2.2022年济南市初中学业水平考试（二）-2022年山东省济南市中考真题数学试题

— 7 — — 8 — — 9 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -7 的相反数是 (　 　 ) A. -7 B. 7 C. 1 7 D. - 1 7 2. 如图是某几何体的三视图,该几何体是 (　 　 ) A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 正四棱柱 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 9 题图 3. 神舟十三号飞船在近地点高度约 200 000 m,远地点高度约 356 000 m 的轨道上驻留了 6 个月后,于 2022 年 4 月 16 日顺利返回. 将数据 356 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 3. 56×105 B. 0. 356×106 C. 3. 56×106 D. 35. 6×104 4. 如图,AB∥CD,点 E 在 AB 上,EC 平分∠AED. 若∠1 = 65°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 50° C. 57. 5° D. 65° 5. 下列绿色能源图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 6. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. ab>0 B. a+b>0 C. | a | < | b | D. a+1<b+1 7. 某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G 时代” “北斗卫星” “高铁速度”三个主题. 若小明和小亮每 人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是 (　 　 ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 8. 若 m-n= 2,则代数式m 2 -n2 m · 2m m+n 的值是 (　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 9. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践,菜地的一边靠墙,另外三边用木栏围成,木栏总长为 40 m. 如图所示,设矩形一边长为 x m,另一边长为 y m,当 x 在一定范围内变化时,y 随 x 的变化而变 化,则 y 与 x 满足的函数关系是 (　 　 ) A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 10. 如图,在矩形 ABCD 中,分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两 点,作直线 MN 分别交 AD,BC 于点 E,F,连接 AF. 若 BF= 3,AE= 5,以下结论错误的是 (　 　 ) A. AF=CF B. ∠FAC= ∠EAC C. AB= 4 D. AC= 2AB 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑 AB 的高度. 如图,他们在地面上点 C 测得最高点 A 的仰角 为 22°,再向前 70 m 至点 D,又测得最高点 A 的仰角为 58°,点 C,D,B 在同一条直线上,则该建筑物 AB 的高度约为(结果精确到 1 m. 参考数据:sin 22°≈0. 37,tan 22°≈0. 40,sin 58°≈0. 85,tan 58°≈ 1. 60) (　 　 ) A. 28 m B. 34 m C. 37 m D. 46 m 12. 抛物线 y= -x2 +2mx-m2 +2 与 y 轴交于点 C,过点 C 作直线 l 垂直于 y 轴,将抛物线在 y 轴右侧的部 分沿直线 l 翻折,其余部分保持不变,组成图形 G,M(m-1,y1),N(m+1,y2)是图形 G 上两点. 若 y1 < y2,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m<-1 或 m>0 B. - 1 2 <m< 1 2 C. 0≤m< 2 D. -1<m<1 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. 因式分解:a2 +4a+4 = 　 　 　 　 　 . 14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区 域的概率是　 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 图 2 第 17 题图 15. 写出一个比 2大且比 17小的整数:　 　 　 　 . 16. 