=AE, { ∴ △BAD≌△CAE(SAS) . ∴ BD=CE. 故答案为 BD=CE. ②在矩形 ABCD 中,CD=AB= 3,AD= 4, ∴ AC= AD2 +CD2 = 5. ∴ sin∠DAC=CD AC = 3 5 . 故答案为 3 5 . (2)如图 1,连接 EF,延长 AD 至点 M,使得 AM = AC,连接 CM,EM. ∵ 将 AE 绕点 A 顺时针旋转得到 AF,∴ AE=AF. 又∵ ∠EAF= ∠DAC, ∴ ∠EAF-∠EAC= ∠DAC-∠EAC. ∴ ∠CAF= ∠DAE. ∴ △AFC≌△AEM(SAS) . ∴ CF=ME. 由(1)②知,AC= 5,∴ AM=AC= 5. 在 Rt△ADE 中,AE= 3 2 ,AD= 4, ∴ DM=AM-AD= 1,DE= AE2 -AD2 = 2 . ∴ EM= DE2 +DM2 = 3 . ∴ CF= 3 . 图 1 　 图 2 (3)如图 2,连接 CG,并延长交 BA 的延长线于点 M,连接 FM. ∵ AB∥CE,G 是 AE 的中点, ∴ ∠AMG= ∠ECG,∠MAG= ∠CEG,AG=EG. ∴ △AMG≌△ECG(AAS) . ∴ MG=CG,AM=EC. ∵ H 是 CF 的中点,GH= 13 , ∴ GH 是△CMF 的中位线. ∴ FM= 2GH= 2 13 . ∵ 在矩形 ABCD 中,AB=2 3,BC=AD=6, ∴ tan∠BAC=BC AB = 6 2 3 = 3 . ∴ ∠BAC= 60°,AC= 2AB= 4 3 . ∴ ∠ACE= ∠BAC= 60°. 延长 AB 至点 N,使 BN=AB,连接 FN. 由题意,得∠EAF= ∠BAC= 60°. ∴ AN=AC= 4 3 ,∠NAC= ∠EAF= 60°. ∴ △ANC 是等边三角形. 同(1)①可知△ANF≌△ACE, ∴ NF=CE,∠ANF= ∠ACE= 60°. ∵ ∠ANC= 60°, ∴ ∠ANC= ∠ANF. ∴ N,F,C 三点共线. 过点 F 作 FP⊥AN 于点 P. 设 AM=CE=NF= x. 在 Rt△PNF 中,∠N= 60°,NF= x. ∴ PN= 1 2 x,PF= 3 2 x. 在 Rt△MPF 中,PF2 +MP2 =FM2 ,MP =AM+AN-PN = x+4 3 - 1 2 x= 4 3 + 1 2 x,FM= 2 13 , ∴ 3 2 x( ) 2 + 4 3 + 1 2 x( ) 2 = (2 13 ) 2 , 解得 x= 4-2 3 (负值舍去) . ∴ NF=CE= 4-2 3 . ∴ DE=CD-CE= 2 3 -(4-2 3 )= 4 3 -4. 26.解:(1) ∵ 抛物线 y = - x2 + bx+ c 经过 A( - 1,0), B(3,0)两点, ∴ -1-b+c= 0, -9+3b+c= 0.{ 解得 b= 2, c= 3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. (2)在 y= -x2 +2x+3 中,令 x= 0,得 y= 3. ∴ 点 C(0,3) . ∴ OC= 3. ∵ E 是 OC 的中点,∴ OE=CE= 3 2 . 由点 B(3,0),C(0,3)得直线 BC的表达式为 y=-x+3. 设点 P(m,-m2 +2m+3),则点 Q(m,-m+3) . ∴ PQ= -m2 +2m+3-(-m+3)= -m2 +3m. ∵ 四边形 CPQE 是平行四边形, ∴ PQ=CE,即-m2 +3m= 3 2 . 解得 m= 3 + 3 2 或 m= 3 - 3 2 . ∴ 点 P 的横坐标为3 + 3 2 或 3- 3 2 . (3) S1 S2 + S2 S3 存在最大值. 如图,过点 A 作 AR∥BC 交 y 轴于点 R,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q,交 BC 于点 K,延长 PH 交 x 轴于 点 T. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 由直线 BC 的表达式为 y= -x+3,设直线 AR 的表达 式为 y= -x+b. 将点 A(-1,0)代入,得 b= -1. ∴ 直线 AR 的表达式为 y= -x-1,令 x= 0,得 y= -1. ∴ 点 R(0,-1) . ∵ 点 C(0,3),∴ CR= 4. 