1.2023年济南市初中学业水平考试（一）-2023年山东省济南市中考真题数学试题

— 1 — — 2 — — 3 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列几何体中,主视图是三角形的为 (　 　 ) A B C D 2. 2022 年我国粮食总产量再创新高,达 686 530 000 吨. 将数据 686 530 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 0. 686 53×108 B. 6. 865 3×108 C. 6. 865 3×107 D. 68. 653×107 3. 如图,一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上. 如果∠1 = 70°,那么∠2 的度数为 (　 　 ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 9 题图 4. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ab>0 B. a+b>0 C. a+3<b+3 D. -3a<-3b 5. 如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图,其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2·a4 =a8 B. a4 -a3 =a C. (a2) 3 =a5 D. a4 ÷a2 =a2 7. 已知点 A( -4,y1),B( -2,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y= k x (k<0)的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关 系为 (　 　 ) A. y3 <y2 <y1 B. y1 <y3 <y2 C. y3 <y1 <y2 D. y2 <y3 <y1 8. 从甲、乙、丙、丁 4 名同学中随机抽取 2 名同学参加图书节志愿服务活动,其中甲同学是女生,乙、丙、 丁同学都是男生,被抽到的 2 名同学都是男生的概率是 (　 　 ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 36°,以点 C 为圆心,以 BC 的长为半径作弧交 AC 于点 D,再分别 以点 B,D 为圆心,以大于 1 2 BD 的长为半径作弧,两弧相交于点 P,作射线 CP 交 AB 于点 E,连接 DE. 以下结论不正确的是 (　 　 ) A. ∠BCE= 36° B. BC=AE C. BE AC = 5 -1 2 D. S△AEC S△BEC = 5 +1 2 10. 定义:在平面直角坐标系中,对于点 P(x1,y1),当点 Q(x2,y2)满足 2(x1 +x2 )= y1 +y2 时,称点 Q(x2, y2)是点 P(x1,y1)的“倍增点”,已知点 P1(1,0),有下列结论: ①点 Q1(3,8),Q2( -2,-2)都是点 P1 的“倍增点”;②若直线 y= x+2 上的点 A 是点 P1 的“倍增点”, 则点 A 的坐标为(2,4);③抛物线 y= x2 -2x-3 上存在两个点是点 P1 的“倍增点”;④若点 B 是点 P1 的“倍增点”,则 P1B 的最小值为 4 5 5 . 其中正确结论的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:m2 -16 = . 12. 围棋起源于中国,棋子分黑白两色. 一个不透明的盒子中装有 3 个黑色棋子和若干个白色棋子,每 个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是 1 4 ,则盒中棋子的总个数 是 . 13. 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+2a= 0 有实数根,则 a 的值可以为 (写出一个即可) . 14. 如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径作弧 BE,则阴影部分的面积 为 (结果保留 π) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 14 题图　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 15. 学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同 向出发,沿同一条路匀速前进. 如图,l1 和 l2 分别表示两人到小亮家的距离 s(km)和时间 t(h)的关 系,则出发 h 后两人相遇. 16. 