代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等,则 x= 　 　 　 　 . 17. 利用图形的分、合、移、补探索图形的关系是我国传统数学的一种重要方法. 如图 1,BD 是矩形 ABCD 的对角线,将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形,然后按图 2 重新摆放,观 察两图. 若 a= 4,b= 2,则矩形 ABCD 的面积为　 　 　 　 . 18. 规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位长 度,一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转 90°,由数字 0 和 1 组成的 序列表示一个点按照上面描述依次连续变换. 例如:如图,点 O(0,0)按序列 “011…”作变换,表示点 O 先向右平移一个单位长度得到点 O1(1,0),再将点 O1(1,0)绕原点顺时针旋转 90°得到点 O2(0,-1),再将点 O2(0,-1)绕原点顺 时针旋转 90°得到点 O3( -1,0)……依次类推. 点(0,1)经过“011011011”变换后得到的点的坐标为 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 9 个小题,共 78 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. (本题满分 6 分)计算: | -3 | -4sin 30°+ 4 + 1 3( ) -1 . 20. (本题满分 6 分)解不等式组: x-1 2 < x 3 ,① 2x-5≤3(x-2),② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解. 21. (本题满分 6 分)如图,已知在菱形 ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上两点,连接 DE,DF,∠ADF = ∠CDE. 求证:AE=CF. 22. (本题满分 8 分)某校举办以 2022 年北京冬奥会为主题的知识竞赛,从七年级和八年级各随机抽取 了 50 名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析,部分信息如下: a. 七年级抽取成绩的频数分布直方图如图. (数据分成 5 组,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x <90,90≤x≤100) b. 七年级抽取成绩在 70≤x<80 这一组的数据: 70,72,73,73,75,75,75,76,77,77,78,78,79,79,79,79. 2 2022 年济南市初中学业水平考试 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 10 — — 11 — — 12 — c. 七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如表. 　 平均数 中位数 七年级 76. 5 m 八年级 78. 2 79 请结合以上信息完成下列问题: (1)七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数为　 　 　 　 ,并补全频数分布直方图; (2)表中 m 的值为　 　 　 　 ; (3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是 78,则　 　 　 　 (填“甲”或“乙”)的成绩在本年 级抽取成绩中排名更靠前; (4)若全校七年级的学生共有 400 人,请你估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数. 23. (本题满分 8 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,CD 与☉O 相切于点 C,交 AB 的延长线于点 D,连接 AC,BC,∠D= 30°,CE 平分∠ACB 交☉O 于点 E,过点 B 作 BF⊥CE,垂足为 F. (1)求证:CA=CD; (2)若 AB= 12,求线段 BF 的长. 24. (本题满分 10 分)为增加校园绿化面积,某校计划购买甲、乙两种树苗. 已知购买 20 棵甲种树苗和 16 棵乙种树苗共花费 1 280 元,购买 1 棵甲种树苗比 1 棵乙种树苗多花费 10 元. (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元; (2)若购买甲、乙两种树苗共 100 棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗数量的 3 倍,则购买 甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少? 请说明理由. 