设点 P(t,-t2 +2t+3),则点 K(t,-t+3) . ∴ PK= -t2 +2t+3-(-t+3)= -t2 +3t. ∵ PH∥AC, ∴ ∠MPH = ∠MAC, ∠MHP = ∠MCA. ∴ △PMH∽△AMC. ∴ PM AM = PH AC = HM CM . ∴ S1 S2 = HM CM = PH AC , S2 S3 = PM AM = PH AC . ∴ S1 S2 + S2 S3 = 2PH AC . ∵ AR∥BC,PH∥AC,PK∥CR, ∴ ∠ARC= ∠RCB = ∠PKH,∠ACR = 90° -∠CAO = 90°-∠PTQ= ∠HPK. ∴ △ACR∽△HPK. ∴ PH CA =PK CR = -t 2 +3t 4 . ∴ S1 S2 + S2 S3 = 2PH AC = -t 2 +3t 2 = - 1 2 t- 3 2( ) 2 + 9 8 . ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 t= 3 2 时, S1 S2 + S2 S3 取得最大值,最大值为 9 8 . 5 2023 年高新区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D C D A D B B C 1. A　 【解析】-2 的绝对值是 2. 故选 A. 2. D　 【解析】从正面看,是一个等腰三角形. 故选 D. 3. D　 【解析】350 000 = 3. 5×105 . 故选 D. 4. C　 【解析】如图,∠2 = 30°,∠3 = 90°,∴ ∠1 = ∠2+ ∠3 = 90°+30° = 120°. 故选 C. 5. D　 【解析】A. (x+2) 2 = x2 +4x+4,计算错误,故本选 项不符合题意;B. a2 +a2 = 2a2,计算错误,故本选项 不符合题意;C. 2x+ 3x = 5x,计算错误,故本选项不 符合题意;D. (-2x3) 2 = 4x6,计算正确,故本选项符 合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】10 件产品中有 5 件次品,从中任意抽取 1 件,恰好抽到次品的概率是 5 10 = 1 2 . 故选 A. 7. D　 【解析】原式= x(x +1) (x+1)(x-1) - x-1 (x+1)(x-1) = x2 +x-x+1 x2 -1 = x 2 +1 x2 -1 . 故选 D. 8. B　 【解析】A. 月上网时间不足 35 小时,选择方式 A 最省钱,本选项说法正确,不符合题意;B. 月上网时 间超过 55 小时且不足 80 小时,选择方式 B 最省钱, 本选项说法错误,符合题意;C. 对于上网方式 B,若 月上网时间在 60 小时以内,则月收费金额为 60 元, 本选项说法正确,不符合题意;D. 对于上网方式 C, 无论月上网时间是多久,月收费都是 120 元,本选 项说法正确,不符合题意. 故选 B. 9. B　 【解析】拼成的正方形的边长为 2×3 = 6 . 甲: 如图 1. ∵ ∠DCF = ∠AEB,∠AEB + ∠DEF = 180°, ∴ ∠DCF+∠DEF = 180°. ∴ ∠CDE+∠CFE = 180°. ∴ ∠CFE= 90° = ∠A. ∴ ∠BFC = ∠A = 90°. ∴ ∠ABF+ ∠FBC=∠ABF+∠AEB,即∠FBC=∠AEB. ∴ △CFB∽ △BAE. ∴ BA CF =BE CB . ∴ 2 CF = 6 3 . 解得 CF = 6 . ∴ CF = BE. ∴ 把 △BAE 平移到 △CDM,把 △CFB 平移到 △MNE,可得正方形 CFNM. 乙:如图 2,∵ BC 是圆 的直径,∴ ∠BEC = 90°. 同理可得△BEC∽△CDF. ∴ BC CF =BE CD ,即 3 6 =BE 2 . 解得 BE= 6 . ∴ CF=BE. ∴ 把△BEC 平移到△PQF,把△CDF 平移到△BAP, 可得正方形 PQEB. 故选 B. 图 1 　 　 图 2 10. C　 【解析】∵ 抛物线的开口向上,∴ a> 0. ∵ 对称 轴为直线 x= 2,∴ - b 2a = 2. ∴ b = - 4a< 0. ∵ 抛物线 交 y 轴的负半轴,∴ c<0. ∴ abc>0,故①正确;∵ b = -4a,a>0,∴ b+ 3a = -a< 0,故②正确;观察图象可 知,当 0<x≤2 时,y 随 x 的增大而减小,故③错误; ∵ 抛物线经过点(5,0),对称轴为直线 x = 2,∴ 抛 物线与 x 轴负半轴的交点为(-1,0). ∴ 可以假设抛物 线的表达式为 y=a(x+1)(x-5)= a(x-2) 2 -9a. ∴ 点 M(2,-9a),C(0,-5a) . 如图,过点 M 作 MH⊥y 轴 于点 H. 设对称轴交 x 轴于点 K. ∴ MH = 2,MK = 9a,CH = 4a,AK = 3. ∵ CM⊥AM,∴ ∠AMC = ∠KMH = 90°. ∴ ∠CMH = ∠AMK. ∵ ∠MHC = ∠MKA = 90°,∴ △MHC∽ △MKA. ∴ MH MK = CH AK . ∴ 2 9a = 4a 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41—