如图,将菱形纸片 ABCD 沿过点 C 的直线折叠,使点 D 落在射线 CA 上的点 E 处,折痕 CP 交 AD 于 点 P. 若∠ABC= 30°,PA= 2,则 PE 的长等于 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 6 分)计算: - 3 + ( 1 2 ) -1 +(π+1) 0 -tan 60°. 18. (本小题满分 6 分)解不等式组: 2(x+2) >x+3,① x 3 <x +2 5 ,② ì î í ï ï ïï 并写出它的所有整数解. 19. (本小题满分 6 分)已知:如图,O 为▱ABCD 对角线 AC 的中点,过点 O 的直线与 AD,BC 分别相交 于点 E,F. 求证:DE=BF. 20. (本小题满分 8 分)图 1 是某越野车的侧面示意图,折线段 ABC 表示车后盖,已知 AB = 1 m,BC = 0. 6 m,∠ABC= 123°,该车的高度 AO= 1. 7 m. 如图 2,打开后备箱,车后盖 ABC 落在 AB′C′处,AB′与 水平面的夹角∠B′AD= 27°. (1)求打开后备箱后,车后盖最高点 B′到地面 l 的距离; (2)若小琳爸爸的身高为 1. 8 m,他从打开的车后盖 C′处经过,有没有碰头的危险? 请说明理由. (结果精确到 0. 01 m,参考数据:sin 27°≈0. 454,cos 27°≈0. 891,tan 27°≈0. 510, 3 ≈1. 732) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 图 2 21. (本小题满分 8 分)2023 年,国内文化和旅游行业复苏势头强劲. 某社团对 30 个地区“五一”假期的 出游人数进行了调查,获得了它们“五一”假期出游人数(出游人数用 m 表示,单位:百万)的数据, 并对数据进行统计整理. 数据分成 5 组: A 组:1≤m<12;B 组:12≤m<23;C 组:23≤m<34;D 组:34≤m<45;E 组:45≤m<56. 下面给出了部分信息: a. B 组的数据:12,13,15,16,17,17,18,20. b. 不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下: 　 　 　 　 　 请根据以上信息完成下列问题: (1)统计图中 E 组对应扇形的圆心角为 度; (2)请补全频数分布直方图; 1 2023 年济南市初中学业水平考试 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 4 — — 5 — — 6 — (3)这 30 个地区“五一”假期出游人数的中位数是 百万; (4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表: 组别 A 组:1≤m<12 B 组:12≤m<23 C 组:23≤m<34 D 组:34≤m<45 E 组:45≤m<56 平均出游 人数 /百万 5. 5 16 32. 5 42 50 求这 30 个地区“五一”假期的平均出游人数. 22. (本小题满分 8 分)如图,AB,CD 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,过点 C 的切线与 AB 的延长线交 于点 P,∠ABC= 2∠BCP,E 是 BD ( 的中点,弦 CE,BD 相交于点 F. (1)求∠OCB 的度数; (2)若 EF= 3,求☉O 直径的长. 23. (本小题满分 10 分)某校开设智能机器人编程的校本课程,购买了 A,B 两种型号的机器人模型. A 型机器人模型的单价比 B 型机器人模型的单价多 200 元,用 2 000 元购买 A 型机器人模型和用 1 200 元购买 B 型机器人模型的数量相同. (1)求 A 型、B 型机器人模型的单价分别是多少元; (2)学校准备再次购买 A 型和 B 型机器人模型共 40 台,购买 B 型机器人模型的数量不超过 A 型机 器人模型的 3 倍,且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠. 问购买 A 型和 B 型机器人 模型各多少台时花费最少? 最少花费是多少元? 24. (本小题满分 10 分)综合与实践 　 　 　 图 1 如图 1,某兴趣小组计划开垦一个面积为 8 m2 的矩形地块 ABCD 种植农作物, 地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为 a m. 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题:若 a= 10,能否围出矩形地块? 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题: 设 AB 为 x m,BC 为 y m. 