25. (本题满分 10 分)如图,一次函数 y = 1 2 x+1 的图象与反比例函数 y = k x (x>0)的图象交于点 A(a, 3),与 y 轴交于点 B. (1)求 a,k 的值; (2)直线 CD 过点 A,与反比例函数的图象交于点 C,与 x 轴交于点 D,AC=AD,连接 BC. ①求△ABC 的面积; ②点 P 在反比例函数的图象上,点 Q 在 x 轴上,若以点 A,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,请 求出所有符合条件的点 P 的坐标. 　 　 备用图 26. (本题满分 12 分)如图 1,△ABC 是等边三角形,点 D 在△ABC 的内部,连接 AD,将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°,得到线段 AE,连接 BD,DE,CE. (1)判断线段 BD 与 CE 的数量关系并给出证明; (2)延长 ED 交直线 BC 于点 F. ①如图 2,当点 F 与点 B 重合时,直接用等式表示线段 AE,BE 和 CE 的数量关系为 　 ; ②如图 3,当 F 是线段 BC 的中点,且 DE=CE 时,猜想∠BAD 的度数,并说明理由. 图 1 　 图 2 　 图 3 27. (本题满分 12 分)抛物线 y=ax2+11 4 x-6 与 x 轴交于 A( t,0),B(8,0)两点,与 y 轴交于点 C,直线 y= kx-6 经过点 B. 点 P 在抛物线上,设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的表达式和 t,k 的值; (2)如图 1,连接 AC,AP,CP,若△APC 是以 CP 为斜边的直角三角形,求点 P 的坐标; (3)如图 2,若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上,过点 P 作 PQ⊥BC,垂足为 Q,求 CQ+ 1 2 PQ 的最 大值. 图 1 　 图 2 ∴ DG BE =AD AB = 3 . (2)如图 1,过点 F 作 FM⊥CG 于点 M. 由矩形 ABCD 和矩形 AEFG 可得∠ABE = ∠AGF = ∠ADG= 90°,AE=FG, ∴ ∠BAE= ∠DAG= ∠MGF,∠ABE=∠GMF=90°. ∴ △ABE≌△GMF(AAS). ∴ BE=MF,AB=GM=2. ∵ ∠MDF=∠BDC=60°, ∴ tan∠MDF= tan 60° =MF MD = 3 . ∴ MF= 3MD. 设 MD= x,则 BE=MF= 3 x, ∴ DG=GM+MD= 2+x. ∵ DG BE = 3 ,∴ 2+x 3 x = 3 . 解得 x= 1. ∴ BE= 3 x= 3 . 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 2,连接 AC. ∵ 在矩形 ABCD 中,AD=BC= 2 3 ,AB= 2, ∴ ∠ACB=30°,AC=2AB=4. ∵ AE=CE. ∴ ∠CAE=∠ACE=30°,∠AEC=120°. ∴ ∠ACG= ∠CAG= 90°-30° = 60°. ∴ △AGC 是等边三角形,AG=AC= 4. ∴ PE=EF=AG= 4. 将△AEP 绕点 E 顺时针旋转 120°,AE 与 CE 重合, 得到△CEP′, ∴ PA=P′C,∠PEP′= 120°,PE=P′E= 4. ∴ PP′= 3PE= 4 3 . ∴ 当点 P,C,P′三点共线时,PA+PC 的值最小,此 时为 PA+PC=PP′= 4 3 . 2 2022 年济南市初中学业水平考试 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A B B D C D B D C D 1. B　 【解析】-7 的相反数是 7. 故选 B. 2. A　 【解析】主视图和左视图都是长方形,那么此几 何体是柱体,由俯视图是圆可得此几何体是圆柱. 故选 A. 3. A　 【解析】356 000 = 3. 56×105 . 故选 A. 4. B　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠AEC = ∠1 = 65°. ∵ EC 平 分∠AED,∴ ∠AED = 2∠AEC = 2×65 = 130°. ∴ ∠2 = 180°-∠AED= 180°-130° = 50°. 故选 B. 5. B　 【解析】A 既不是轴对称图形,也不是中心对称 图形,故本选项不符合题意;B 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,故本选项符合题意;C 不是轴对称 图形,但是中心对称图形,故本选项不符合题意;D 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不 符合题意. 故选 B. 6. D　 【解析】根据图形可以得到-3<a<-2<0,0<b<1, ∴ ab<0,故 A 错误;a+b<0,故 B 错误; | a | > | b | ,故 C 错误;a+1<b+1,故 D 正确. 