由矩形地块的面积为 8 m2,得到 xy= 8,满足条件的(x,y)可看成是反比例 函数 y= 8 x 的图象在第一象限内点的坐标;木栏总长为 10 m,得到 2x+y= 10,满足条件的(x,y)可看 成一次函数 y= -2x+10 的图象在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两 个函数图象交点的坐标. 　 　 　 　 图 2 如图 2,反比例函数 y = 8 x (x>0)的图象与直线 l:y = -2x+10 的交点坐标为 (1,8)和 ,因此,木栏总长为 10 m 时,能围出矩形地块,分别为 AB = 1 m,BC= 8 m 或 AB= m,BC= m. (1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空. 【类比探究】 (2)若 a= 6,能否围出矩形地块? 请仿照小颖的方法,在图 2 中画出一次函 数图象并说明理由. 【问题延伸】 当木栏总长为 a m 时,小颖建立了一次函数 y= -2x+a. 发现直线 y= -2x+a 可以看成是直线 y= -2x 通过平移得到的,在平移过程中,当过点(2,4)时,直线 y= -2x+a 与反比例函数 y= 8 x (x>0)的图象 有唯一交点. (3)请在图 2 中画出直线 y= -2x+a 过点(2,4)时的图象,并求出 a 的值. 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y = -2x+a 与 y = 8 x (x>0)的图象在 第一象限内交点的存在问题” . (4)若要围出满足条件的矩形地块,且 AB 和 BC 的长均不小于 1 m,请直接写出 a 的取值范围. 25. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 ABCD 的顶点 A,B 在 x 轴上,C( 2,3) , D( -1,3) . 抛物线 y=ax2 -2ax+c(a<0)与 x 轴交于点 E( -2,0)和 F. (1)如图 1,若抛物线过点 C,求抛物线的表达式和点 F 的坐标; (2)如图 2,在(1)的条件下,连接 CF,作直线 CE,平移线段 CF,使点 C 的对应点 P 落在直线 CE 上, 点 F 的对应点 Q 落在抛物线上,求点 Q 的坐标; (3)若抛物线 y=ax2 -2ax+c(a<0)与正方形 ABCD 恰有两个交点,求 a 的取值范围. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 26. (本小题满分 12 分)在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD= 2 3 ,点 E 在边 BC 上,将射线 AE 绕点 A 逆时针旋 转 90°,交 CD 的延长线于点 G,以线段 AE,AG 为邻边作矩形 AEFG. (1)如图 1,连接 BD,求∠BDC 的度数和DG BE 的值; (2)如图 2,当点 F 在射线 BD 上时,求线段 BE 的长; (3)如图 3,当 AE=CE 时,在平面内有一动点 P,满足 PE=EF,连接 PA,PC. 求 PA+PC 的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 　 　 图 3 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 1 2023 年济南市初中学业水平考试 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A D A D C B C C 1. A　 【解析】A 是圆锥,其主视图是三角形;B 是球, 其主视图是圆形;C 是正方体,其主视图是正方形; D 是三棱柱,其主视图是矩形,中间还有一条虚线. 故选 A. 2. B　 【解析】686 530 000 = 6. 865 3×108 . 故选 B. 3. A　 【解析】标注∠3 如图. ∵ 直尺的两对边平行,∴ ∠1 = ∠3 = 70°. ∵ ∠2+∠3 = 90°, ∴ ∠2 = 90°-70° = 20°. 故选 A. 4. D　 【解析】由题可得 b<0<a,且 | a | < | b | ,∴ ab< 0, a+b<0,a+3>b+3,-3a<-3b. 故选 D. 5. A　 【解析】A 既是轴对称图形,又是中心对称图形; B 是轴对称图形,但不是中心对称图形;C 既不是轴 对称图形,也不是中心对称图形;D 是轴对称图形, 但不是中心对称图形. 故选 A. 6. D　 【解析】a2·a4 =a6,故 A 错误;a4 与 a3 不是同类 项,无法进行加减运算,故 B 错误;(a2) 3 = a6,故 C 错误;a4 ÷a2 =a2 . 故 D 正确. 故选 D. 7. C　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x (k< 0)的图象在第 二、四象限,y 的值随 x 值的增大而增大,且-4<-2< 0<3,∴ A,B 两点在第二象限,点 C 在第四象限,y3 < 0<y1 <y2 . 故选 C. 8. B　 【解析】根据题意列表如下: 甲 乙 丙 丁 甲 (乙,甲) (丙,甲) (丁,甲) 乙 (甲,乙) (丙,乙) (丁,乙) 丙 (甲,丙) (乙,丙) (丁,丙) 丁 (甲,丁) (乙,丁) (丙,丁) 根据表格可知,一共有 12 种等可能的情况,其中被抽 到的 2 名同学都是男生的情况有 6 种,因此被抽到 的 2 名同学都是男生的概率为 6 12 = 1 2 . 故选 B. 9. C 　 【解析】 ∵ AB = AC, ∠BAC = 36°, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -∠BAC 2 = 72°. 由题意, 得 CP 平 分 ∠ACB,∴ ∠BCE = ∠ACE = 1 2 ∠ACB = 36°. 故 A 正 确;∴ ∠A= ∠ACE= 36°. ∴ AE=CE. ∵ ∠CEB= ∠A+ ∠ACE= 72°,∴ ∠B= ∠CEB = 72°. ∴ CB =CE. ∴ BC =AE. 故 B 正确;∵ △BCE 是顶角为 36°的等腰三角 形,∴ △BCE 是黄金三角形. ∴ BE BC = 5 -1 2 . 故 C 不 正确;∴ BE AE = 5 -1 2 . ∴ S△BEC S△AEC = BE AE = 5 -1 2 . ∴ S△AEC S△BEC = 2 5 -1 = 5 +1 2 . 故 D 正确. 故选 C. 10. C　 【解析】对于①,由“倍增点”的定义,得 2×(1+ 3)= 8+0,2×(1-2)= -2+0,∴ 点 Q1(3,8),Q2(-2, -2)都是点 P1 的“倍增点” . 故①正确;对于②,设 满足题意的“倍增点”A 为(x,x+2),∴ 2(x+1)= x+ 2+0. ∴ x= 0. ∴ 点 A(0,2) . 故②错误;对于③,设抛 物线上的“倍增点”为(x,x2 -2x-3),∴ 2(x+1)= x2 - 2x-3. ∴ x= 5 或-1. ∴ 此时满足题意的“倍增点”有 (5,12),(- 1,0)两个. 故③正确;对于④,设点 B (x,y),∴ 2( x+ 1) = y+ 0. ∴ y = 2( x+ 1) . ∴ P1B = (x-1)2+y2 = (x-1)2+4(x+1)2 = 5 ( x+ 35 ) 2 +16 5 . ∴ 当 x= - 3 5 时,P1B 有最小值 4 5 5 . 故④正确. 综上,正确的有①③④. 故选 C. 11. (m+4) (m-4) 　 【解析】由平方差公式,得原式 = (m+4)(m-4) . 12. 12　 【解析】由题意,得 3÷ 1 4 = 12. 13. 1(答案不唯一)　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方 程 x2 -4x+ 2a = 0 有实数根,∴ Δ = 16- 8a≥0. 解得 a≤2. ∴ a 的值可以为 1. 14. 6π 5 　 【解析】∠BAE = (5 -2)×180° 5 = 108°,∴ 阴影 部分的面积为 108π×22 360 = 6π 5 . 15. 0. 35　 【解析】设 l1 的函数表达式为 y1 = kx+b,则 b= 3. 5, 0. 5k+b= 6,{ 解得 k= 5, b= 3. 5.{ ∴ l1 的函数表达式为 y1 = 5x+3. 5. 设 l2 的函数表达式为 y2 =mx,则 0. 4m= 6,解得 m= 15. ∴ l2 的函数表达式为 y2 = 15x. 令 y1 =y2,即 5x+3. 5 = 15x,解得 x= 0. 35. ∴ 出发 0. 35 h 后两人相遇. 16. 2 + 6 　 【解析】如图,过 点 A 作 AF⊥PE 于点 F. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ ∠D = ∠ABC = 30°,AD = CD. ∴ ∠DAC= 180° -∠D 2 =75°.由折叠可知∠E=∠D =30°,∴ ∠APE=∠DAC-∠E = 45°. 在 Rt△APF 中, PF=PA·cos∠APF,∴ PF = AF = 2cos 45° = 2 . 在 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— Rt△AEF 中,tan E = AF EF . ∴ EF = AF tan 30° = 2 3 3 = 6 . ∴ PE=PF+EF= 2 + 6 . 17.解:原式= 3 +2+1- 3 = 3. 18.解:解不等式①,得 x>-1. 解不等式②,得 x<3. ∴ 原不等式组的解集是-1<x<3. ∴ 它的所有整数解为 0,1,2. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠EAO= ∠FCO,∠OEA= ∠OFC. ∵ O 为▱ABCD 对角线 AC 的中点, ∴ AO=CO. ∴ △AOE≌△COF(AAS) . ∴ AE=CF. ∴ AD-AE=BC-CF. ∴ DE=BF. 20.解:(1)如图,过点 B′作 B′E⊥AD,垂足为 E. 在 Rt △AB′ E 中, ∵ ∠B′ AD = 27°,AB′ = AB = 1 m,∴ sin 27° = B′E AB′ . ∴ B′E = AB′·sin 27°≈1× 0. 454 = 0. 454(m) . ∵ 平行线间的距离处处相等, ∴ B′E+AO= 0. 454+1. 7 = 2. 154≈2. 15(m) . 答:车后盖最高点 B′到地面 l 的距离约为 2. 15 m. (2)没有碰头的危险. 理由如下: 如图,过点 C′作 C′F⊥B′E,垂足为 F. ∵ ∠B′AD= 27°,∠B′EA= 90°,∴ ∠AB′E= 63°. ∵ ∠AB′C′= ∠ABC= 123°, ∴ ∠C′B′F= ∠AB′C′-∠AB′E= 60°. 在 Rt△B′FC′中,B′C′=BC= 0. 6 m, ∴ B′F=B′C′·cos 60° = 0. 3 m. ∵ 平行线间的距离处处相等, ∴ 车后盖 C′处到地面 l 的距离约为 2. 15 - 0. 3 = 1. 85(m) . ∵ 1. 85>1. 8,∴ 没有碰头的危险. 21.解:(1)统计图中 E 组对应扇形的圆心角为 360°× 3 30 = 36°. 故答案为 36. (2) D 组地区个数 为 30 × 10% = 3,所 以 C 组地区个数为 30-(12+ 8+3+3) = 4,补全频数分布直 方图如图. ( 3) 这 30 个地区 “五一” 假期出游 人数的中位数是 15+16 2 = 15. 5. 故答案为 15. 5. (4)5. 5 ×12+16×8+32. 5×4+42×3+50×3 30 =20(百万). 答:这 30 个地区 “ 五一” 假期的平均出游人数 是 20 百万. 22.解:(1)∵ PC 与☉O 相切于点 C,∴ OC⊥PC. ∴ ∠OCB+∠BCP= 90°. ∵ OB=OC,∴ ∠OCB= ∠OBC. ∵ ∠ABC= 2∠BCP,∴ ∠OCB= 2∠BCP. ∴ 3∠BCP= 90°. ∴ ∠BCP= 30°. ∴ ∠OCB= 60°. (2)如图,连接 DE. ∵ CD 为☉O 的直径, ∴ ∠DEC= 90°. ∵ E 是 BD ( 的中点, ∴ DE ( =BE ( . ∴ ∠DCE= ∠BCE= ∠EDF= 1 2 ∠BCD= 30°. 在 Rt△EDF 中,EF= 3,∠EDF= 30°, ∴ DE= EF tan 30° = 3 3 . 在 Rt △DEC 中, ∠DCE = 30°, CD = 2DE = 6 3 . ∴ ☉O 直径的长为 6 3 . 23.解:(1)设 A 型机器人模型的单价是 x 元,则 B 型 机器人模型的单价是(x-200)元. 根据题意,得2 000 x = 1 200 x-200 . 解这个方程,得 x= 500. 经检验,x= 500 是原方程的根. x-200 = 300. 答:A 型机器人模型的单价是 500 元,B 型机器人 模型的单价是 300 元. (2)设购买 A 型机器人模型 m 台,则购买 B 型机 器人模型(40-m)台,购买 A 型和 B 型机器人模型 共花费 w 元. 由题意,得 40-m≤3m. 解得 m≥10. w= 500×0. 8m+300×0. 8(40-m)= 160m+9 600. ∵ 160>0,∴ w 的值随 m 值的减小而减小. 当 m= 10 时,w 取得最小值 11 200,40-m= 30. 答:购买 A 型机器人模型 10 台和 B 型机器人模型 30 台时花费最少,最少花费是 11 200 元. 24.解:(1)∵ 反比例函数 y= 8 x (x>0), 直线 l:y= -2x+10, ∴ 联立,得 y = 8 x , y= -2x+10. { 解得 x1 = 1,y1 = 8,{ x2 = 4, y2 = 2.{ ∴ 反比例函数 y= 8 x (x>0)与直线 l:y = -2x+10 的 交点坐标为(1,8) 和(4,2) . 当木栏总长为 10 m 时,能围出矩形地块,分别为 AB = 1 m,BC = 8 m 或 AB= 4 m,BC= 2 m. 故答案为(4,2);4;2. (2)不能围出矩形地块. 理由如下: ∵ 木栏总长为 6 m,∴ 2x+y= 6,则 y= -2x+6. 画出直线 y= -2x+6 的图象,如图 1 中 l1 所示. ∵ l1 与函数 y= 8 x 的图象没有交点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— ∴ 若 a= 6,不能围出矩形地块. (3)如图 1 中直线 l2 所示,l2 即为 y = -2x+a 的图 象. 