故选 D. 7. C　 【解析】把“5G 时代”“北斗卫星”“高铁速度”三 个主题分别记为 A,B,C,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中小明和小亮恰好选择 同一个主题的结果有 3 种,∴ 小明和小亮恰好选择 同一个主题的概率是 3 9 = 1 3 . 故选 C. 8. D　 【解析】原式 = (m +n)(m-n) m · 2m m+n = 2(m-n) . 当 m-n= 2 时,原式= 2×2 = 4. 故选 D. 9. B　 【解析】根据题意,得 2x+y = 40,∴ y = - 2x+ 40. ∴ y 与 x 满足的函数关系是一次函数关系. 故选 B. 10. D　 【解析】A. 根据作图过程可得 MN 是 AC 的垂直 平分线,∴ AF =CF,故此选项不符合题意;B. 如图, 连接 CE.由矩形的性质以及MN 是 AC 的垂直平分线 可以证明△AEO≌△CFO,∴ AE=CF. ∵ AF=CF, ∴ AE=AF. ∴ ∠FAC = ∠FCA = ∠EAC,故此选项不 符合题意;C. ∵ AE = 5,∴ AF = CF = 5. 在 Rt△ABF 中,∵ BF = 3,∴ AB = AF2 -BF2 = 52 -32 = 4,故 此选项不符合题意;D. ∵ BC = BF+CF = 3 + 5 = 8, ∴ AC = AB2 +BC2 = 42 +82 = 4 5 . ∵ AB = 4, ∴ AC≠2AB. 故此选项符合题意. 故选 D. 11. C　 【解析】在 Rt△ABD 中,∵ tan∠ADB= AB BD , ∴ BD= AB tan 58° ≈AB 1. 6 = 5 8 AB. 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB = AB BC ,∴ tan 22° = AB 70+ 5 8 AB ≈0. 4. 解得 AB= 112 3 ≈37 m. 故选 C. 12. D　 【解析】抛物线的表达式 y = -x2 +2mx-m2 +2 变 形为 y= 2-(x-m) 2,即抛物线的对称轴为 x=m. 当 x=m-1 时,有 y= 2-(m-1-m) 2 = 1; 当 x=m+1 时,有 y= 2-(m+1-m) 2 = 1. 设(m-1,1)为点 A,(m+1,1)为点 B, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 即点 A(m-1,1)与点 B(m+ 1,1)关于抛物线的对 称轴对称. 当 x= 0 时,有 y= 2-(0-m) 2 = 2-m2, ∴ 点 C 的坐标为(0,2-m2) . 当 x=m 时,有 y= 2-(m-m) 2 = 2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(m,2) . ∵ 直线 l⊥y 轴,∴ 直线 l 为 y= 2-m2 . ∵ m-1<m+1, ∴ 点 M 在点 N 的左侧. 此时分情况讨论: 第一种情况,当点 N 在 y 轴的左侧时,如图 1. 由图 可知此时点 M,N 分别对应点 A,B,即有 y1 = y2 = 1, ∴ 此时不符合题意; 图 1 　 　 　 图 2 第二种情况,当点 M 在 y 轴的右侧时,如图 2. 由图 可知此时点 M,N 满足 y1 = y2,∴ 此时不符合题意; 第三种情况,当 y 轴在点M,N 之间时,如图 3 或 4. 由图可知此时点 M,N 满足 y1 <y2,∴ 此时符合题 意. 此时由图可知 m-1<0<m+1,解得-1<m<1. 综上所述,m 的取值范围是-1<m<1. 故选 D. 图 3 　 　 图 4 13. (a+2) 2 　 【解析】原式=(a+2) 2 . 14. 4 9 　 【解析】根据题意,得一共有 9 块方砖,其中阴 影区域的有 4 块,∴ 它最终停留在阴影区域的概 率是 4 9 . 15. 3(答案不唯一)　 【解析】∵ 1< 2 <2<3<4< 17 < 5,∴ 比 2大且比 17小的整数有 2,3,4. 16. 7 　 【解析】∵ 代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等, ∴ 3 x+2 = 2 x-1 . 方程两边同乘(x+2)(x-1),得 3(x- 1)= 2(x+ 2),解得 x = 7. 检验:当 x = 7 时,(x+ 2) (x-1)≠0,∴ 分式方程的解为 x= 7. 17. 16　 【解析】设小正方形的边长为 x,矩形的长为 a+x,宽为 b+x. 由题图可得 1 2 (a+x)(b+x)= 1 2 ax× 2+ 1 2 bx×2+x2,整理,得 x2 +ax+bx-ab= 0. ∵ a= 4,b= 2,∴ x2 +6x-8 = 0. ∴ x2 +6x= 8. ∴ 矩形 ABCD 的面积为(a+x)(b+x)= (4+x) (2+ x)= x2 +6x+8 = 8+8 = 16. 