将点(2,4)代入 y= -2x+a,得 4 = -2×2+a,解得 a= 8. 图 1 (4)根据题意可得,若要围出满足条件的矩形地 块,就是 y= -2x+a 与 y= 8 x (x>0)的图象在第一象 限内有交点,即方程- 2x+a = 8 x ( a> 0,x> 0) 有实 数根. 图 2 整理,得 2x2 -ax+8 = 0. ∴ Δ= (-a) 2 -4×2×8≥0. 解得 a≥8. 把 x= 1 代入 y= 8 x , 得 y= 8 1 = 8. ∴ 反比例函数的图象经 过点(1,8) . 把 y= 1 代入 y= 8 x , 得 1 = 8 x . 解得 x= 8. ∴ 反比例函数的图象经过点(8,1) . 设点 A(1,8),B(8,1),如图 2,过点 A,B 分别作直 线 l2 的平行线. 由图可知,当 y= -2x+a 与 y= 8 x (x>0)的图象在点 A 的右边、点 B 的左边存在交点时,满足题意. 把点(8,1)代入 y= -2x+a,得 1 = -16+a. 解得 a= 17. ∴ 8≤a≤17. 25.解:( 1) ∵ 抛物线 y = ax2 - 2ax+ c 过点 C( 2,3), E(-2,0), ∴ 4a -4a+c= 3, 4a+4a+c= 0.{ 解得 a= - 3 8 , c= 3. { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 8 x2 + 3 4 x+3. 当 y= 0 时,- 3 8 x2 + 3 4 x+3 = 0, 解得 x1 = -2(舍去),x2 = 4. ∴ 点 F(4,0) . (2)设直线 CE 的表达式为 y= kx+b. ∵ 直线过点 C(2,3),E(-2,0), ∴ 2k +b= 3, -2k+b= 0.{ 解得 k= 3 4 , b= 3 2 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 CE 的表达式为 y= 3 4 x+ 3 2 . 　 　 　 　 　 　 图 1 如图1,设点Q ( t,- 38 t 2+ 3 4 t+ 3 ) ,则点 Q 向左 平移 2 个单位长度,向 上平移 3 个单位长度 得到点 P ( t-2,- 38 t 2 + 3 4 t+6 ) . 将点 P ( t-2,- 38 t 2 + 3 4 t+6 )代入 y= 34 x+ 3 2 , 解得 t1 = -4,t2 = 4(舍去) . ∴ 点 Q 的坐标为(-4,-6) . (3)将点 E(-2,0)代入 y=ax2 -2ax+c,得 c= -8a. ∴ y=ax2 -2ax-8a=a(x-1) 2 -9a. ∴ 顶点坐标为(1,-9a) . ①如图 2,当抛物线的顶点在正方形内部时,与正 方形有两个交点. ∴ -9a<3, -9a>0.{ 解得- 1 3 <a<0. 　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 3 ②如图 3,当抛物线与直线 BC 的交点在点 C 的上 方,且与直线 AD 的交点在点 D 的下方时,与正方 形有两个交点. ∴ a×22 -2a×2-8a>3, a×(-1) 2 -2a×(-1)-8a<3.{ 解得- 3 5 <a<- 3 8 . 综上所述, a 的取值范围为 - 1 3 < a < 0 或 - 3 5 < a<- 3 8 . 26.解:(1)∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD= 2 3 , ∴ ∠C= 90°,CD=AB= 2,BC=AD= 2 3 . ∴ tan∠BDC=BC CD = 3 . ∴ ∠BDC= 60°. 由矩形 ABCD 和矩形 AEFG 可得∠ABE = ∠BAD = ∠EAG= ∠ADG = 90°,∴ ∠EAG- ∠EAD = ∠BAD- ∠EAD,即∠DAG= ∠BAE. ∴ △ADG∽△ABE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— ∴ DG BE =AD AB = 3 . (2)如图 1,过点 F 作 FM⊥CG 于点 M. 由矩形 ABCD 和矩形 AEFG 可得∠ABE = ∠AGF = ∠ADG= 90°,AE=FG, ∴ ∠BAE= ∠DAG= ∠MGF,∠ABE=∠GMF=90°. ∴ △ABE≌△GMF(AAS). ∴ BE=MF,AB=GM=2. ∵ ∠MDF=∠BDC=60°, ∴ tan∠MDF= tan 60° =MF MD = 3 . ∴ MF= 3MD. 设 MD= x,则 BE=MF= 3 x, ∴ DG=GM+MD= 2+x. ∵ DG BE = 3 ,∴ 2+x 3 x = 3 . 解得 x= 1. ∴ BE= 3 x= 3 . 