18. (-1,-1)　 【解析】点(0,1)按序列“011011011”变 换,表示点(0,1)先向右平移一个单位长度得到 (1,1),再将(1,1)绕原点顺时针旋转 90°得到(1, -1),再将(1,-1)绕原点顺时针旋转 90°得到(-1, -1),然后向右平移一个单位长度得到(0,-1),再 将(0,-1)绕原点顺时针旋转 90°得到(- 1,0),再 将(-1,0)绕原点顺时针旋转 90°得到(0,1),然后 向右平移一个单位长度得到(1,1),再将(1,1)绕 原点顺时针旋转 90°得到(1,- 1),再将(1,- 1)绕 原点顺时针旋转 90°得到(-1,-1) . 19.解:原式= 3-4× 1 2 +2+3 = 3-2+2+3 = 6. 20.解:解不等式①,得 x<3. 解不等式②,得 x≥1. ∴ 原不等式组的解集是 1≤x<3. ∴ 它的所有整数解为 1,2. 21.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,E,F 是对角线 AC 上两点,∴ AD=CD,∠CAD= ∠ACD. ∵ ∠ADF = ∠CDE, ∴ ∠ADF - ∠EDF = ∠CDE - ∠EDF,即∠ADE= ∠CDF. 在△DAE 和△DCF 中, ∠DAE= ∠DCF, AD=CD, ∠ADE= ∠CDF, { ∴ △DAE≌△DCF(ASA) . ∴ AE=CF. 22.解:(1) 由题意可得 70 ≤ x< 80 这一组的数据有 16 人,∴ 七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数为 12+16+10 = 38,补全频数分布直方图如图所示. (2)∵ 4+ 12 = 16< 25,4+ 12+ 16 = 32> 25,∴ 七年级 抽取成绩的中位数在 70≤x< 80 这一组数据中. ∴ 第 25,26 个数据分别为 77,77. ∴ m= 77 +77 2 =77. (3)∵ 七年级抽取成绩的中位数为 77<78,八年级 抽取成绩的中位数为 79>78,∴ 甲的成绩在本年级 抽取成绩中排名更靠前. (4)400× 8 50 = 64(人) . 答:估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数 为 64. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —5— 23. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ CD 与☉O 相切于点 C,∴ OC⊥CD. ∴ ∠OCD= 90°. ∵ ∠D= 30°,∴ ∠COB= 90°-∠D= 60°. ∴ ∠CAB= 1 2 ∠COB= 30°. ∴ ∠CAD= ∠D. ∴ CA=CD. (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中,∠CAB= 30°,AB= 12, ∴ BC= 1 2 AB= 6. ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠BCE= 1 2 ∠ACB= 45°. ∵ BF⊥CE, ∴ ∠CFB= 90°,BF=BC·sin 45° = 6× 2 2 = 3 2 . 24.解:(1)设甲种树苗每棵的价格是 x 元,乙种树苗 每棵的价格是 y 元. 由题意,得 20x+16y= 1 280, x-y= 10,{ 解得 x= 40, y= 30.{ 答:甲种树苗每棵的价格是 40 元,乙种树苗每棵 的价格是 30 元. (2)设购买甲种树苗 m 棵,则购买乙种树苗(100- m)棵,购买两种树苗的总费用为 w 元. 由题意,得 w= 40m+30(100-m)= 10m+3 000. 由题意,得 100-m≤3m,解得 m≥25. ∵ w 随 m 的增大而增大,∴ 当 m = 25 时,w 取得最 小值. ∴ 100-m= 100-25 = 75. 答:当购买甲种树苗 25 棵、乙种树苗 75 棵时,花费 最少. 25.解:(1)将点 A(a,3)代入 y= 1 2 x+1,得 a= 4, ∴ A(4,3) . 将点 A(4,3)代入 y= k x ,得 k= 4×3 = 12. (2)①如图 1,过点 A作 AM⊥x 轴于点M,过点C作CN ⊥x 轴于点N,交 AB于点 E, 　 　 　 　 图 1 ∴ AM∥CN. ∵ AC=AD. ∴ AM CN = AD CD = 1 2 . ∴ CN= 6. ∴ 点 C 的横坐标为12 6 = 2. ∴ C(2,6) . ∴ E(2,2) . ∴ CE= 6-2 = 4. ∴ S△ABC =S△ACE+S△BCE = 1 2 ×4×2+ 1 2 ×4×2= 8. ②分两种情况:设 P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,0) . ⅰ. 如图 2,当四边形 ABQP 是平行四边形时, 　 　 　 　 图 2 ∵ 点 B 向下平移 1 个单位 长度,向右平移 x2 个单位 长度得到点 Q, ∴ 点 A 向下平移 1 个单位 长度,向右平移 x2 个单位 长度得到点 P. ∴ y1 = 3-1 = 2,x1 = 12 2 = 6. ∴ P(6,2); ⅱ. 