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 2,连接 AC. ∵ 在矩形 ABCD 中,AD=BC= 2 3 ,AB= 2, ∴ ∠ACB=30°,AC=2AB=4. ∵ AE=CE. ∴ ∠CAE=∠ACE=30°,∠AEC=120°. ∴ ∠ACG= ∠CAG= 90°-30° = 60°. ∴ △AGC 是等边三角形,AG=AC= 4. ∴ PE=EF=AG= 4. 将△AEP 绕点 E 顺时针旋转 120°,AE 与 CE 重合, 得到△CEP′, ∴ PA=P′C,∠PEP′= 120°,PE=P′E= 4. ∴ PP′= 3PE= 4 3 . ∴ 当点 P,C,P′三点共线时,PA+PC 的值最小,此 时为 PA+PC=PP′= 4 3 . 2 2022 年济南市初中学业水平考试 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A B B D C D B D C D 1. B　 【解析】-7 的相反数是 7. 故选 B. 2. A　 【解析】主视图和左视图都是长方形,那么此几 何体是柱体,由俯视图是圆可得此几何体是圆柱. 故选 A. 3. A　 【解析】356 000 = 3. 56×105 . 故选 A. 4. B　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠AEC = ∠1 = 65°. ∵ EC 平 分∠AED,∴ ∠AED = 2∠AEC = 2×65 = 130°. ∴ ∠2 = 180°-∠AED= 180°-130° = 50°. 故选 B. 5. B　 【解析】A 既不是轴对称图形,也不是中心对称 图形,故本选项不符合题意;B 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,故本选项符合题意;C 不是轴对称 图形,但是中心对称图形,故本选项不符合题意;D 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不 符合题意. 故选 B. 6. D　 【解析】根据图形可以得到-3<a<-2<0,0<b<1, ∴ ab<0,故 A 错误;a+b<0,故 B 错误; | a | > | b | ,故 C 错误;a+1<b+1,故 D 正确. 故选 D. 7. C　 【解析】把“5G 时代”“北斗卫星”“高铁速度”三 个主题分别记为 A,B,C,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中小明和小亮恰好选择 同一个主题的结果有 3 种,∴ 小明和小亮恰好选择 同一个主题的概率是 3 9 = 1 3 . 故选 C. 8. D　 【解析】原式 = (m +n)(m-n) m · 2m m+n = 2(m-n) . 当 m-n= 2 时,原式= 2×2 = 4. 故选 D. 9. B　 【解析】根据题意,得 2x+y = 40,∴ y = - 2x+ 40. ∴ y 与 x 满足的函数关系是一次函数关系. 故选 B. 10. D　 【解析】A. 根据作图过程可得 MN 是 AC 的垂直 平分线,∴ AF =CF,故此选项不符合题意;B. 如图, 连接 CE.由矩形的性质以及MN 是 AC 的垂直平分线 可以证明△AEO≌△CFO,∴ AE=CF. ∵ AF=CF, ∴ AE=AF. ∴ ∠FAC = ∠FCA = ∠EAC,故此选项不 符合题意;C. ∵ AE = 5,∴ AF = CF = 5. 在 Rt△ABF 中,∵ BF = 3,∴ AB = AF2 -BF2 = 52 -32 = 4,故 此选项不符合题意;D. ∵ BC = BF+CF = 3 + 5 = 8, ∴ AC = AB2 +BC2 = 42 +82 = 4 5 . ∵ AB = 4, ∴ AC≠2AB. 故此选项符合题意. 故选 D. 11. C　 【解析】在 Rt△ABD 中,∵ tan∠ADB= AB BD , ∴ BD= AB tan 58° ≈AB 1. 6 = 5 8 AB. 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB = AB BC ,∴ tan 22° = AB 70+ 5 8 AB ≈0. 4. 解得 AB= 112 3 ≈37 m. 故选 C. 12. D　 【解析】抛物线的表达式 y = -x2 +2mx-m2 +2 变 形为 y= 2-(x-m) 2,即抛物线的对称轴为 x=m. 当 x=m-1 时,有 y= 2-(m-1-m) 2 = 1; 当 x=m+1 时,有 y= 2-(m+1-m) 2 = 1. 设(m-1,1)为点 A,(m+1,1)为点 B, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4—