如图 3,当四边形 AP′BQ′是平行四边形时, 　 　 　 　 图 3 ∵ 点 Q′向上平移 1 个单 位长度,向左平移 x2 个 单位长度得到点 B, ∴ 点 A 向上平移 1 个单 位长度,向左平移 x2 个 单位长度得到点 P′. ∴ y1 ′ = 3+ 1 = 4,x1 ′ = 12 4 = 3. ∴ P′(3,4) . 综上所述,所有符合条件的点 P 的坐标为(6,2)或 (3,4) . 26.解:(1)BD=CE. 证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAC= 60°. ∵ 线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°得到线段 AE, ∴ AD=AE,∠DAE= 60°. ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAE, AD=AE, { ∴ △ABD≌△ACE(SAS) . ∴ BD=CE. (2)①∵ 线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°得 到线段 AE, ∴ △ADE 是等边三角形. ∴ AD=DE=AE. 由(1),得 BD=CE, ∴ BE=DE+BD=AE+CE. ②∠BAD= 45°. 理由如下: 如图,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G,连接 AF. ∵ △ADE 是等边三角形,AG⊥EF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —6— ∴ ∠DAG= 1 2 ∠DAE= 30°. ∴ AG AD = cos∠DAG= 3 2 . ∵ △ABC 是等边三角形,F 是线段 BC 的中点, ∴ BF=CF,AF⊥BC,∠BAF= 1 2 ∠BAC= 30°. ∴ AF AB = cos∠BAF= 3 2 . ∴ ∠BAF= ∠DAG,AG AD =AF AB ,即AG AF =AD AB . ∴ ∠BAF+∠DAF= ∠DAG+∠DAF, 即∠BAD= ∠FAG. ∴ △BAD∽△FAG. ∴ ∠ADB= ∠AGF= 90°. ∵ BD=CE,DE=CE=AD, ∴ BD=AD,即△ABD 是等腰直角三角形. ∴ ∠BAD= 45°. 27.解:(1)∵ B(8,0)在抛物线 y=ax2 +11 4 x-6 上, ∴ 64a+11 4 ×8-6 = 0. 解得 a= - 1 4 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 +11 4 x-6. 当 y= 0 时,- 1 4 x2 +11 4 x-6 = 0, 解得 x1 = 3,x2 = 8. ∴ t= 3. ∵ B(8,0)在直线 y= kx-6 上, ∴ 8k-6 = 0. 解得 k= 3 4 . (2)如图 1,过点 P 作 MP⊥x 轴于点 M. 图 1 对于 y= - 1 4 x2 +11 4 x-6,令 x= 0,则 y= -6, ∴ 点 C(0,-6),即 OC= 6. ∵ A(3,0),∴ OA= 3. 设点 P 的坐标为 m,- 1 4 m2 + 11 4 m-6( ) . ∴ MP= 1 4 m2 -11 4 m+6,MA=m-3. ∵ ∠CAP= 90°, ∴ ∠CAO+∠PAM= 90°. ∵ ∠APM+∠PAM= 90°, ∴ ∠CAO= ∠APM. ∵ ∠COA= ∠AMP= 90°, ∴ △COA∽△AMP. ∴ OA MP =OC MA . ∴ OA·MA=OC·MP, 即 3(m-3)= 6 1 4 m2 - 11 4 m+6( ) . 解得 m1 = 3(舍去),m2 = 10. ∴ 点 P 10,- 7 2( ) . (3)如图 2,过点 N 作 NP⊥x 轴交 BC 于点 N,作 EN⊥y 轴于点 E. 图 2 ∵ P m,- 1 4 m2 + 11 4 m-6( ) , ∴ N m, 3 4 m-6( ) . ∴ NP=- 1 4 m2+11 4 m-6- 3 4 m-6( ) =- 14 m 2+2m. ∵ NP⊥x 轴,∴ NP∥y 轴. ∴ ∠PNQ= ∠BCO. ∵ ∠PQN= ∠BOC= 90°, ∴ △PQN∽△BOC. ∴ NP CB =NQ CO =PQ BO . ∵ OB= 8,OC= 6, ∴ BC= 10. ∴ NQ= 3 5 NP,PQ= 4 5 NP. ∵ EN⊥y 轴,∴ EN∥x 轴. ∴ △CNE∽△CBO. ∴ CN CB =EN OB ,即CN 10 = m 8 . ∴ CN= 5 4 m. ∴ CQ+ 1 2 PQ=CN+NQ+ 1 2 PQ=CN+ 3 5 NP+ 1 2 × 4 5 NP =CN + NP = 5 4 m - 1 4 m2 + 2m = - 1 4 m2 + 13 4 m = - 1 4 m- 13 2( ) 2 +169 16 . ∴ 当 m= 13 2 时,CQ+ 1 2 PQ 的最大值为169 16 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7—